Lý thuyết Phép trừ các phân thức đại số - Toán lớp 9

Phép trừ các phân thức đại số là một phép toán cơ bản trong chương trình Toán lớp 8. Hiểu rõ cách thực hiện phép trừ các phân thức đại số là một yêu cầu cần thiết để học sinh có thể giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức một cách hiệu quả và chính xác.Bài viết này sẽ trình bày một cách chi tiết về phép trừ các phân thức đại số.

Khái niệm phép trừ phân thức đại số

Phép trừ phân thức đại sốlà phép toán kết hợp hai phân thức đại số thành một phân thức đại số mới.

Ví dụ:

• Trừ hai phân thức  \(\frac{1}{x}\)và  \(\frac{2}{x} + 1\):

 \(\frac{1}{x} – \frac{2}{x} + 1\) = \(\frac{1 \cdot (x + 1) – 2 \cdot x}{x(x + 1)} = \frac{x + 1 – 2x}{x(x + 1)} = \frac{-x + 1}{x(x + 1)}
\) 

• Trừ hai phân thức \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) và \(\frac{2x}{x^2} – 1\) :

 \(x^2 + \frac{1}{x^2} – \frac{2x}{x^2} – 1\)  =\(\frac{x^2 + 1 – 2x}{x^2 – 1} = \frac{x^2 – 2x + 1}{(x + 1)(x – 1)}\) 

Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Có hai cách để trừ hai phân thức đại số:

Cách 1:

Quy đồng mẫu thức:

• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử.
• Tìm BCNN của các mẫu thức.
• Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

• Sau khi quy đồng mẫu thức, ta có thể trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Ví dụ:

Trừ hai phân thức \(\frac{1}{x}\)và \(\frac{2}{x} + 1\):

Bước 1:Phân tích các mẫu thức thành nhân tử.

• Mẫu thức của phân thức thứ nhất làx.
• Mẫu thức của phân thức thứ hai làx + 1.

Bước 2:Tìm BCNN của các mẫu thức.

• BCNN củaxvàx + 1làx(x + 1).

Bước 3:Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

• Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất vớix + 1.
• Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai vớix.

Bước 4:Trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

 \(\frac{1 \cdot (x + 1)}{x \cdot (x + 1)} – \frac{2 \cdot x}{x \cdot (x + 1)}\)  =  \(\frac{x + 1 – 2x}{x(x + 1)} = \frac{-x + 1}{x(x + 1)}\)

Cách 2:

Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp:

• A – B = A + (-B)
• (A + B) – C = A + (B – C)

Ví dụ:

Trừ hai phân thức \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{2}{x} + 1\):

 \(\frac{1}{x} – \frac{2}{x} + 1\)  =\(\frac{1}{x} + \left( -\frac{2}{x} + 1 \right) = \frac{1}{x} + \left( -\frac{2 \cdot (1 – x)}{x + 1} \right)\) =\(\frac{1}{x} + \frac{2x – 2}{x(x + 1)}\) =  \(\frac{1 + 2x – 2}{x(x + 1)}\) =  \(\frac{2x – 1}{x(x + 1)}\)

Lưu ý:

• Khi trừ hai phân thức, cần đảm bảo rằng hai phân thức có cùng mẫu thức.
• Khi phân tích mẫu thức thành nhân tử, cần lưu ý đến các dấu của các số hạng.
• Khi quy đồng mẫu thức, cần chú ý đến các nhân tử phụ.

Kết luận:

Có hai cách để trừ hai phân thức đại số: quy đồng mẫu thức và sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp. Cả hai cách đều cho cùng kết quả.

Một số trường hợp đặc biệt trong phép trừ các phân thức đại số

Trừ hai phân thức có cùng tử thức:

Khi hai phân thức có cùng tử thức, ta có thể trừ hai mẫu thức với nhau và giữ nguyên tử thức.

