Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phân tích đa thức thành nhân tửlà một kỹ năng quan trọng trong môn Toán lớp 8. Kỹ năng này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến việc biến đổi và giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.Bài viết nàysẽ trình bày chi tiết về phương pháp đặt nhân tử chung, bao gồm các bước thực hiện, ví dụ minh họa và các lưu ý khi áp dụng phương pháp này.

Lý thuyết 

Phương pháp đặt nhân tử chunglà một trong những phương pháp phổ biến nhất để phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp này dựa trên nguyên tắc“nhóm các hạng tử có nhân tử chung”.

Đặc nhân tử chung

A.B + A.C + A.D = A(B + C – D)

+ Tìm nhân tử chung là đơn hoặc đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử

+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác.

+ Viết nhân tử chung ra ngoài hoặc dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).

Quy tắc dấu ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “−” đứng trước, ta phải đối dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu “−“ thành dấu “+” và dấu “+” thành dấu “−”. Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đứng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

Bài tập

Các dạng bài tập về Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung và cách giải:

Dạng 1:Phân tích đa thức có tất cả các hạng tử đều có nhân tử chung.

Cách giải:

• Tìm nhân tử chung lớn nhất của các hạng tử trong đa thức.
• Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.
• Phân tích đa thức trong ngoặc thành nhân tử (nếu cần).

Ví dụ:

• Phân tích đa thức \(2x^2 + 4x + 6\) thành nhân tử.

Giải:

• Nhân tử chung lớn nhất của các hạng tử \(2x^2\), 4x và 6 là 2.
• Đặt 2 ra ngoài dấu ngoặc, ta được:

\(2x^2 + 4x + 6 = 2(x^2 + 2x + 3)\)

• Phân tích đa thức \(x^2 + 2x + 3\) thành nhân tử, ta được:

\(x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2\)

Vậy \(2x^2 + 4x + 6 = 2(x + 1)^2\).

• Phân tích đa thức \(3x^3 – 9x^2 + 15x\) thành nhân tử.

Giải:

• Nhân tử chung lớn nhất của các hạng tử \(3x^3, -9x^2\) và 15x là 3x.
• Đặt 3x ra ngoài dấu ngoặc, ta được:

\(3x^3 – 9x^2 + 15x = 3x(x^2 – 3x + 5)\)

• Phân tích đa thức \(x^2 – 3x + 5\) thành nhân tử (không phân tích được nữa).

Vậy \(3x^3 – 9x^2 + 15x = 3x(x^2 – 3x + 5)\).

Dạng 2:Phân tích đa thức có một số hạng tử không có nhân tử chung với các hạng tử khác.

Cách giải:

• Tìm nhân tử chung của các hạng tử có nhân tử chung.
• Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.
• Phân tích đa thức trong ngoặc thành nhân tử.
• Xử lý hạng tử không có nhân tử chung với các hạng tử khác.

Ví dụ:

• Phân tích đa thức \(x^2 + 2x + 1 – y^2\) thành nhân tử.

Giải:

• Nhân tử chung của các hạng tử \(x^2\), 2x và 1 là x.
• Đặt x ra ngoài dấu ngoặc, ta được:

\(x^2 + 2x + 1 – y^2 = x(x + 2 + 1) – y^2\)

• Phân tích đa thức x + 2 + 1 thành nhân tử, ta được:

x + 2 + 1 = (x + 3)

• Xử lý hạng tử \(y^2\):

\(y^2 = (y)^2\)

Vậy \(x^2 + 2x + 1 – y^2 = x(x + 3) – y^2 = (x + 3)(x – y)\).

• Phân tích đa thức \(x^3 – 2x^2 + x – 2\) thành nhân tử.

Giải:

• Nhân tử chung của các hạng tử \(x^3, -2x^2\) và x là x.
• Đặt x ra ngoài dấu ngoặc, ta được:

\(x^3 – 2x^2 + x – 2 = x(x^2 – 2x + 1) – 2\)

• Phân tích đa thức \(x^2 – 2x + 1\) thành nhân tử, ta được:

\(x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2\)

• Xử lý hạng tử -2:

-2 = -2

Vậy \(x^3 – 2x^2 + x – 2 = x(x – 1)^2 – 2 = (x – 1)^2(x + 2)\).

Phương pháp đặt nhân tử chunglà một phương pháp đơn giản và hiệu quả để phân tích đa thức thành nhân tử. Việc nắm vững phương pháp này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến đa thức một cách nhanh chóng và chính xác.