Cấp số nhân – Tổng hợp các công thức cấp số nhân quan trọng

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà bắt đầu từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về cấp số nhân lớp 11, bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức và ứng dụng.

Định nghĩa cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Số hạng tổng quát

Với cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u_1 và công bội q, số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

\(u_n = u_1 * q^(n – 1)\) với n ≥ 2

Tổng n số hạng đầu tiên

Có hai công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Công thức 1:

\(S_n = u_1 * (1 – q^n) / (1 – q)\)  với q ≠ 1

Công thức 2:

\(S_n = u_n * (1 – q^n) / (1 – q)\)  với q ≠ 1

Một số tính chất

  • Hai số hạng cách đều số hạng đầu tiên của cấp số nhân có tích bằng nhau.
  • Tích n số hạng liên tiếp bất kỳ của cấp số nhân bằng tích n số hạng đầu tiên chia cho tích n – 1 số hạng đầu tiên.
  • Trung bình cộng của n số hạng liên tiếp bất kỳ của cấp số nhân bằng số hạng chính giữa.

Ví dụ

Cho cấp số nhân (1, 3, 9, 27, …) với \(u_1 = 1\) và q = 3.

  • Số hạng thứ 10: \(u_10 = 1 * 3^9 = 19683\)
  • Tổng 10 số hạng đầu tiên: \(S_10 = 1 * (1 – 3^10) / (1 – 3)\) = 59049

Công bội q là gì?

Định nghĩa:

Công bội q là một số không đổi trong cấp số nhân. Nó là tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ trong cấp số nhân, bắt đầu từ số hạng thứ hai.

Công thức:

Với cấp số nhân \((u_n) có số hạng đầu [latex]u_1\) và công bội q, ta có:

\(q = u_n / u_(n-1)\)  với n ≥ 2

Ví dụ:

Cho cấp số nhân (1, 3, 9, 27, …) với \(u_1\) = 1 và q = 3.

  • Công bội q: q = 3 / 1 = 3 = 9 / 3 = …
  • Tất cả các số hạng trong cấp số nhân này đều có chung công bội là 3.

Ý nghĩa:

Công bội q đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các tính chất của cấp số nhân.

  • Giá trị của q quyết định tốc độ tăng hoặc giảm của cấp số nhân.
  • Cấp số nhân có công bội q = 1 là cấp số cộng.
  • Cấp số nhân có công bội q = 0 là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tính chất cấp số nhân

Tính chất liên quan đến công bội

  • Tỷ số hai số hạng bất kỳ:

Với cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1\) ≠ 0 và q ≠ 1, ta có:

\(u_m / u_n = q^(m – n) với m, n ≥ 2 và m ≠ n

  • Tích n số hạng liên tiếp:

Với cấp số nhân [latex](u_n)\) có \(u_1\) ≠ 0 và q ≠ 1, ta có:

\(u_n * u_(n + 1) * … * u_(n + k – 1) = u_n^k * q^(k * (k – 1) / 2)\)  với k ≥ 2

  • Trung bình cộng của n số hạng liên tiếp:

Với cấp số nhân \((u_n)\) có \( u_1\) ≠ 0 và q ≠ 1, ta có:

\((u_n + u_(n + 1) + … + u_(n + k – 1)) / k = u_n * (1 – q^k) / (1 – q)\)  với k ≥ 2

Tính chất liên quan đến tổng n số hạng đầu tiên

  • Công thức tổng n số hạng đầu tiên:

Với cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1\) ≠ 0 và q ≠ 1, ta có:

\(S_n = u_1 * (1 – q^n) / (1 – q)\) 

  • Công thức tổng n số hạng bất kỳ:

Với cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1\) ≠ 0 và q ≠ 1, ta có:

\(S_m^n = u_m * (1 – q^(n – m + 1)) / (1 – q)\)  với m ≤ n

Tính chất liên quan đến tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Với cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1\) ≠ 0 và |q| < 1, ta có:

\(S = u_1 / (1 – q)\) 

Một số tính chất khác

  • Hai số hạng cách đều số hạng đầu tiên của cấp số nhân có tích bằng nhau.
  • Lũy thừa n của một số hạng trong cấp số nhân bằng một số hạng khác trong cấp số nhân.

Ví dụ

Cho cấp số nhân (1, 3, 9, 27, …) với \(u_1 = 1\) và q = 3.

  • Tỷ số hai số hạng bất kỳ: \(u_5 / u_3 = 27 / 9 = 3\)
  • Tích 3 số hạng liên tiếp: \(u_2 * u_3 * u_4 = 3 * 9 * 27 = 2187\)
  • Trung bình cộng của 3 số hạng liên tiếp: \((u_2 + u_3 + u_4) / 3 = (3 + 9 + 27) / 3 = 13\)

Tổng hợp các công thức tính cấp số nhân

Số hạng tổng quát

\(u_n = u_1 * q^(n – 1)\) 

Với:

  • \(u_n\) : Số hạng thứ n
  • \(u_1\) : Số hạng đầu tiên
  • q: Công bội
  • n: Vị trí của số hạng

Tổng n số hạng đầu tiên

Có hai công thức:

  • Công thức 1:

\(S_n = u_1 * (1 – q^n) / (1 – q)\)  với q ≠ 1

  • Công thức 2:

\(S_n = u_n * (1 – q^n) / (1 – q)\)  với q ≠ 1

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

\(S = u_1 / (1 – q)\)  với |q| < 1

Một số công thức khác

  • Tích n số hạng liên tiếp:

\(u_n * u_(n + 1) * … * u_(n + k – 1) = u_n^k * q^(k * (k – 1) / 2)\)  với k ≥ 2

  • Trung bình cộng của n số hạng liên tiếp:

\((u_n + u_(n + 1) + … + u_(n + k – 1)) / k = u_n * (1 – q^k) / (1 – q)\)  với k ≥ 2

  • Lũy thừa n của một số hạng:

\(u_n^n = u_1 * q^(n(n – 1) / 2)\) 

Ví dụ

Cho cấp số nhân (1, 3, 9, 27, …) với \(u_1\) = 1 và q = 3.

  • Số hạng thứ 10: \(u_10 = 1 * 3^9 = 19683\)
  • Tổng 10 số hạng đầu tiên: \(S_10 = 1 * (1 – 3^10) / (1 – 3) = 59049\)
  • Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = 1 / (1 – 3) = 1/3

Cấp số nhân là một chủ đề tuy đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng thực tế. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số nhân và có thể áp dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế.