Phương pháp giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Hiểu và nắm vững kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp các em học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau, từ đó nâng cao khả năng tư duy logic và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng:

\(ax + by ≤ c \)

\((ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c)\)

trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Biểu diễn miền nghiệm

Cách 1: Vẽ đường thẳng d: \(ax + by = c\)

  • Miền nghiệm của bất phương trình (1) là nửa mặt phẳng (không bao gồm đường thẳng d) chứa điểm M(0; 0).
  • Miền nghiệm của bất phương trình (2) là nửa mặt phẳng (bao gồm đường thẳng d) chứa điểm M(0; 0).
  • Miền nghiệm của bất phương trình (3) là nửa mặt phẳng (không bao gồm đường thẳng d) không chứa điểm M(0; 0).
  • Miền nghiệm của bất phương trình (4) là nửa mặt phẳng (bao gồm đường thẳng d) không chứa điểm M(0; 0).

Cách 2: Lấy một điểm M(x0; y0) không thuộc d.

  • Tính \(ax_0 + by_0\) và so sánh với c.
  • Nếu \(ax_0 + by_0 < c\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
  • Nếu \(ax_0 + by_0 > c\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Tính chất

  • Tính chất cộng:

Cộng hai bất phương trình cùng ẩn x, y ta được một bất phương trình có cùng miền nghiệm.

  • Tính chất nhân:

Nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số thực dương ta được một bất phương trình có cùng miền nghiệm.

Nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số thực âm ta được một bất phương trình có miền nghiệm đổi dấu.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Định nghĩa

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi (hệ) bất phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ chứa tối đa hai ẩn x và y, đồng thời không chứa các số hạng như \(x^2, y^2, xy, x^3, x^2y\), …

Giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cách 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Miền nghiệm của hệ là phần chung của miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để giải hệ bất phương trình.

Ví dụ

Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình:

  • \(x + y ≤ 2\)
  • \(x – y ≥ 0\)

Cách giải:

  • Vẽ đường thẳng d1: \(x + y = 2 và d2: x – y = 0\).
  • Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của hai miền nghiệm.
  • Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC (không bao gồm các cạnh).

Phương pháp giải bài tập bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Biểu diễn miền nghiệm

  • Vẽ đường thẳng biểu diễn mỗi bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
  • Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Phương pháp cộng đại số

  • Cộng hoặc trừ các bất phương trình vế theo vế để tạo ra một bất phương trình mới có nghiệm chung với hệ bất phương trình ban đầu.
  • Giải bất phương trình mới để tìm nghiệm.
  • Thay nghiệm tìm được vào các bất phương trình ban đầu để kiểm tra xem có thỏa mãn hay không.

Phương pháp thế

  • Biểu diễn một ẩn qua ẩn kia từ một bất phương trình trong hệ.
  • Thay biểu thức vừa tìm được vào bất phương trình còn lại để tạo ra một bất phương trình mới chỉ chứa một ẩn.
  • Giải bất phương trình mới để tìm nghiệm.
  • Thay nghiệm tìm được vào các bất phương trình ban đầu để kiểm tra xem có thỏa mãn hay không.

Phương pháp đưa về bất phương trình bậc nhất

  • Biến đổi các bất phương trình trong hệ về dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
  • Giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng các phương pháp đã học.

Bài tập có lời giải bài bất phương trình bậc nhất hai ẩn 

Bài 1: Giải hệ bất phương trình:

  • \(x + y ≤ 2\)
  • \(x – y ≥ 0\)

Cách giải:

Bước 1: Vẽ đường thẳng d1: \(x + y = 2 và d2: x – y = 0\).

Bước 2: Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình:

  • Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y ≤ 2\) là nửa mặt phẳng (bao gồm đường thẳng d1) nằm phía dưới đường thẳng d1.
  • Miền nghiệm của bất phương trình \(x – y ≥ 0\) là nửa mặt phẳng (bao gồm đường thẳng d2) nằm bên phải đường thẳng d2.

Bước 3: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của hai miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC (không bao gồm các cạnh).

Bài 2: Giải hệ bất phương trình:

  • \(2x + y > 3\)
  • \(x – 2y < 4\)

Cách giải:

Bước 1: Biểu diễn x theo y từ bất phương trình thứ hai: \(x < 2y + 4\).

Bước 2: Thay x vào bất phương trình thứ nhất, ta được: \(2(2y + 4) + y > 3\).

Bước 3: Giải bất phương trình:

  • \(5y + 8 > 3\)
  • \(5y > -5\)
  • \(y > -1\)

Bước 4: Thay y = -1 vào bất phương trình \(x < 2y + 4\), ta được: x < 2.

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là: \(x < 2 và y > -1\).

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x + 2y trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:

  • [latex]x + y ≤ 2\)
  • \(x – y ≥ 0\)

Cách giải:

Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Bước 2: Lấy một điểm M(x; y) bất kỳ trong miền nghiệm.

Bước 3: Thay x và y vào biểu thức P, ta được: \(P = x + 2y\).

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của P bằng cách tìm giá trị lớn nhất của \( x + 2y\) trong miền nghiệm.

Ta có:

  • \(x + 2y ≤ 2\)
  • \(x ≤ 2 – 2y\)

Vì x > -1 (theo bài 2), nên x ≤ 2. Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2 khi x = 2 và y = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 2.

Bài tập luyện tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn 

Bài 1: Giải hệ bất phương trình:

  • 2x + y > 4
  • x – y < 1

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + 3y trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:

  • x + y ≥ 1
  • x – 2y ≤ 4

Bài 3: Giải hệ bất phương trình:

  • x + 2y ≤ 5
  • x – y ≥ 0
  • y – x ≤ 1

Bài 4: Tìm miền nghiệm của bất phương trình:

  • 3x + 2y – 6 < 0

Bài 5: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

  • x + y ≤ 3
  • 2x – y ≥ 0

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – 2y trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:

  • x + y ≥ 2
  • x – y ≤ 0

Bài 7: Giải hệ bất phương trình:

  • x + y ≥ 1
  • x – y ≤ 2
  • 2x + 3y ≤ 6

Bài 8: Tìm miền nghiệm của bất phương trình:

  • |x| + |y| – 1 ≤ 0

Bài 9: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

  • x + y ≥ 0
  • x – y ≤ 0

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x^2 + y^2 trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:

  • x + y ≤ 1
  • x – y ≥ -1

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một chủ đề quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Hy vọng bài viết này đã giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bất phương trình bậc nhất hai ẩn và có thể giải quyết các bài tập liên quan một cách hiệu quả.