Khảo sát hàm số - Sơ đồ 5 bước vẽ đồ thị

Trong chương trình Giải tích lớp 12, khảo sát hàm số là phần kiến thức nền tảng và chiếm trọng số điểm lớn trong các kỳ thi. Việc hiểu rõ bản chất của hàm số thông qua các công cụ như đạo hàm và giới hạn không chỉ giúp bạn vẽ đồ thị chính xác mà còn là chìa khóa để giải quyết các bài toán vận dụng cao như cực trị hay tương giao.  

Khảo sát hàm số là gì?

Về bản chất, khảo sát hàm số là quá trình sử dụng các công cụ toán học để nghiên cứu "hành vi" và các đặc trưng hình học của một hàm số trước khi thể hiện nó trên hệ trục tọa độ $Oxy$.

Nếu ví đồ thị hàm số là một bức tranh, thì khảo sát hàm số chính là bước thu thập dữ liệu về khung tranh, màu sắc và các đường nét chính. Chúng ta sẽ nghiên cứu xem hàm số đi lên hay đi xuống ở đâu, nó bị giới hạn bởi các đường nào (tiệm cận) và nó "uốn lượn" ra sao tại các điểm cực trị.

Sơ đồ 5 bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tổng quát

Để không bỏ sót bất kỳ yếu tố nào, bạn nên tuân thủ sơ đồ 5 bước chuẩn mực sau đây. Đây là quy trình "vạn năng" áp dụng cho mọi loại hàm từ bậc ba, bậc bốn trùng phương đến hàm phân thức:

1. Tìm tập xác định (TXĐ): Bước đầu tiên và quan trọng nhất để tránh những sai lầm ngớ ngẩn. Hãy chú ý điều kiện của mẫu số và biểu thức dưới căn.
2. Tính đạo hàm $y'$ và tìm nghiệm: Giải phương trình $y' = 0$ để tìm các điểm tới hạn (điểm có khả năng là cực trị).
3. Xét chiều biến thiên và cực trị: Dựa vào dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các giá trị cực đại, cực tiểu.
4. Tìm giới hạn và tiệm cận: Tính các giới hạn $\lim_{x \to \pm\infty} y$ để xác định tiệm cận ngang và tìm giá trị $x$ làm mẫu số bằng 0 để xác định tiệm cận đứng.
5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị: Tổng hợp toàn bộ dữ liệu vào bảng và chọn một vài điểm đặc biệt (giao với trục tung, trục hoành) để vẽ hình chính xác.

Hãy luôn kiểm tra tính đối xứng của hàm số (hàm chẵn, hàm lẻ) để giảm bớt 50% khối lượng công việc khi vẽ đồ thị.

Cách lập bảng biến thiên và xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến

Bảng biến thiên là "bản đồ" tóm tắt toàn bộ tính chất của hàm số. Một bảng biến thiên chuẩn phải thể hiện được sự tương quan giữa dấu của $y'$ và chiều mũi tên của $y$.

• Quy tắc dấu đạo hàm: * Nếu $y' > 0$ trên khoảng $(a; b)$ thì hàm số đồng biến ($\nearrow$) trên khoảng đó. Nếu $y' < 0$ trên khoảng $(a; b)$ thì hàm số nghịch biến ($\searrow$) trên khoảng đó.
• Cách lập bảng: Hàng thứ nhất ghi các giá trị của $x$ (gồm biên của TXĐ và nghiệm của $y'$). Hàng thứ hai xét dấu $y'$. Hàng thứ ba vẽ các mũi tên thể hiện sự biến thiên của $y$.

Lỗi sai thường gặp: Nhiều bạn quên không điền các giá trị giới hạn tại $\pm\infty$ vào bảng biến thiên, dẫn đến việc xác định sai cực trị hoặc tiệm cận.

Các quy tắc tìm đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị

Tiệm cận là "khung xương" giúp định hình đồ thị ở các vùng xa xôi của hệ trục tọa độ. Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$, chúng ta có các quy tắc vàng sau:

1. Tiệm cận đứng (TCĐ)

Đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng nếu $x_0$ là nghiệm của mẫu số $Q(x)$ nhưng không là nghiệm của tử số $P(x)$ (hoặc là nghiệm của tử số nhưng có bậc thấp hơn mẫu số).

• Công thức kiểm tra: $\lim_{x \to x_0^+} y = \pm\infty$ hoặc $\lim_{x \to x_0^-} y = \pm\infty$.

2. Tiệm cận ngang (TCN)

Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang nếu $\lim_{x \to +\infty} y = y_0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} y = y_0$.

• Mẹo giải nhanh: * Bậc tử < Bậc mẫu: TCN luôn là $y = 0$ (trục hoành).
• Bậc tử = Bậc mẫu: TCN là $y = \frac{\text{Hệ số bậc cao nhất tử}}{\text{Hệ số bậc cao nhất mẫu}}$.
• Bậc tử > Bậc mẫu: Không có tiệm cận ngang.

Khảo sát hàm số không chỉ là một bài toán vẽ hình, mà là quá trình tư duy logic để hiểu sâu về mối quan hệ giữa các đại lượng toán học. Bằng việc tuân thủ sơ đồ 5 bước và nắm vững các quy tắc về tiệm cận, bạn sẽ tự tin xử lý mọi dạng bài tập trong chương trình.  

>>> Xem ngay bài viết: 

• Công thức hàm số bậc nhất và bậc hai
• Tổng hợp công thức đạo hàm của hàm số lượng giác