Giới hạn của dãy số là một khái niệm quan trọng trong toán học lớp 11, đóng vai trò nền tảng cho nhiều lĩnh vực khác như giải tích, đại số và hình học. Khái niệm này giúp ta nghiên cứu hành vi của dãy số khi số hạng tiến đến vô cùng, từ đó dự đoán giá trị mà dãy số sẽ tiệm cận.
Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên tập K (trừ điểm x0), ta nói \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\)nếu với mọi dãy số (xn) bất kỳ trong K và thỏa mãn xn ≠ x0 và \[\lim_{n \to \infty} x_n = x_0\] thì \[\lim_{n \to \infty} f(x_n) = L\]
Tính chất
Dấu hiệu
Dấu hiệu Cauchy:Dãy số (f(xn)) có giới hạn L khi x → x0 nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho:
|f(x) – L| < ε với mọi x ∈ K thỏa mãn 0 < |x – x0| < δ
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên tập K (trừ điểm x0), ta nóilim_(x->∞) f(x) = Lnếu với mọi dãy số (xn) bất kỳ trong K và thỏa mãn xn → ∞ thì lim_(n->∞) f(xn) = L.
Ký hiệu:
Ý nghĩa:
Khi x tiến đến vô cùng, giá trị của f(x) tiến đến L.
Ví dụ:
Tính chất:
Ký hiệu “lim”trong toán học được sử dụng để biểu diễngiới hạncủa một hàm số hoặc dãy số. Khi nói đến giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến một giá trị cụ thể (a), ta có hai dạng ký hiệu:
Ví dụ:
Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng ký hiệu “lim” để biểu diễngiới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cùng:
Ví dụ:
Nếu \(\lim_{x \to x_0}\) u(x) = L và \(\lim_{x \to x_0}\) v(x) = M thì \(\lim_{x \to x_0}\) (u(x) + v(x)) = L + M.
Nếu \(\lim_{x \to x_0}\) u(x) = L và \(\lim_{x \to x_0}\) k ≠ 0 thì \(\lim_{x \to x_0}\) (k * u(x)) = k * L.
Nếu \(\lim_{x \to x_0}\) u(x) = L và \(\lim_{x \to x_0}\) v(x) ≠ 0 thì \(\lim_{x \to x_0}\) (u(x) / v(x)) = L / v(x0).
Nếu \(\lim_{x \to x_0}\) u(x) = L ≠ 0 thì \(\lim_{x \to x_0}\) f(x) / u(x) = \(\lim_{x \to x_0}\) f(x) / L.
Định lý liên quan đến giới hạn vô cùng
Nếu \(\lim_{x \to ∞}\) u(x) = ∞ thì \(\lim_{x \to ∞}\) f(x) / u(x) = \(\lim_{x \to ∞}\) f(x) / u(x0).
Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu \(\lim_{x \to x_0}\) f(x) = f(x0).
Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 nếu và chỉ nếu \(\lim_{h \to 0}\) (f(x0 + h) – f(x0)) / h = f'(x0).
Giới hạn của lũy thừa
Giới hạn của hàm số mũ
Giới hạn của hàm số logarit
Giới hạn của hàm số lượng giác
Giới hạn của một số hàm số đặc biệt
Khái niệm:
Giới hạn của hàm số f(x) tại x = a là L khi:
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |x – a| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε
Ví dụ:
Tìm \(\lim_{x \to 2}x^2\)
Giải:
Theo định nghĩa giới hạn, ta có:
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |x – 2| < δ ⇒ |x^2 – 4| < ε
Chọn δ = √ε. Khi đó, |x – 2| < δ ⇒ |x^2 – 4| = |(x – 2)(x + 2)| < 2δ = 2√ε < ε
Vậy \(\lim_{x \to 2} x^2 = 4\)
Ví dụ:
Tìm \(\lim_{x \to 0}\) sin(x) / x
Giải:
Ta có:
\(\lim_{x \to 0}\) sin(x) / x = 0/0
Sử dụng quy tắc l’Hôpital, ta có:
\(\lim_{x \to x_0}\) sin(x) / x = \(\lim_{x \to x_0}\) cos(x) / 1 = cos(0) = 1
Khái niệm:
Dạng toán tìm giới hạn của hàm số dạng 0 nhân ∞ là dạng toán tìm giới hạn của hàm số có dạng f(x) = g(x) * h(x), với:
Phương pháp giải:
Phương pháp 1: Quy tắc nhân
Nếu \(\lim_{x \to a}\) g(x) = L và \(\lim_{x \to a}\) h(x) = M (M ≠ 0), thì \(\lim_{x \to a}\) [g(x) * h(x)] = L * M.
