Tổng hợp kiến thức về bất phương trình một ẩn

Bất phương trình một ẩn là chủ đề học tập quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, tuy nhiên nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc giải quyết các dạng toán liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và phương pháp giải bài tập bất phương trình một ẩn một cách hiệu quả.

Khái niệm bất phương trình một ẩn

Bất phương trình một ẩn là mệnh đề chứa biến có dạng:

f(x) > g(x)

với f(x) và g(x) là các biểu thức chứa biến x và số thực.

Nghiệm của bất phương trình

Giá trị của biến x thỏa mãn bất phương trình được gọi là nghiệm của bất phương trình.

Tập nghiệm:

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình.

Biểu diễn tập nghiệm

  • Biểu diễn bằng số: Liệt kê tất cả các nghiệm của bất phương trình.
  • Biểu diễn bằng khoảng: Sử dụng ký hiệu khoảng để biểu diễn tập nghiệm.
  • Biểu diễn bằng nửa khoảng: Sử dụng ký hiệu nửa khoảng để biểu diễn tập nghiệm.
  • Biểu diễn bằng tập hợp: Sử dụng ký hiệu tập hợp để biểu diễn tập nghiệm.

Các bước giải bất phương trình một ẩn

Bước 1: Chuyển vế đưa tất cả các hạng tử sang một vế, chỉ còn lại biến x ở vế kia.

Bước 2: Khử mẫu (nếu có) và rút gọn biểu thức.

Bước 3: Xét dấu của biểu thức.

Bước 4: So sánh với 0 (hoặc với số đã cho) và đưa ra kết luận về tập nghiệm.

Lưu ý:

  • Cần chú ý đến điều kiện của các biểu thức trong quá trình giải.
  • Có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau để giải bất phương trình, cần lựa chọn phương pháp phù hợp với từng bài toán cụ thể.

Ví dụ minh họa cho từng bước

Ví dụ: Giải bất phương trình:

2x + 3 > 7

Bước 1: Chuyển vế 3 sang vế trái:

2x > 4

Bước 2: Khử mẫu (nếu có) và rút gọn biểu thức:

x > 2

Bước 3: Xét dấu của biểu thức:

x > 2

Bước 4: So sánh với 0 (hoặc với số đã cho) và đưa ra kết luận về tập nghiệm:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x > 2}.

Quy tắc biến đổi bất phương trình

  • Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một số: 
    • Khi cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một số dương, ta giữ nguyên chiều của bất phương trình.
    • Khi cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một số âm, ta đổi chiều của bất phương trình.
  • Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một số: 
    • Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một số dương, ta giữ nguyên chiều của bất phương trình.
    • Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một số âm, ta đổi chiều của bất phương trình.
    • Các phương pháp giải bất phương trình
      • Phương pháp đổi dấu:
      • Khi đổi dấu bất phương trình, ta phải đổi chiều bất phương trình.
      • Ví dụ: Bất phương trình x > 2 tương đương với -x < -2.
      • Phương pháp lập bảng xét dấu:
      • Áp dụng cho các bất phương trình dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0.
      • Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của f(x) khi x thay đổi.
      • Xác định tập nghiệm dựa vào bảng xét dấu.
      • Phương pháp đồ thị:
      • Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x).
      • Xác định tập nghiệm dựa vào đồ thị.
      1. Bất phương trình chứa tham số:

      Bất phương trình chứa tham số là bất phương trình mà ngoài biến x còn có một hoặc nhiều tham số.

      1. Bất phương trình tương đương:

      Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

      1. Phép biến đổi tương đương:

      Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó.

      Các phương pháp giải bất phương trình

      • Phương pháp đổi dấu:
      • Khi đổi dấu bất phương trình, ta phải đổi chiều bất phương trình.
      • Ví dụ: Bất phương trình x > 2 tương đương với -x < -2.
      • Phương pháp lập bảng xét dấu:
      • Áp dụng cho các bất phương trình dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0.
      • Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của f(x) khi x thay đổi.
      • Xác định tập nghiệm dựa vào bảng xét dấu.
      • Phương pháp đồ thị:
      • Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x).
      • Xác định tập nghiệm dựa vào đồ thị.
      1. Bất phương trình chứa tham số:

      Bất phương trình chứa tham số là bất phương trình mà ngoài biến x còn có một hoặc nhiều tham số.

      1. Bất phương trình tương đương:

      Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

      1. Phép biến đổi tương đương:

      Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó.

      Các phương pháp giải bất phương trình

      • Phương pháp đổi dấu:
      • Khi đổi dấu bất phương trình, ta phải đổi chiều bất phương trình.
      • Ví dụ: Bất phương trình x > 2 tương đương với -x < -2.
      • Phương pháp lập bảng xét dấu:
      • Áp dụng cho các bất phương trình dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0.
      • Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của f(x) khi x thay đổi.
      • Xác định tập nghiệm dựa vào bảng xét dấu.
      • Phương pháp đồ thị:
      • Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x).
      • Xác định tập nghiệm dựa vào đồ thị.
      1. Bất phương trình chứa tham số:

      Bất phương trình chứa tham số là bất phương trình mà ngoài biến x còn có một hoặc nhiều tham số.

