Tổng hợp các dạng công thức lũy thừa lớp 12 thường gặp

Lũy thừa là một khái niệm toán học quan trọng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Hiểu rõ các công thức luỹ thừa là nền tảng giúp học sinh giải quyết các bài toán Toán hiệu quả, đặc biệt là trong chương trình lớp 12. Bài viết này sẽ tổng hợp các dạng công thức luỹ thừa thường gặp lớp 12, đồng thời hướng dẫn cách áp dụng các công thức vào giải bài tập.

Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương

  • \(a^m.a^n = a^{m + n}\)
  • \(a^{\frac{m}{n}} = n√a^m (với n > 0)\)
  • \((a^m)^n = a^{m.n}\)
  • \((ab)^n = a^n.b^n\)
  • \(a^{-n} = 1/a^n\)

Ví dụ:

  • \(2^3.2^2 = 2^{3 + 2} = 2^5 = 32\)
  • \(3^{\frac{2}{3}} = 3√3^2 = 3\)
  • \((4^3)^2 = 4^{3.2} = 4^6 = 4096\)
  • \((2.3)^4 = 2^4.3^4 = 16.81 = 1296\)
  • \(5^{-2} = 1/5^2 = 1/25\)

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n} (với a ≠ 0)\)

Tính chất:

  • \(a^{-m – n} = a^(-m) . a^(-n)\)
  • \(a^{-m + n} = a^(-m) : a^n (với m ≥ n)\)
  • \((a^m)^{-n} = a^{-m.n}\)

Công thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ

 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ dương

\(a^{\frac{m}{n}} = n√a^{m} (với a > 0, n ≠ 0)\)

Tính chất:

  • \(a^{\frac{m}{n}+ \frac{p}{n}} = a^{\frac{m}{n}} . a^{\frac{p}{n}}\)
  • \(a^{\frac{m}{n} – \frac{p}{n}} = a^{\frac{m}{n}} : a^{\frac{p}{n}}(với m ≥ n)\)
  • \(a^{\left(\frac{m}{n}\right)p} = a^{\frac{mp}{n}}\)

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ âm

\(a^{\frac{-m}{n}} = \frac{1}{a^\frac{m}{n}} (với a > 0, n ≠ 0)\)

Tính chất:

\(a^{\frac{-m}{n} – \frac{p}{n}} = a^{\frac{-m}{n}} \cdot a^{\frac{-p}{n}}\) \(a^{\frac{-m}{n} + \frac{p}{n}} = \frac{a^{\frac{-m}{n}}}{a^{\frac{p}{n}}} \quad (\text{với } m \geq n)\) \((a^{\frac{m}{n}})^{-p} = a^{-m \cdot \frac{p}{n}}\)

Ví dụ:

  • \(2^(-1/2) = 1/√2 ≈ 0,707\)
  • \(4^(-3/2) = 1/2√4^3 = 1/16\)
  • \((3^(2/3))^(-4) = 3^(-2/3.4) = 3^(-8/3)\)

Các tính chất của lũy thừa

Cho 2 số dương a, b; m,n ∈ R. Khi đó:

+) \(am.an = am+n\)

+) \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

+) \((a.b)m = am.bm\)

+) \(\frac{a}{b} = \frac{a^m}{b^m}\)

+) \((am)n = am.n\)

– Nếu a > 1 thì \(am > an ⇔ m > n\)

– Nếu 0 < a < 10 thì \(am > an ⇔ m < n\)

Bài tập và lời giải chi tiết về Lũy thừa lớp 12

Bài 1:

Rút gọn biểu thức:

\(A = (2^3)^2 . (2^2)^3\)

Bước 1: Áp dụng công thức luỹ thừa của luỹ thừa: \((a^m)^n = a^(m.n)\)

Bước 2: Tính toán:

\(A = (2^3)^2 . (2^2)^3\)

= \(2^(3.2) . 2^(2.3)\)

= \(2^6 . 2^6\)

= \(2^(6+6)\)

= \(2^12\)

Bài 2:

So sánh:

a) \(2^30\) và \(3^20\)

b) \(5^200\) và \(2^300\)

Lời giải:

a)

Ta có:

\(2^30 = (2^3)^10 = 8^10\)

\(3^20 = (3^2)^10 = 9^10\)

Vì 8 < 9 nên \(8^10 < 9^10\)

Vậy \(2^30 < 3^20\)

b)

Ta có:

\(5^200 = (5^2)^100 = 25^100\)

\(2^300 = (2^3)^100 = 8^100\)

Vì 25 > 8 nên \(25^100 > 8^100\)

Vậy \(5^200 > 2^300\)

Bài tập tham khảo về lũy thừa lớp 12

Bài 1:

So sánh:

a) \(3^4\) và \(2^5\)

b) \((√2)^3\) và \((√3)^2\)

c) \(2^n\) và \(3^n (với n > 0)\)

Bài 2:

Rút gọn biểu thức:

a) \((2^3)^2\)

b) \((a^m.a^n)^p\)

c) \((a^x.b^x)/(a^y.b^y)\)

Bài 3:

Giải phương trình:

a) \(2^x = 16\)

b) \(3^(x-1) = 27\)

c) \(5^x.5^(2x-3) = 125\)

Bài 4:

Tính giá trị biểu thức:

a) \(A = 1 + 2 + 2^2 + … + 2^n\)

b) \(B = 1 + 3 + 3^2 + … + 3^n\)

c) \(C = 1 + 1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^n\)

Hiểu và nắm vững các công thức luỹ thừa là bước đầu tiên để chinh phục các bài toán Toán liên quan. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ về các dạng công thức luỹ thừa thường gặp lớp 12. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao khả năng giải bài tập của bạn