Phương pháp 2: Biến đổi hàm số
Biến đổi hàm số f(x) về dạng khác,
Ví dụ:
Tìm \(\lim_{x \to x_0}\) x * ln(1/x)
Giải:
Ta có:
\(\lim_{x \to x_0}\) x * ln(1/x) = 0 * ∞
Sử dụng quy tắc nhân, ta có:
\(\lim_{x \to x_0}\) x * ln(1/x) = \(\lim_{x \to x_0}\) x * \(\lim_{x \to x_0}\) ln(1/x)
= \(\lim_{x \to x_0}\) x * \(\lim_{x \to x_0}\) (-ln(x))
= \(\lim_{x \to x_0}\) -x * ln(x)
= -∞
Nếu \(\lim_{x \to x_0}\) f(x) = \(\lim_{x \to x_0}\) g(x) = 0 (hoặc ∞) thì \(\lim_{x \to x_0}\) f(x) / g(x) = \(\lim_{x \to x_0}\) f'(x) / g'(x) (nếu f'(x) / g'(x) tồn tại).
Ví dụ:
Tìm \(\lim_{x \to ∞}(x^2 + 1) / (x^2 – 1)\)
Giải:
Ta có:
\(\lim_{x \to ∞}(x^2 + 1) / (x^2 – 1) = ∞/∞\)
Sử dụng quy tắc chia, ta có:
\(\lim_{x \to ∞} (x^2 + 1) / (x^2 – 1)\) = \(\lim_{x \to ∞}(x^2 + 1) / (x^2 – 1) * 1/x^2\)
=\(\lim_{x \to ∞}(1 + 1/x^2) / (1 – 1/x^2)\)
= 1
Ví dụ:
Tìm \(\lim_{x \to π/2}\)(tan(x) – 1) / (x – π/2) \(\lim_{x \to π/2}\)
Giải:
Ta có:
\(\lim_{x \to π/2}\) (tan(x) – 1) / (x – π/2) = 0/0
Sử dụng quy tắc l’Hôpital, ta có:
\(\lim_{x \to π/2}\) (tan(x) – 1) / (x – π/2) = \(\lim_{x \to π/2}sec^2(x) / 1\)
= \(sec^2(π/2)\)
= ∞
Bài 1: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (n^2 + 1) / (n^2 – 1)\)
Lời giải:
Ta có:
\(\lim_{n \to ∞}\) un = \(\lim_{n \to ∞}(n^2 + 1) / (n^2 – 1)\)
= \(\lim_{n \to ∞} (1 + 1/n^2) / (1 – 1/n^2)\)
= 1
Bài 2: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (-1)^n * n\)
Lời giải:
Ta có:
Vì \(\lim_{n \to ∞}\) n = ∞ và \(\lim_{n \to ∞}\) (-n) = -∞, nên \(\lim_{n \to ∞}\) (-1)^n * n không tồn tại.
Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số (un) với un = (sin(nπ/2)) / n
Lời giải:
Ta có:
Vì \(\lim_{n \to ∞}\) 1/n = 0, nên \(\lim_{n \to ∞}\) (sin(nπ/2)) / n = 0
Bài 4: Tìm giới hạn của dãy số (un) với un = (1 + 1/2 + … + 1/n) / n
Lời giải:
Ta có:
Vì \(\lim_{n \to ∞}\) 1/n = 0, nên \(\lim_{n \to ∞}\) (1 + 1/2 + … + 1/n) / n = 1
Bài 5: Tìm giới hạn của dãy số (un) với\(un = (n^3 + 2n^2 + 3n + 1) / (n^3 + 2n^2 + n + 1)\)
Lời giải:
Ta có:
\(\lim_{n \to ∞}\) un = \(\lim_{n \to ∞}(n^3 + 2n^2 + 3n + 1) / (n^3 + 2n^2 + n + 1)\)
= \(\lim_{n \to ∞} (1 + 2/n + 3/n^2 + 1/n^3) / (1 + 2/n + 1/n^2 + 1/n^3)\)
= 1
Bài 1:Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (n^2 + 1) / (n^3 + 1)\)
Bài 2:Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (-1)^n * n^2\)
Bài 3:Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (cos(nπ)) / n\)
Bài 4:Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (1 + 1/2 + … + 1/n) / (n + 1)\)
Bài 5:Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (n^3 + 2n^2 + 3n + 1) / (n^3 + 2n^2 + n + 2)\)
Bài 6:Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (n^2 + sin(nπ)) / (n^2 + cos(nπ))\)
Hiểu rõ giới hạn của dãy số giúp ta giải quyết nhiều bài toán thực tế, ví dụ như tính tổng vô hạn, tính diện tích, thể tích của các hình cong phức tạp, hay mô hình hóa các hiện tượng biến đổi trong tự nhiên. Việc nắm vững các định lý, quy tắc tính giới hạn và áp dụng linh hoạt vào bài toán là điều kiện cần thiết để học tốt môn Toán lớp 11 và các môn học liên quan.
Address: 148/9 Ung Văn Khiêm, Phường 25, Bình Thạnh, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam
Phone: 0988584696
E-Mail: contact@toanhoc.edu.vn