      1. Bất phương trình tương đương:

      Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

      1. Phép biến đổi tương đương:

      Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó.

      Các phương pháp giải bất phương trình

      • Phương pháp đổi dấu:
      • Khi đổi dấu bất phương trình, ta phải đổi chiều bất phương trình.
      • Ví dụ: Bất phương trình x > 2 tương đương với -x < -2.
      • Phương pháp lập bảng xét dấu:
      • Áp dụng cho các bất phương trình dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0.
      • Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của f(x) khi x thay đổi.
      • Xác định tập nghiệm dựa vào bảng xét dấu.
      • Phương pháp đồ thị:
      • Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x).
      • Xác định tập nghiệm dựa vào đồ thị.
      1. Bất phương trình chứa tham số:

      Bất phương trình chứa tham số là bất phương trình mà ngoài biến x còn có một hoặc nhiều tham số.

      1. Bất phương trình tương đương:

      Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

      1. Phép biến đổi tương đương:

      Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó.

      Các phương pháp giải bất phương trình

      • Phương pháp đổi dấu:
      • Khi đổi dấu bất phương trình, ta phải đổi chiều bất phương trình.
      • Ví dụ: Bất phương trình x > 2 tương đương với -x < -2.
      • Phương pháp lập bảng xét dấu:
      • Áp dụng cho các bất phương trình dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0.
      • Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của f(x) khi x thay đổi.
      • Xác định tập nghiệm dựa vào bảng xét dấu.
      • Phương pháp đồ thị:
      • Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x).
      • Xác định tập nghiệm dựa vào đồ thị.
      1. Bất phương trình chứa tham số:

      Bất phương trình chứa tham số là bất phương trình mà ngoài biến x còn có một hoặc nhiều tham số.

      1. Bất phương trình tương đương:

      Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

      1. Phép biến đổi tương đương:

      Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó.

Các phương pháp giải bất phương trình

  • Phương pháp đổi dấu:
  • Khi đổi dấu bất phương trình, ta phải đổi chiều bất phương trình.
  • Ví dụ: Bất phương trình x > 2 tương đương với -x < -2.
  • Phương pháp lập bảng xét dấu:
  • Áp dụng cho các bất phương trình dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0.
  • Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của f(x) khi x thay đổi.
  • Xác định tập nghiệm dựa vào bảng xét dấu.
  • Phương pháp đồ thị:
  • Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x).
  • Xác định tập nghiệm dựa vào đồ thị.

Bất phương trình chứa tham số:

Bất phương trình chứa tham số là bất phương trình mà ngoài biến x còn có một hoặc nhiều tham số.

Bất phương trình tương đương:

Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Phép biến đổi tương đương:

Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó.

Bài tập có lời giải bài bất phương trình một ẩn 

Bài 1: Giải bất phương trình:

2x + 3 > 7

Lời giải:

  • Chuyển vế 3 sang vế trái:

2x > 4

  • Chia hai vế cho 2:

x > 2

  • Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x > 2}.

Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

d1: 2x + 3 > 7

d2: x – 1 ≤ 2

Lời giải:

  • Vẽ đồ thị của hai đường thẳng: 
    • Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0, 4) và (2, 0) với phương trình 2x + 3 = 7. 
    • Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0, 3) và (3, 1) với phương trình x – 1 = 2. 
  • Hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.

Bài 3: Giải bất phương trình:

(x – 1)(x + 2) ≤ 0

Lời giải:

  • Lập bảng xét dấu:
x x – 1 x + 2 (x – 1)(x + 2)
x < -2 +
-2 ≤ x ≤ 1 +
x > 1 + + +
  • Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [-2, 1].

Bài 4: Giải hệ bất phương trình:

{ x + 1 > 0 | x – 2 < 3 }

Lời giải:

  • Giải từng bất phương trình: 
    • x + 1 > 0 ⇔ x > -1 
    • x – 2 < 3 ⇔ x < 5 
  • Tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = (-1, 5)

Luyện tập

Bài 1. Giải bất phương trình:

  • 3x – 5 > 8
  • x^2 – 4x + 3 > 0
  • (x – 1)(x + 2)(2x – 3) ≤ 0
  • |x – 2| < 3

Bài 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

  • d1: 2x + 3 > 7
  • d2: x – 1 ≤ 2

Bài 3. Giải hệ bất phương trình:

  • { x + 2 > 0 | x – 3 < 4 }
  • { 2x – 1 > 5 | 3x + 2 ≤ 7 }

Bài 4. Giải bài toán bằng phương pháp lập bất phương trình:

  • Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3m. Tìm diện tích mảnh đất biết chu vi của nó là 34m.
  • Một công ty dự định sản xuất x sản phẩm trong một ngày. Chi phí sản xuất x sản phẩm là C(x) = 3x^2 + 2x + 10000 (đồng). Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để công ty có lãi.

Hy vọng những kiến thức và phương pháp được trình bày trong bài viết sẽ giúp bạn học tốt hơn và giải quyết thành công các bài toán bất phương trình một ẩn.