Tổng hợp kiến thức về bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Việc nắm vững kiến thức về bất phương trình bậc hai giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau. Bài viết này sẽ tổng hợp kiến thức cơ bản về bất phương trình bậc hai một ẩn, bao gồm định nghĩa, cách giải, ứng dụng và một số dạng bài tập thường gặp.

Bất phương trình bậc hai một ẩn là gì?

Bất phương trình bậc 2 một ẩn là một loại phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c < 0, ax^2 + bx + c ≤ 0, ax^2 + bx + c > 0\), hoặc \(ax^2 + bx + c ≥ 0\), trong đó a, b và c là các hệ số và x là ẩn. Loại bất phương trình này biểu thị một mối quan hệ không đẳng thức giữa biến x, được biểu diễn bởi phương trình bậc 2.

Cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng chuẩn \(ax^2 + bx + c < 0, ax^2 + bx + c ≤ 0, ax^2 + bx + c > 0\), hoặc \(ax^2 + bx + c ≥ 0\), tùy thuộc vào dạng ban đầu của nó.

Bước 2: Xác định điều kiện tồn tại và khả nghiệm của bất phương trình bằng cách xem xét giá trị của a, b và c.

Bước 3: Xác định dấu của a. Nếu a > 0, bất phương trình là một hàm lõm và các giá trị của x thỏa mãn điều kiện tạo thành điểm cực tiểu. Nếu a < 0, bất phương trình là một hàm lồi và các giá trị của x thỏa mãn điều kiện tạo thành điểm cực đại.

Bước 4: Xác định các điểm cắt giữa đồ thị và trục hoành để xác định khoảng giá trị của x thỏa mãn bất phương trình.

Bước 5: Tổng hợp các khoảng giá trị đã xác định để rút ra kết luận về tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ: Giải và biện luận bất phương trình \(x^2 + 2x + 6 > 0\)

Bước 1: Bất phương trình đã cho ở dạng \(ax^2 + bx + c > 0\).

Bước 2: a = 1, b = 2, và c = 6. Sử dụng công thức delta để xác định điều kiện tồn tại và khả nghiệm của nó: \(Δ = b^2 – 4ac = 2^2 – 4(1)(6) = 4 – 24 = -20\). Vì Delta âm, nên bất phương trình này không có nghiệm.

Bước 3: a = 1 > 0, nên bất phương trình này là một hàm lõm.

Bước 4: Do Delta âm, đồ thị bất phương trình không cắt trục hoành.

Bước 5: Vì không có điểm cắt giữa đồ thị và trục hoành, bất phương trình không có nghiệm.

Ví dụ trên là một phương pháp giải bất phương trình bậc 2 một ẩn. Tùy thuộc vào điều kiện và hệ số của phương trình, có thể có các phương pháp giải khác nhau.

Các dạng bất phương trình bậc 2 một ẩn 

Bất phương trình \(ax^2 + bx + c < 0\): Đây là loại bất phương trình có nghiệm dương, tức là giá trị của hàm số là âm trong một khoảng giá trị xác định.

Bất phương trình \(ax^2 + bx + c ≤ 0\): Đây là loại bất phương trình có nghiệm không âm, tức là giá trị của hàm số là không âm trong một khoảng giá trị xác định.

Bất phương trình \(ax^2 + bx + c > 0\): Đây là loại bất phương trình có nghiệm âm, tức là giá trị của hàm số là dương trong một khoảng giá trị xác định.

Bất phương trình \(ax^2 + bx + c ≥ 0\): Đây là loại bất phương trình có nghiệm không dương, tức là giá trị của hàm số là không dương trong một khoảng giá trị xác định.

Bài tập về bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1: Giải bất phương trình:

\(x^2 – 4x + 3 > 0\)

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng f(x) > 0.

\(f(x) = x^2 – 4x + 3 > 0\)

Bước 2: Xét dấu của f(x).

  • a = 1 > 0.
  • \(\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 >0\)
  • f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 3.

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình.

Vậy nghiệm của bất phương trình \(x^2 – 4x + 3 > 0 là x ∈ (-∞; 1) ∪ (3; ∞).\)

Bài 2: Giải bất phương trình:

\(-x^2 + 2x – 3 < 0\)

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng f(x) < 0.

\(f(x) = -x^2 + 2x – 3 < 0\)

Bước 2: Xét dấu của f(x).

  • a = -1 < 0.
  • \(Δ = 2^2 – 4*(-1)*(-3) = 2 > 0.\)
  • f(x) < 0 khi 1 < x < 3.

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình.

Vậy nghiệm của bất phương trình \(-x^2 + 2x – 3 < 0\) là x ∈ (1; 3).

Bài 3: Giải bất phương trình:

\(2x^2 – 5x + 2 ≥ 0\)

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng f(x) ≥ 0.

\(f(x) = 2x^2 – 5x + 2 ≥ 0\)

Bước 2: Xét dấu của f(x).

  • a = 2 > 0.
  • \(Δ = (-5)^2 – 4.2.2 = 1 > 0\).
  • f(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 2.
  • f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 2.
  • f(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 2.

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình.

Vậy nghiệm của bất phương trình \(2x^2 – 5x + 2 ≥ 0\) là x ∈ (-∞; 1] ∪ [2; ∞).

Bài 4: Giải bất phương trình:

\(-2x^2 + 4x – 5 ≤ 0\)

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng f(x) ≤ 0.

\(f(x) = -2x^2 + 4x – 5 ≤ 0\)

Bước 2: Xét dấu của f(x).

  • a = -2 < 0.
  • \(Δ = 4^2 – 4*(-2)*(-5) = -8 < 0\).
  • f(x) cùng dấu với hệ số a = -2 với mọi x ∈ R.

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình.

Vậy nghiệm của bất phương trình \(-2x^2 + 4x – 5 ≤ 0\) là x ∈ (-∞; ∞).

Bất phương trình bậc hai một ẩn là một chủ đề quan trọng và có nhiều ứng dụng trong toán học. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản về bất phương trình bậc hai một ẩn. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, bạn nên tham khảo thêm sách giáo khoa Toán lớp 10, Nâng cao và các tài liệu tham khảo khác.