Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông – Các dạng bài tập phổ biến nhất

Tam giác vuông là một dạng tam giác đặc biệt quan trọng trong chương Hình học lớp 7. Việc nắm vững các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông và các dạng hình học khác.

Định nghĩa hai tam giác bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta viết 

\(ΔABC=ΔA’B’C’\)

Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Cạnh-góc-cạnh (C.G.C)

Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau và góc nhọn kề cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và tam giác DEF vuông tại A và D, có:

\(AB = DE\)

\(AC = DF\)

\(∠A=D\)

Khi đó, \(△ABC=△DEF\) (C.G.C)

Cạnh huyền-góc nhọn (C.H.G.N)

Hai tam giác vuông có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và tam giác DEF vuông tại A và D, có:

\(BC = EF\)

A=D

Khi đó, \(△ABC=△DEF \)(C.H.G.N)

Cạnh huyền-cạnh góc vuông (C.H.C.G.V)

Hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và tam giác DEF vuông tại A và D, có:

\(BC = EF\)

\(AC = DF\)

Khi đó, \(△ABC=△DEF (C.H.C.G.V)\)

Lưu ý:

Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông chỉ áp dụng cho tam giác vuông.

Khi sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, cần chú ý đến thứ tự các cạnh và góc tương ứng.

Các dạng bài về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Dạng 1: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau

Cho hai tam giác vuông ABC và DEF có các yếu tố tương ứng bằng nhau theo trường hợp CGC, CHGN hoặc CHCGV.

Chứng minh hai tam giác ABC và DEF bằng nhau theo từng trường hợp.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và tam giác DEF vuông tại A và D, biết:

\(AB = DE\)

\(AC = DF\)

\(∠A=D\)

Chứng minh ΔABC=ΔDEF (CGC).

Lời giải:

Xét ΔABC và ΔDEF có:

\(AB = DE\) (gt)

\(AC = DF\) (gt)

\(A=D\) (gt)

Vậy \(ΔABC=ΔDEF\) (CGC).

Dạng 2: Tính độ dài cạnh của tam giác vuông

Cho hai tam giác vuông bằng nhau, biết một số cạnh của hai tam giác.

Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để tìm độ dài cạnh còn lại.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, AC = 4cm và ΔABC=ΔDEF. Tính độ dài cạnh EF.

Lời giải:

Vì \(ΔABC=ΔDEF\) (gt) nên:

\(AB = DE\) (hai cạnh tương ứng)

\(AC = DF\) (hai cạnh tương ứng)

Suy ra \(EF = AC\) = 4cm.

Dạng 3: Chứng minh một số tính chất của tam giác vuông

Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh một số tính chất của tam giác vuông.

Ví dụ: Chứng minh rằng trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM.

Xét ΔAMB và ΔAMC có:

AM = AM (cạnh chung)

AMB=AMC (góc chung)

MB = MC (AM là đường trung tuyến)

Vậy ΔAMB=ΔAMC (CGC).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Do đó, AM = \(\frac{1}{2}BC\).

Bài tập vận dụng có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, BC = 5cm. Tính độ dài cạnh AC.

Lời giải:

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\(AC² = BC² – AB² = 5² – 3² = 16\)

Suy ra \(AC = \sqrt{16} = 4cm\).

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 8cm, BC = 17cm. Tính độ dài cạnh AB.

Lời giải:

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\(AB² = BC² – AC² = 17² – 8² = 225\)

Suy ra \(AB = \sqrt{225} = 15cm\).

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính sinB, cosB, tanB, cotB.

Lời giải:

\(sinB = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)

\(cosB = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

\(tanB = \frac{sinB}{cosB} = \frac{4}{3}\) \(cotB = \frac{1}{tanB} = \frac{3}{4}\)

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 4cm, AC = 3cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

Lời giải:

Ta có: \(AM =\frac{1}{2}BC\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(BC² = AB² + AC² = 4² + 3² = 25\)

Suy ra \(BC = \sqrt{25} = 5cm\)

Do đó, AM = \(\frac{1}{2}BC\) = 21​.5 = 2,5cm[/latex].

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 8cm, BC = 10cm. Tính đường cao AH và đường phân giác AD.

Lời giải:

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(AC² = BC² – AB² = 10² – 8² = 36\)

Suy ra \(AC =\sqrt{36} = 6cm\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

\(AH = AB.AC/BC = 8.6/10 = 4,8cm\)

\(AD = \frac{AB²}{AB + AC} = \frac{8²}{8 + 6} = 3,2cm\)

Việc học tập và nắm vững các kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là rất quan trọng để học tốt môn Toán học lớp 7 và các lớp tiếp theo.

Chúc bạn học tốt!