Lý thuyết nhân đa thức với đa thức - Toán lớp 8

Nhân đa thức với đa thức là một phép toán cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Phép toán này giúp chúng ta giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau, từ việc tính giá trị biểu thức, biến đổi biểu thức, cho đến giải các bài toán ứng dụng thực tế.

Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về phương pháp và quy tắc nhân đa thức với đa thức, cũng như các tính chất của phép toán này. Bên cạnh đó, bài viết cũng sẽ cung cấp các ví dụ minh họa và bài tập thực hành để giúp học sinh hiểu rõ hơn về nội dung này.

Định nghĩa đa thức

Đa thức là một biểu thức đại số bao gồm các biến và các hệ số, và chỉ dùng các phép cộng, phép trừ, phép nhân, và lũy thừa với số mũ tự nhiên của các biến.

Ví dụ:

• \(x^2 + 3x – 2\) là một đa thức.
• \(2xy^2 – 5x^2 + 1\) là một đa thức.
• \((x + 1)(x^2 – 2x + 1)\) là một đa thức.

Lưu ý:

• Một số đơn thức cũng được coi là một đa thức.
• Số 0 cũng được coi là một đa thức (đa thức không).

Phân loại đa thức:

• Đa thức một biến:là đa thức chỉ có một biến.
• Đa thức hai biến:là đa thức chỉ có hai biến.
• Đa thức nhiều biến:là đa thức có nhiều hơn hai biến.

Bậc của đa thức:

Bậc của đa thức là số mũ cao nhất của biến trong đa thức.

Ví dụ:

• Bậc của đa thức \(x^2 + 3x – 2 là 2\).
• Bậc của đa thức \(2xy^2 – 5x^2 + 1 là 2\).
• Bậc của đa thức \((x + 1)(x^2 – 2x + 1) là 3\).

Đa thức có thể được sử dụng để mô hình hoặc biểu diễn một loạt các vấn đề trong toán học và khoa học tự nhiên, và chúng thường được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như đại số, tích phân, xác suất và thống kê.

Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

\(
\begin{align*}
A &= (x + 2)(x^2 – 3x + 1) \\
&= x \times x^2 + x \times (-3x) + x \times 1 + 2 \times x^2 + 2 \times (-3x) + 2 \times 1 \\
&= x^3 – 3x^2 + x + 2x^2 – 6x + 2 \\
&= x^3 – x^2 – 5x + 2
\end{align*}
\)
Ngoài ra, có thể tóm tắt quy tắc nhân đa thức bằng các bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi đa thức thành tích các đơn thức.

Bước 2: Nhân từng đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia.

Bước 3: Cộng các tích thu được.

Ví dụ:

Tính (x + 2)(x – 1).

Bước 1:

\(x + 2 = x * 1 + 2 * 1 = x + 2\)

\(x – 1 = x * 1 – 1 * 1 = x – 1\)

Bước 2:

\((x + 2) * (x – 1) = (x + 2) * x + (x + 2) * (-1)\)

Bước 3:

\((x + 2) * x + (x + 2) * (-1) = x^2 + x – x – 2 = x^2 – 2\)

Vậy \((x + 2)(x – 1) = x^2 – 2\)

Lưu ý:

• Khi nhân hai đa thức, cần chú ý đến các dấu của các hạng tử.
• Có thể sử dụng máy tính để tính toán nhanh hơn.

Các bước thực hiện nhân đa thức với đa thức

Để nhân đa thức với đa thức, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi đa thức thành tích các đơn thức.

Bước 2: Nhân từng đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia.

Bước 3: Cộng các tích thu được.

Ví dụ:

Tính \((x + 2)(x^2 – 3x + 1)\).

Bước 1:

\(x + 2 = x * 1 + 2 * 1 = x + 2\)

\(x^2 – 3x + 1 = x^2 * 1 – 3x * 1 + 1 * 1 = x^2 – 3x + 1\)

Bước 2:

\((x + 2) * (x^2 – 3x + 1) = (x + 2) * x^2 + (x + 2) * (-3x) + (x + 2) * 1\)

Bước 3:

\((x + 2) * x^2 + (x + 2) * (-3x) + (x + 2) * 1 = x^3 + x^2 – 3x^2 – 6x + x + 2\)

= \(x^3 – 2x^2 – 5x + 2\)

Vậy \((x + 2)(x^2 – 3x + 1) = x^3 – 2x^2 – 5x + 2\).

Tính chất của nhân đa thức với đa thức 

Tính chất giao hoán:

A * B = B * A

Ví dụ:

(x + 2)(x – 1) = (x – 1)(x + 2)

Tính chất kết hợp:

A * (B * C) = (A * B) * C

Ví dụ:

\(
\begin{align*}
(x + 1)(x^2 – 2x + 1) &= (x + 1)(x^2 – 2x) + (x + 1) \times 1 \\
&= x^3 – 2x^2 + x^2 – 2x + x + 1 \\
&= x^3 – x^2 – x + 1
\end{align*}
\)
Tính chất phân phối:

A * (B + C) = A * B + A * C

Ví dụ:

\(
\begin{align*}
(x + 2)(x^2 + 3x – 1) &= (x + 2) \times x^2 + (x + 2) \times 3x + (x + 2) \times (-1) \\
&= x^3 + 2x^2 + 3x^2 + 6x – x – 2 \\
&= x^3 + 5x^2 + 5x – 2
\end{align*}
\)
Hệ quả:

0 * A = 0

A * 1 = A

(-A) * B = A * (-B) = -(A * B)

Ví dụ:

\(
\begin{align*}
0 \times (x + 2) &= 0 \\
(x + 2) \times 1 &= x + 2 \\
(-x^2 + 3x – 1) \times (-2) &= 2x^2 – 6x + 2
\end{align*}
\)
Ứng dụng:

Tính chất của nhân đa thức được ứng dụng trong nhiều bài toán, bao gồm:

• Rút gọn biểu thức.
• Biến đổi biểu thức.
• Giải các bài toán ứng dụng thực tế.

Các dạng bài tập liên quan

Ví dụ1:

Tính \((x + 2)(x^2 – 3x + 1)\)

Giải:

\(\begin{align*}
&= x \times x^2 + x \times (-3x) + x \times 1 + 2 \times x^2 + 2 \times (-3x) + 2 \times 1 \\
&= x^3 – 3x^2 + x + 2x^2 – 6x + 2 \\
&= x^3 – x^2 – 5x + 2
\end{align*}\)
Ví dụ2:

Biến đổi biểu thức \(A = (x + 2)(x^2 – 3x + 1) – x^3\) thành biểu thức chỉ có \(x^2\) và x.

Giải:

\(
\begin{align*}
A &= (x + 2)(x^2 – 3x + 1) – x^3 \\
&= x^3 – x^2 – 5x + 2 – x^3 \\
&= -x^2 – 5x + 2 \\
&= -x^2 + 2x – 7x + 2 \\
&= -x(x – 2) – 7(x – 2) \\
&= (-x – 7)(x – 2)
\end{align*}
\)
Tóm lại, phép nhân đa thức với đa thức là một phép toán quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc nắm vững phương pháp và quy tắc thực hiện phép toán này là điều cần thiết đối với học sinh lớp 8.Bài viết này hy vọng đã cung cấp cho các bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết về phép nhân đa thức với đa thức. Chúc các bạn học tốt!