Lý thuyết giá trị của phân thức - Toán lớp 8

Phân thức là một biểu thức đại số bao gồm hai biểu thức đại số được nối với nhau bởi một vạch ngang. Giá trị của phân thức là giá trị của biểu thức đại số được xác định bởi giá trị của các biến trong biểu thức.Bài viết này sẽ trình bày về cách xác định giá trị của một phân thức. Ngoài ra, bài viết cũng sẽ đề cập đến một số ứng dụng của giá trị phân thức trong giải toán.

Định nghĩa giá trị của phân thức

Giá trị của một phân thức là kết quả số học mà phân thức đó biểu diễn khi các biến số trong phân thức được thay thế bởi các giá trị cụ thể. Một phân thức có dạng a/b, trong đó a và b là các đa thức và b khác 0. Giá trị của phân thức phụ thuộc vào giá trị của các biến số được thay vào đa thức.

Để tính giá trị của một phân thức, bạn cần thực hiện các bước sau:

Thay thế các biến số: Thay thế mỗi biến số trong phân thức bằng giá trị tương ứng của nó.

Tính giá trị của tử số và mẫu số: Tính giá trị của đa thức ở tử số và mẫu số sau khi đã thay thế các biến số.

Chia tử số cho mẫu số: Tính tỉ số của giá trị tử số và mẫu số để tìm giá trị của phân thức.

Lưu ý quan trọng khi tính giá trị của phân thức là mẫu số không được bằng 0, vì phép chia cho 0 không xác định trong toán học.

Ví dụ, giả sử bạn có phân thức \(\frac{{x+2}}{{x-1}}\) và bạn muốn tính giá trị của nó tại x=3. Bạn sẽ thay thế x bằng 3 vào phân thức, thu được

\(\frac{{3+2}}{{3-1}} = \frac{5}{2}\) Vậy, giá trị của phân thức tại x=3 là

\(\frac{5}{2}\) hoặc 2.5.

Điều kiện xác định giá trị của phân thức

Điều kiện xác định giá trị của một phân thức chủ yếu liên quan đến mẫu số của phân thức. Một phân thức có dạng \(\frac{a}{b}\) ​, trong đó a và b là các đa thức, và để phân thức được xác định, mẫu số  b  không được bằng 0. Điều này là bởi vì phép chia cho 0 không được định nghĩa trong toán học và do đó, gây ra sự không xác định.

Điều kiện xác định của một phân thức, do đó, được đưa ra bởi tất cả các giá trị của biến số mà ở đó mẫu số b không bằng 0. Điều này có nghĩa là bạn cần giải phương trình b khác 0 để tìm ra điều kiện xác định của phân thức.

Ví dụ:

Xét phân thức \(\frac{{x+1}}{{x^2-1}}\)​. Mẫu số ở đây là \(x^2 – 1\) và chúng ta muốn mẫu số này không bằng 0. \(x^2 – 1\)≠0

(x+1)(x−1)≠0

Từ đó, ta thấy x≠1 và x≠−1 Vậy, điều kiện xác định cho phân thức này là x có thể nhận bất kỳ giá trị nào trừ 1 và −1

Cách tính giá trị của phân thức 

Bước 1: Kiểm tra tính xác định:

• Thay giá trị của biến vào mẫu thức của phân thức.
• Nếu giá trị của biến làm mẫu thức bằng 
• 0, phân thức không có giá trị.
• Nếu giá trị của biến không làm mẫu thức bằng 
• 0, ta tiếp tục bước tiếp theo.

Bước 2: Thay giá trị của biến vào tử thức và mẫu thức:

• Thay giá trị của biến vào tử thức và mẫu thức của phân thức.
• Thực hiện phép tính để tìm giá trị của phân thức.

Ví dụ:

Tính giá trị của phân thức \(\frac{{x+1}}{{x-2}}\) tại x=3 

​Bước 1: Kiểm tra tính xác định

Thay x=3 vào mẫu thức x−2, ta được 3−2=1 khác 0.

Bước 2: Thay giá trị của biến vào tử thức và mẫu thức

Thay x=3 vào tử thức x+1 và mẫu thức x−2, ta được:

\(\frac{{x+1}}{{x-2}}\) = \(\frac{{3+1}}{{3-2}}\)= \(\frac{{4}}{{1}}\) =4

Vậy giá trị của phân thức \(\frac{{x+1}}{{x-2}}\) tại x=3 là 4.

Một số lưu ý:

• Khi thay giá trị của biến vào phân thức, cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt như biểu thức chứa căn bậc hai hoặc biểu thức phân thức trong mẫu thức.
• Cần thực hiện phép tính cẩn thận và chính xác để tránh sai sót.

Một số tính chất của phân thức

Tính chất cơ bản:

Tính chất 1: Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một số khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Ví dụ:  \(\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}\)  với m khác 0

Tính chất 2: Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một số khác 

0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Ví dụ:   \(\frac{a}{b} = \frac{a:n}{b:n}\) với n khác 0

Tính chất 3: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Ví dụ: \(\frac{a}{b} = -\frac{a}{-b}\)

​Tính chất 4: Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Ví dụ: \(\frac{a}{b} = -\frac{a}{b} = \frac{a}{-b}\)

​Tính chất của hai phân thức bằng nhau:

• Hai phân thức bằng nhau nếu giá trị của chúng bằng nhau với mọi giá trị chung của biến (trừ giá trị làm mẫu thức bằng 
• 0).
• Nếu hai phân thức bằng nhau, ta có thể biến đổi chúng thành những phân thức bằng nhau theo các tính chất đã nêu.

Ví dụ:

Cho hai phân thức\(\frac{{x+1}}{{x-2}} \quad \text{and} \quad \frac{{2x +3}}{{2x-4}}\)

Ta có: \(\frac{{x+1}}{{x-2}} = \frac{{(x+1) \cdot 2}}{{(x-2) \cdot 2}} = \frac{{2x+2}}{{2x-4}}\)

Vậy hai phân thức \(\frac{{x+1}}{{x-2}} \quad \text ; \quad \frac{{2x +3}}{{2x-4}}\) bằng nhau.

• Phân thức là biểu thức có dạng a/b với a và b là đa thức và b khác 0
• Có 4 tính chất cơ bản của phân thức.
• Hai phân thức bằng nhau nếu giá trị của chúng bằng nhau với mọi giá trị chung của biến (trừ giá trị làm mẫu thức bằng 
• 0).
• Có thể biến đổi các phân thức bằng nhau theo các tính chất đã nêu.

Tóm lại, giá trị của phân thức là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán lớp 8. Việc nắm vững cách xác định và tính giá trị của phân thức là rất cần thiết để giải các bài toán liên quan đến phân thức.Bài viết này hy vọng đã cung cấp cho các bạn những kiến thức cơ bản về giá trị của phân thức.