Phương trình một ẩn: Phương pháp giải các dạng bài tập phổ biến

Trong chương trình toán học lớp 10, việc hiểu và giải quyết các phương trình một ẩn đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển nền tảng toán học của học sinh. Việc nắm vững các kỹ thuật và phương pháp giải phương trình một ẩn không chỉ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán mà còn mở ra cánh cửa cho việc hiểu sâu về toán học.

Định nghĩa phương trình một ẩn

Phương trình một ẩn là phương trình có dạng:

A(x) = B(x)

trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức của x, và x là ẩn số.

Phân loại phương trình một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa về phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một an.

Ví dụ:

Phương trình 2x + 3 = 0là phương trình bậc nhất ẫn 2.

Phương trình 2y – 4 = 2 là phương trình bậc nhất ẩn ỵ.

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẫn.

Cách giải:

Bước 1: Chuyển về ax = – b.

Bước 2: Chia hai về cho a ta được: x = – b/a.

Bước 3: Kết luận nghiệm: S = { – b/a }.

Ta có thể trình bày ngắn gọn như sau:

ax + b = 0 ax = – b x = – b/a.

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { – b/a ).

Ví dụ: Giải phương trình sau: 22-3-3.

Giải:

Ta có: 2x – 3 = 3 2x=6x==3.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {3}.

Để giải các phương trình đưa được về ax + b = 0 ta thường biến đổi phương trình như sau:

Bước 1: Quy đồng mẫu hai về và khử mẫu (nếu có)

Bước 2: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển về các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax = c.

Bước 3: Tìm x

Chú ý: Quá trình biến đổi phương trình về dạng ax = c có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0 nếu.

0x = c thì phương trình vô nghiệm S = Ø

0x = 0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x hay vô số nghiệm S = R.

Ví dụ : Giải phương trình 22 – (3-2x)=3x+1

Giải:

Ta có 2x (3-2x)=3x+12x32x3x+1 4x-3x=1+3 = 4.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {4}.

Phương trình bậc hai một ẩn

Định nghĩa:

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax^2 + bx + c = 0

trong đó a, b, c là các số thực, a ≠ 0.

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp sử dụng công thức nghiệm

Công thức nghiệm của phương trình ax^2 + bx + c = 0 là:

x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức ax^2 + bx + c thành nhân tử, ta được:

ax^2 + bx + c = (x + m)(x + n)

Khi đó, nghiệm của phương trình là x = -m và x = -n.

Phương pháp sử dụng đồ thị

Vẽ đồ thị của hàm số y = ax^2 + bx + c, ta có thể tìm được nghiệm của phương trình ax^2 + bx + c = 0 bằng cách tìm hoành độ của các giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Các dạng bài tập phương trình một ẩn 

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ:Giải phương trình 2x + 3 = 7.

Lời giải:

• Chuyển vế 3 sang vế trái, ta được: 2x = 4.

• Chia cả hai vế cho 2, ta được: x = 2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ:Giải phương trình x^2 – 4x + 3 = 0.

Lời giải:

• Sử dụng công thức nghiệm, ta được:

x = (4 ± √(4^2 – 4(1)(3))) / 2(1)

x = (4 ± √4) / 2

x = 2 ± 1

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 3.

Dạng 3: Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Ví dụ:Giải phương trình √(x + 2) = 3.

Lời giải:

• Bình phương hai vế của phương trình, ta được: x + 2 = 9.

• Chuyển 2 sang vế trái, ta được: x = 7.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 7.

Dạng 4: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ:Giải phương trình 1/(x – 1) = 2.

Lời giải:

• Nhân chéo hai vế của phương trình với x – 1, ta được: 1 = 2(x – 1).

• Khai triển vế phải, ta được: 1 = 2x – 2.

• Chuyển 2 sang vế trái, ta được: 2x = 3.

• Chia cả hai vế cho 2, ta được: x = 3/2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3/2.

Dạng 5: Giải bài toán bằng phương trình

Ví dụ:Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính kích thước của mảnh vườn.

Lời giải:

• Gọi chiều rộng của mảnh vườn là x (m) (x > 0).

• Chiều dài của mảnh vườn là x + 5 (m).

• Diện tích mảnh vườn ban đầu là: x(x + 5) (m^2).

• Diện tích mảnh vườn sau khi thay đổi là: (x – 3)(x + 7) (m^2).

• Ta có phương trình: x(x + 5) = (x – 3)(x + 7).

• Khai triển hai vế của phương trình, ta được: x^2 + 5x = x^2 + 4x – 21.

• Chuyển vế, ta được: x = 21.

• Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 21m, chiều dài là 26m.

Bài tập tự giải cho các dạng bài phương trình một ẩn

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất một ẩn

1. Giải các phương trình sau:
2. a) 2x + 3 = 7
3. b) 3x – 5 = 10
4. c) 5x – 2 = 3x + 8
5. d) 2(x + 1) = 4(x – 2)

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn

2. Giải các phương trình sau:
3. a) x^2 – 4x + 3 = 0
4. b) 2x^2 + 5x + 3 = 0
5. c) x^2 + 4x + 4 = 0
6. d) 2x^2 – 5x + 2 = 0

Dạng 3: Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

3. Giải các phương trình sau:
4. a) √(x + 2) = 3
5. b) √(x – 1) = 2
6. c) √(4 – x) = 5
7. d) √(9 – x^2) = 4

Dạng 4: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

4. Giải các phương trình sau:
5. a) 1/(x – 1) = 2
6. b) 2/(x + 2) = 3
7. c) 3/(x – 3) = 1
8. d) 4/(x + 4) = 2

Dạng 5: Giải bài toán bằng phương trình

5. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính kích thước của mảnh vườn.
6. Một xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi được 2 giờ, một xe khác cũng đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đuổi kịp xe thứ nhất sau 1 giờ. Tính quãng đường AB.
7. Một người thợ sơn một ngôi nhà trong 4 ngày. Nếu mỗi ngày làm việc 8 giờ thì người đó hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày. Hỏi nếu mỗi ngày làm việc 10 giờ thì người đó hoàn thành công việc sớm hơn bao nhiêu ngày?

Tóm lại, việc hiểu và làm chủ phương trình một ẩn là một phần quan trọng của hành trình học toán của học sinh lớp 10. Từ việc áp dụng phương trình để giải quyết các vấn đề hàng ngày đến việc hiểu sâu về cơ sở toán học của chúng, kiến thức này đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển kỹ năng toán học và logic của học sinh.