Ví dụ:

Trừ hai phân thức \(\frac{x + 1}{x^2 – 1}\)  và\(\frac{x + 1}{x^2 + 1}\)

\(\frac{x + 1}{x^2 – 1} – \frac{x + 1}{x^2 + 1}\)=\(\frac{x + 1}{(x^2 – 1) – (x^2 + 1)}\)

=\(\frac{x + 1}{-2} = -\frac{x + 1}{2}\)

Trừ hai phân thức có mẫu thức là các đa thức bình phương:

Khi hai phân thức có mẫu thức là các đa thức bình phương, ta có thể sử dụng phương pháp tách đa thức thành nhân tử để rút gọn phân thức trước khi thực hiện phép trừ.

Ví dụ:

Trừ hai phân thức\(\frac{1}{x^2 – 9}\) và \(\frac{1}{x^2 + 4x + 4}\):

Bước 1:Rút gọn phân thức thứ nhất:

\(\frac{1}{{x^2 – 9}} = \frac{1}{{(x + 3)(x – 3)}} = \frac{1}{{2(x + 3)(x – 3)}}\)

Bước 2:Rút gọn phân thức thứ hai:

\(\frac{1}{{x^2 + 4x + 4}} = \frac{1}{{(x + 2)^2}} = \frac{1}{{2(x + 2)}}\)

Bước 3:Trừ hai phân thức đã rút gọn:

\(\frac{1}{2}(x + 3)(x – 3) – \frac{1}{2}(x + 2) = \frac{(x + 3)(x – 3) – (x + 2)}{2(x + 3)(x – 3)(x + 2)} = \frac{x^2 – 9 – (x + 2)}{2(x + 3)(x – 3)(x + 2)} = \frac{x^2 – 9 – x – 2}{2(x + 3)(x – 3)(x + 2)} = …
\)

Trừ hai phân thức có mẫu thức có nhân tử chung:

Khi hai phân thức có mẫu thức có nhân tử chung, ta có thể tách nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc trước khi thực hiện phép trừ.

Ví dụ:

Trừ hai phân thức \(\frac{x}{x – 1}\)và \(\frac{2x}{x + 1}\):

\(\frac{x}{x – 1} – \frac{2x}{x + 1} = \frac{x}{(x – 1)(x + 1)} – \frac{2x}{(x + 1)(x – 1)} = \frac{x – 2x}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{-x}{(x – 1)(x + 1)}\)

Kết luận:

Có một số trường hợp đặc biệt trong phép trừ các phân thức đại số. Cần áp dụng các phương pháp phù hợp để rút gọn phân thức hoặc biến đổi phân thức trước khi thực hiện phép trừ.

Ứng dụng về phép trừ các phân thức đại số

Phép trừ các phân thức đại số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

Toán học:

• Giải các bài toán liên quan đến cộng, trừ, nhân, chia phân thức.
• Rút gọn phân thức.
• Giải các phương trình phân thức.
• Chứng minh các định lý toán học.

Vật lý:

• Tính toán các đại lượng vật lý như vận tốc, gia tốc, lực, năng lượng.
• Giải các bài toán liên quan đến chuyển động, lực, năng lượng.
• Mô hình hóa các hiện tượng vật lý.

Kỹ thuật:

• Giải các bài toán liên quan đến mạch điện, điện tử.
• Thiết kế các hệ thống điều khiển.
• Mô hình hóa các hệ thống kỹ thuật.

Kinh tế học:

• Tính toán các đại lượng kinh tế như lợi nhuận, chi phí, giá cả.
• Giải các bài toán liên quan đến đầu tư, sản xuất, tiêu dùng.
• Mô hình hóa các hệ thống kinh tế.

Tin học:

• Giải các bài toán liên quan đến lập trình, giải thuật.
• Thiết kế các hệ thống thông tin.
• Mô hình hóa các hệ thống tin học.

Ngoài ra, phép trừ các phân thức đại số còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như hóa học, sinh học, y học, tài chính, v.v.

Phép trừ các phân thức đại số là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau. Hiểu rõ cách sử dụng phép trừ các phân thức đại số giúp học sinh và sinh viên giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.

Ngoài ra, việc nắm vững kiến thức về phép trừ các phân thức đại số còn giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về phép trừ các phân thức đại số.