Lý thuyết khoảng cách từ tâm đến dây cung - Toán lớp 9

Trong hình học đường tròn, một trong những khái niệm quan trọng là khoảng cách từ tâm đến dây cung. Đây là một khía cạnh đặc biệt của đường tròn mà không chỉ làm sáng tỏ về cấu trúc của nó mà còn có những ứng dụng sâu rộng trong thực tế. Hãy cùng khám phá về khái niệm này và những ứng dụng thú vị mà nó mang lại trong bài viết sau đây.

Định nghĩa về khoảng cách từ tâm đến dây cung

Khoảng cách từ tâm đến dây cung của một đường tròn là đoạn thẳng kết nối tâm của đường tròn với một điểm nằm trên dây cung. Nó là khoảng cách ngắn nhất từ tâm của đường tròn đến dây cung tương ứng.

Các yếu tố liên quan:

• Tâm đường tròn (O):Là điểm chính giữa của đường tròn.
• Bán kính đường tròn (R):Là đoạn thẳng nối tâm đường tròn với bất kỳ điểm nào trên đường tròn.
• Dây cung (AB):Là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn.
• Điểm H:Là điểm chân đường cao, là giao điểm của đường cao và dây cung.
• Góc AOH và góc BOH:Là hai góc kề bù, có tổng số đo bằng 90°.

Công thức tính:

• \(OH = \sqrt{R^2 – AH^2}\)
• Với AH là khoảng cách từ A đến điểm H.

Ví dụ:

Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB. Kẻ OH vuông góc với AB tại H. Ta có: OH là khoảng cách từ tâm O đến dây cung AB.

Tính chất khoảng cách từ tâm đến dây cung

Tính chất cơ bản:

• Khoảng cách từ tâm đến dây cung bằng bán kính đường tròn khi dây cung là đường kính.

Chứng minh:

Cho đường tròn (O; R) và đường kính AB. Kẻ OH vuông góc với AB tại H.

Ta có:

• OA = OB = R (tính chất đường kính)
• OH là đường trung tuyến của tam giác AOB (tính chất đường kính)

Suy ra: AH = HB =\(\frac{AB}{2}\) (tính chất đường trung tuyến)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AOH, ta có:

\(OA^2 = OH^2 + AH^2\)
\(R^2 = OH^2 + \frac{AB^2}{4}\)
\(Suy ra: OH^2 = R^2 – \frac{AB^2}{4}\)

Vì AB là đường kính nên AB = 2R. Thay vào, ta có:

\(OH^2 = R^2 – \frac{2R^2}{4}\)
\(OH^2 = \frac{R^2}{2}\)
\(OH = \sqrt{\frac{R^2}{2}}\)
\(OH = {R}\)
Vậy khoảng cách từ tâm đến dây cung bằng bán kính đường tròn khi dây cung là đường kính.

Khoảng cách từ tâm đến dây cung càng nhỏ thì dây cung càng dài.

Chứng minh:

Cho đường tròn (O; R) và hai dây cung AB và CD. Kẻ OH vuông góc với AB tại H và OK vuông góc với CD tại K.

Ta có:

• OH < OK (vì OH là đường cao của tam giác AOB, OK là đường cao của tam giác COD)
• AB > CD (vì OH < OK, theo tính chất tam giác vuông)

Vậy khoảng cách từ tâm đến dây cung càng nhỏ thì dây cung càng dài.

Hệ quả về khoảng cách từ tâm đến dây cung

Dây cung đi qua tâm đường tròn là đường kính.

Chứng minh:

Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB đi qua tâm O. Kẻ OH vuông góc với AB tại H.

Ta có:

• OA = OB = R (tính chất tâm đường tròn)
• OH là đường trung tuyến của tam giác AOB (tính chất tâm đường tròn)

Suy ra: AH = HB = \(\frac{AB}{2}\) (tính chất đường trung tuyến)

Vì AH = HB nên OH là đường cao của tam giác AOB.

Suy ra: AB ⊥ OH

Mà AB đi qua O nên AB đi qua H.

Vậy AB là đường kính.

Hai điểm đối xứng qua đường kính thì cách đều đường kính.

Chứng minh:

Cho đường tròn (O; R) và đường kính AB. Lấy hai điểm M và N đối xứng qua AB. Kẻ MH và NK vuông góc với AB tại H và K.

Ta có:

• OA = OB = R (tính chất đường kính)
• OH = OK (tính chất đường kính)
• MH = NK (tính chất đối xứng)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AOH và BOK, ta có:

\(AH^2 + OH^2 = OA^2\)
\(HK^2 + OK^2 = OB^2\)

\(\text{Suy ra: } AH^2 + HK^2 = OA^2 – OB^2\) \(\text{Vì } OA = OB \text{ nên } AH^2 + HK^2 = 0\) \(\text{Suy ra: } AH^2 = -HK^2\) \(\text{Vì } AH \text{ và } HK \text{ đều là độ dài nên không thể } AH = HK.\)

Vậy hai điểm đối xứng qua đường kính thì cách đều đường kính.

Hai góc nội tiếp đối xứng qua đường kính thì có số đo bằng nhau.

Chứng minh:

Cho đường tròn (O; R) và đường kính AB. Lấy hai điểm C và D trên đường tròn sao cho CD đối xứng qua AB. Góc nội tiếp

\(\angle AMC\) và góc nội tiếp

\(\angle BND\) cùng chắn cungCD

Ta có:

\(\angle AMC = \angle AMB + \angle CMB\)
\(\text{(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia và dây cung)}\)
\(\angle BND = \angle BNA + \angle DNA\)
\(\text{(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia và dây cung)}\)

Vì AB là đường kính nên

\(\angle AMB = \angle BNA = 90^\circ\)

Mà CD đối xứng qua AB nên

\(\angle CMB = \angle DNA\)

Suy ra:

\(\angle AMC = \angle BND\)

Vậy hai góc nội tiếp đối xứng qua đường kính thì có số đo bằng nhau.

Một số hệ quả khác:

• Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia và dây cung cùng chắn một cung có số đo bằng nhau.
• Góc tạo bởi hai dây cung cắt nhau có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
• Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia và dây cung cùng chắn một cung có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.
• Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

Tóm lại, việc hiểu về khoảng cách từ tâm đến dây cung không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của đường tròn mà còn mở ra nhiều cơ hội trong việc áp dụng toán học vào thực tế. Khái niệm này không chỉ có ý nghĩa trong hình học mà còn trong nhiều lĩnh vực khác như vật lý, kỹ thuật, và thiết kế.

Việc sử dụng hiệu quả khoảng cách từ tâm đến dây cung sẽ giúp tối ưu hóa các quy trình và dự án, từ việc thiết kế cấu trúc đến việc xây dựng các thiết bị và công trình. Với sự hiểu biết sâu rộng về khái niệm này, chúng ta có thể áp dụng toán học vào thực tiễn một cách hiệu quả và sáng tạo.