Lý thuyết quan trọng bài ước chung và bội chung

Ước chung và bội chunglà hai khái niệm toán học cơ bản và quan trọng mà học sinh lớp 6 cần nắm vững. Nắm vững kiến thức về ước chung và bội chung giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến chia hết, so sánh, tìm số,…

Lý thuyết Ước chung và bội chung 

Ước chung

Ước chung của hai hay nhiều số là số cùng là ước của tất cả các số đó.

Ký hiệu: ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và b.

Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là số cùng là bội của tất cả các số đó.

Ký hiệu: BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

Tính chất

Tính chất giao hoán

ƯC(a, b) = ƯC(b, a)

BC(a, b) = BC(b, a)

Tính chất kết hợp

ƯC(a, b, c) = ƯC(ƯC(a, b), c)

BC(a, b, c) = BC(BC(a, b), c)

Tính chất phân phối

ƯC(\(a, b \times c\)) = ƯC(a, b) ∩ ƯC(a, c).

BC(\(a, b \times c\)) = BC(a, b) ∪ BC(a, c)

Cách tìm ước chung và bội chung

Cách tìm ước chung

• Liệt kê các ước của từng số.
• Chọn ra các ước chung của các số đã liệt kê.
• Sử dụng bảng ước số.

Cách tìm bội chung

• Liệt kê các bội của từng số.
• Chọn ra các bội chung của các số đã liệt kê.
• Sử dụng bảng bội số.

Cách tìm ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Sử dụng phương pháp phân tích số ra thừa số nguyên tố.

Phương pháp rút gọn

• Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.
• Bước 3: Tích các thừa số đã chọn, đó là UCLN hoặc BCNN của các số đã cho.

Ví dụ:

Tìm ƯC(12, 18):

• Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
• Ư(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
• ƯC(12, 18) = {1, 2, 3, 6}.

Tìm BC(12, 18):

• B(12) = {0, 12, 24, 36, …}.
• B(18) = {0, 18, 36, 54, …}.
• BC(12, 18) = {0, 36, 72, …}.

Tìm UCLN(12, 18):

• \(12 = 2^2 \times 3\).
• \(18 = 2 \times 3^2\).
• \(UCLN(12, 18) = 2 \times 3 = 6\).

Tìm BCNN(12, 18):

• \(12 = 2^2 \times 3\).
• \(18 = 2 \times 3^2\).
• \(BCNN(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 36\)

Bài tập về ước chung và bội chung có lời giải

Bài 1: Tìm ƯC(12, 18) và BC(12, 18).

Lời giải:

Tìm ƯC(12, 18):

Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Ư(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

ƯC(12, 18) = {1, 2, 3, 6}.

Tìm BC(12, 18):

B(12) = {0, 12, 24, 36, …}.

B(18) = {0, 18, 36, 54, …}.

BC(12, 18) = {0, 36, 72, …}.

Vậy, ƯC(12, 18) = {1, 2, 3, 6} và BC(12, 18) = {0, 36, 72, …}.

Bài 2: Tìm UCLN và BCNN của 15 và 20.

Lời giải:

Tìm UCLN(15, 20):

Phân tích 15 và 20 ra thừa số nguyên tố:

\(15 = 3 \times 5\).

\(20 = 2^2 \times 5\).

Chọn ra các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất:

UCLN(15, 20) = 5.

Tìm BCNN(15, 20):

Chọn ra các thừa số chung và riêng với số mũ cao nhất:

\(BCNN(15, 20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60\).

Vậy, \(UCLN(15, 20) = 5 và BCNN(15, 20) = 60\).

Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 2, 3, 5.

Lời giải:

Phân tích 2, 3, 5 ra thừa số nguyên tố:

2 = 2.

3 = 3.

5 = 5.

Chọn ra các thừa số chung và riêng với số mũ cao nhất:

\(BCNN(2, 3, 5) = 2 \times 3 \times 5 = 30\).

Vậy, số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 2, 3, 5 là 30.

Bài 4: Một lớp học có 24 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Cô giáo muốn chia lớp thành các tổ sao cho số học sinh nam và nữ ở mỗi tổ bằng nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ?

Lời giải:

• Để chia lớp thành các tổ sao cho số học sinh nam và nữ ở mỗi tổ bằng nhau thì số tổ phải là ước chung của 24 và 18.
• Tìm ƯC(24, 18) = {1, 2, 3, 6}.

Luyện tập

Bài 1: Tìm ƯC(10, 15) và BC(10, 15).

Bài 2: Tìm UCLN và BCNN của 12 và 16.

Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 3, 4, 6.

Bài 4: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 24m và chiều rộng 18m. Người ta muốn chia khu vườn thành những luống hình vuông có cạnh bằng nhau. Hỏi cạnh của luống vuông lớn nhất có thể là bao nhiêu?

Bài 5: Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) biết:

1. a + b = 42.
2. ƯCLN(a, b) = 6.

Bài 6: Chứng minh rằng:

1. Hai số nguyên tố cùng nhau thì tích của chúng cũng là số nguyên tố cùng nhau với mỗi số đó.
2. Hai số có chung ước lớn nhất bằng 1 thì hai số đó nguyên tố cùng nhau.

Ước chung và bội chung là hai khái niệm toán học cơ bản và quan trọng mà học sinh lớp 6 cần nắm vững. Nắm vững kiến thức về ước chung và bội chung giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến chia hết, so sánh, tìm số,…

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn