Hai phân số bằng nhau: Tính chất và các dạng bài thường gặp

Khái niệm hai phân số bằng nhau là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong môn Toán lớp 10. Hiểu rõ về hai phân số bằng nhau giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phân số một cách hiệu quả.

Bài viết này sẽ trình bày kiến thức về hai phân số bằng nhau, bao gồm định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập thường gặp.

Phân số như thế nào được gọi là bằng nhau?

Hai phân số được gọi là bằng nhau nếu tích chéo của chúng bằng nhau.

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} <=> a.d = b.c\)

Tính chất của hai phân số bằng nhau

Tính chất 1:

Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

\(\frac{a}{b} = \frac{a.m}{b.m}(m ≠ 0)\)

Tính chất 2:

Nếu chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

\(\frac{a}{b}= \frac{a}{b.n}(n ≠ 0)\)

Tính chất 3:

Nếu ta nhân tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia và ngược lại, ta được hai phân số mới bằng nhau.

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} <=> a.d = b.c ⇔ \frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)

Cách so sánh hai phân số

Quy đồng mẫu số

Ta có thể so sánh hai phân số có cùng mẫu số bằng cách so sánh hai tử số.

Ví dụ:

\(\frac{3}{5}> \frac{2}{5}\) vì 3>2

Quy đồng tử số

Ta có thể so sánh hai phân số có cùng tử số bằng cách so sánh hai mẫu số.

Ví dụ:

\(\frac{3}{4}> \frac{3}{5} vì 4 < 5 \)

Cách giải bài tập hai phân số bằng nhau

Dạng 1: So sánh hai phân số

• Quy đồng mẫu số hai phân số
• So sánh hai tử số
• Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ:

So sánh hai phân số\(\frac{2}{3}\) và \(\frac{4}{5}\)

Quy đồng mẫu số hai phân số, ta được: \(\frac{2}{3} =\frac{10}{15}\) và \(\frac{4}{5} = \frac{12}{15}\)

Vì 10 < 12 nên \(\frac{2}{3} < \frac{4}{5}\)

Dạng 2: Tìm giá trị của x để hai phân số bằng nhau

• Thay x vào biểu thức a/b = c/d
• Giải phương trình để tìm x

Tìm x để\(\frac{2x}{5}= \frac{4}{7}\)

Ta có: \(\frac{2x}{5}= \frac{4}{7}\)

=> 2x.7 = 5.4 

=> 14x = 20

=> x = \(\frac{20}{14}\)

=> x =\(\frac{10}{7}\)

Các dạng bài tập và phương pháp giải về Phân số bằng nhau 

Dạng 1: Nhận biết hai phân số bằng nhau:

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Hai phân số a/b và c/d được gọi là bằng nhau nếu a.d = b.c (tích chéo bằng nhau).

Ví dụ:

Cho hai phân số \(\frac{2}{3}\)và \(\frac{4}{6}\). Hãy nhận biết hai phân số này có bằng nhau hay không.

Giải:

Ta có: 2.6 = 3.4 = 12.

Vậy, hai phân số \(\frac{2}{3}\)và \(\frac{4}{6}\) bằng nhau.

Dạng 2: Tìm phân số bằng nhau:

Phương pháp giải:

Cách 1:Dựa vào tính chất 1 của phân số bằng nhau:

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

Ví dụ:

Tìm phân số bằng phân số \(\frac{2}{5}\) sao cho mẫu số của phân số mới là 15.

Giải:

Vì mẫu số của phân số mới là 15, ta cần nhân cả tử và mẫu của phân số 2/5 với số 3.

Vậy, phân số bằng phân số \(\frac{2}{5}\) sao cho mẫu số của phân số mới là 15 là \(\frac{6}{15}\)

Cách 2:Dựa vào tính chất 2 của phân số bằng nhau:

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một số khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

Ví dụ:

Tìm phân số bằng phân số \(\frac{4}{7}\)sao cho tử số của phân số mới là 8.

Giải:

Vì tử số của phân số mới là 8, ta cần chia cả tử và mẫu của phân số \(\frac{4}{7}\) với số 2.

Vậy, phân số bằng phân số \(\frac{4}{7}\) sao cho tử số của phân số mới là 8 là \(\frac{8}{14}\)

Dạng 3: So sánh hai phân số:

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu số hai phân số.

So sánh hai phân số có cùng mẫu số.

Ví dụ:

So sánh hai phân số \(\frac{3}{5}\) và \(\frac{4}{7}\)

Giải:

Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{3}{5}\) và \(\frac{4}{7}\) ta được:

\(\frac{3}{5} = \frac{21}{35}\)  và \(\frac{4}{7} = \frac{20}{35}\) 

Vì \(\frac{21}{35}  > \frac{20}{35}\)  nên \(\frac{3}{5} > \frac{4}{7}\)

Dạng 4: Rút gọn phân số:

Phương pháp giải:

Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử và mẫu số.

Chia cả tử và mẫu số cho ƯCLN của chúng.

Ví dụ:

Rút gọn phân số \(\frac{12}{18}\) 

Giải:

ƯCLN(12, 18) = 6.

Vậy, phân số \(\frac{12}{18}\) rút gọn được là \(\frac{2}{3}\) 

Bài tập về Phân số bằng nhau (có lời giải chi tiết)

Bài 1:

Cho hai phân số \(\frac{2}{3}\)  và \(\frac{4}{6}\). Hãy nhận biết hai phân số này có bằng nhau hay không.

Giải:

Ta có: 2.6 = 3.4 = 12.

Vậy, hai phân số \(\frac{2}{3}\)  và \(\frac{4}{6}\)  bằng nhau.

Bài 2:

Tìm phân số bằng phân số \(\frac{2}{5}\)  sao cho mẫu số của phân số mới là 15.

Giải:

Vì mẫu số của phân số mới là 15, ta cần nhân cả tử và mẫu của phân số \(\frac{2}{5}\) với số 3.

Vậy, phân số bằng phân số \(\frac{2}{5}\) sao cho mẫu số của phân số mới là 15 là \(\frac{6}{15}\)

Bài 3:

Tìm phân số bằng phân số \(\frac{4}{7}\) sao cho tử số của phân số mới là 8.

Giải:

Vì tử số của phân số mới là 8, ta cần chia cả tử và mẫu của phân số \(\frac{4}{7}\) với số 2.

Vậy, phân số bằng phân số \(\frac{4}{7}\) sao cho tử số của phân số mới là 8 là \(\frac{8}{14}\)

Bài 4:

So sánh hai phân số \(\frac{3}{5}\)  và \(\frac{4}{7}\) 

Giải:

Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{3}{5}\) và \(\frac{4}{7}\) ta được:

\(\frac{3}{5} = \frac{21}{35}\) và \(\frac{4}{7} =\frac{20}{35}\)

Vì  \(\frac{21}{35} > \frac{20}{35}\) nên \(\frac{3}{5}> \frac{4}{7}\) 

Bài 5:

Rút gọn phân số  \(\frac{12}{18}\).

Giải:

ƯCLN(12, 18) = 6.

Vậy, phân số \(\frac{12}{18}\).rút gọn được là \(\frac{2}{3}\).

Qua bài viết này, chúng ta đã học được định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập thường gặp về hai phân số bằng nhau. Hiểu rõ kiến thức về hai phân số bằng nhau giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phân số một cách hiệu quả

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn