Tổng hợp lý thuyết so sánh phân số có bài tập vận dụng

So sánh phân sốlà một kỹ năng toán học cơ bản cần thiết cho học sinh lớp 6. Việc nắm vững kỹ năng này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phân số một cách dễ dàng và chính xác.

So sánh phân số là gì? 

So sánh phân sốlà xác định phân số nào lớn hơn, phân số nào nhỏ hơn hay hai phân số bằng nhau.

Ví dụ

\(\frac{5}{7} > \frac {3}{7}\) vì 5>3

\(-\frac{3}{5} >-\frac {4}{5}\) vì -3<-4

Cách so sánh phân số

Có hai phương pháp chính để so sánh phân số:

Cách1: Trong hai phân số cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Cách2: Trong hai phân số có tử và mẫu đều dương, nếu cùng tử thì phân số nào có mẫu nhỏ hơn, phân số đó sẽ lớn hơn.

Trong một số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm của các phân số ta còn có thể so sánh bằng một vài phương pháp khác. Dưới đây sẽ là một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số mà không quy đồng mẫu hoặc tử (chỉ xét các phân số có tử và mẫu dương).

Tính chất so sánh hai phân số

Tính chất bắc cầu

Nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) và \(\frac{c}{d} < \frac{e}{f}\) thì \(\frac{a}{b}< \frac{e}{f}\)

Tính chất liên hệ giữa so sánh phân số và so sánh hai số

Nếu a và b là hai số nguyên dương thì

\(\frac{a}{b}> 1\) Khi a > b

\(\frac{a}{b}< 1\) Khi a < b

\(\frac{a}{b}= 1\) Khi a = b

Phương pháp so sánh hai phân số

Dùng số 1 làm trung gian

Nếu \(\frac{a}{b}> 1\) và \(\frac{c}{d}< 1\) thì \(\frac{a}{b}> \frac{c}{d}\)

Ta sử dụng phương pháp trên khi nhận thấy một phân số có tử số lớn hơn mẫu số và phân số còn lại có tử số bé hơn mẫu số

Dùng phân số làm trung gian

Chọn một phân số trung gian có cùng tử với phân số này, cùng mẫu với phân số kia

Ta sử dụng cách trên nếu nhận thấy tử số của phân số thứ nhất bé hơn tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ 2

So sánh phần thừa hoặc phần thiếu của hai phân số

So sánh phần thừa

Nếu \(\frac{a}{b} = m + A \); \(\frac{c}{d} = m + A \)

mà  A >B thì \(\frac{a}{b}  > \frac{c}{d}\)

So sánh phần thiếu

Nếu \(\frac{a}{b} = m – E \); \(\frac{c}{d} = m – F \)

mà  E >F thì \(\frac{a}{b}  < \frac{c}{d}\)

Viết phân số dưới dạng hỗn số  

Trong hai hỗn số dương

– Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.

– Nếu hai phần nguyên bằng nhau thì hỗn số nào có phần phân số kèm theo lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.

Cộng cùng một số nguyên dương vào tử và mẫu của một phân số

Với a, b, m ∈ ℕ*

Ta có: 

Nếu \(\frac{a}{b} < 1\) thì \(\frac{a}{b} < \frac{ a+m}{b+m}\)

Nếu \(\frac{a}{b} > 1\) thì \(\frac{a}{b} > \frac{ a+m}{b+m}\)

Các dạng bài tập so sánh hai phân số

So sánh hai phân số cùng mẫu số

Cách 1: So sánh tử số. Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu.

So sánh hai phân số khác mẫu số

Cách 1: Quy đồng mẫu hai phân số rồi so sánh tử số.

Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu.

Cách 3: So sánh hai phân số với 1.

So sánh hai phân số có tử số hoặc mẫu số đối nhau

Cách 1: Quy đồng mẫu hai phân số rồi so sánh tử số.

Cách 2: Sử dụng tính chất so sánh hai số thập phân.

Bài tập so sánh hai phân số có lời giải chi tiết

Bài 1: So sánh hai phân số \(\frac{1}{4}\) và \(\frac{3}{8}\)

Lời giải

Cách 1: Quy đồng mẫu hai phân số:

\(\frac{1}{4} = \frac{1×2}{4×2}=\frac{2}{8}\)

\(\frac{3}{8}\) giữ nguyên

So sánh tử số: 2 < 3

Vậy \(\frac{1}{4}\) nhỏ hơn \(\frac{3}{8}\)

Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu

\(\frac{1}{4} < \frac{1}{2} = \frac{4}{4}< \frac{4}{8}= \frac{3}{8}\)

Bài 2: So sánh hai phân số

1. a) \(\frac{-3}{8} và \frac{-5}{24}\)

b)\( \frac{-2}{-5} và \frac{3}{-5}\)

c)\(\frac{-3}{-10} và \frac{-7}{-20}\)

d)\(\frac{-5}{4} và \frac{23}{-20}\)

Giải

3. a) Ta có: \(\frac{-3}{8} < -3.4 < \frac{-12}{24} < \frac{-5}{24}

   => \frac{-3}{8} < \frac{-5}{24}\)

1. b)    Ta có: \(\frac{-15}{-5} = 3, \frac{-2}{-2} = 1\) và \(\frac{3}{-2} = -1.5, \frac{3.3}{-5} = -0.66\) nên \(\frac{-15}{10} < \frac{-2}{-5} < \frac{3}{-2}\)
2. c) Ta có: \(\frac{-3}{-10} = 0.3, \frac{-3.2}{-6} = 0.53\) và \(\frac{-10.2}{-20} = 0.51\) nên \(\frac{-3}{-10} < \frac{-10.2}{-20} < \frac{-7}{-20}\)

    d)Ta có: \(\frac{-5}{-5} = 1, \frac{-5}{4} = -1.25, \frac{25}{-20} = -1.25\) và \(\frac{23}{-20} = -1.15\) nên \(\frac{23}{-5} < \frac{4}{-20}\)
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để so sánh hai phân số một cách chính xác.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn