Hệ thống công thức nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton là một công thức toán học quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Công thức này cho phép ta khai triển lũy thừa của một tổng hai số theo cách tổng quát.

Công thức nhị thức Newton

Định lý nhị thức Newton

Khai triển nhị thức \((a + b)^n\) (n là số nguyên dương) ta được:

\((a + b)^n = C_n^0.a^n + C_n^1.a^(n-1).b + C_n^2.a^(n-2).b^2 + … + C_n^k.a^(n-k).b^k + … + C_n^(n-1).a.b^(n-1) + C_n^n.b^n\)

Giải thích:

\(C_n^k là hệ số nhị thức, được tính theo công thức:

[latex]C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)\)

a và b là hai số thực bất kỳ.

Ví dụ

Khai triển \((a + b)^3\), ta được:

\((a + b)^3 = C_3^0 * a^3 + C_3^1 * a^2 * b + C_3^2 * a * b^2 + C_3^3 * b^3\)

= \(1 * a^3 + 3 * a^2 * b + 3 * a * b^2 + 1 * b^3\)

= \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

Hệ số nhị thức

• \(C_n^k = n! / (k!(n-k)!)\)
• \(C_n^0 = C_n^n = 1\)
• \(C_n^k = C_n^{n-k}\)

Tính chất

• Số hạng đầu tiên và cuối cùng: \(C_n^0 a^n và C_n^n b^n\).
• Hệ số đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n – k}\).
• Tổng các hệ số: \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^{n – 1} + C_n^n = 2^n\)

Bài tập có lời giải về công thức nhị thức Newton

Bài 1. Khai triển \((x + 2)^3\):

\((x + 2)^3 = \binom{3}{0} x^3 + \binom{3}{1} x^2 2 + \binom{3}{2} x 2^2 + \binom{3}{3} 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)

Tìm số hạng chứa \(x^3 trong khai triển [latex](2x – y)^6\):

Số hạng chứa \(x^3\) ứng với k = 3.

Số hạng cần tìm là: \(\binom{6}{3} (2x)^{6 – 3} (-y)^3 = 20x^3 y^3\).

Bài tập 1:

Khai triển \((x + 3)^4\) và tính tổng các hệ số.

Lời giải:

Khai triển:

\((x + 3)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 3 + C_4^2 x^2 3^2 + C_4^3 x 3^3 + C_4^4 3^4\)

= \(1x^4 + 4x^3 3 + 6x^2 9 + 4x 27 + 81\)

Tính tổng các hệ số:

\(1 + 4 + 6 + 4 + 81 = 96\)

Bài tập 2:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \((2x – 5)^8\)

Lời giải:

Số hạng không chứa x ứng với k = 4.

Số hạng cần tìm:

\(C_8^4 (2x)^{8 – 4} (-5)^4 = 70 * 2^4 * 5^4 = 140000\)

Bài tập 3:

Chứng minh rằng: \((1 + i)^n + (1 – i)^n = 2^n cos nπ/2\), với n là số nguyên dương.

Lời giải:

Khai triển:

\((1 + i)^n = C_n^0 + C_n^1 i + C_n^2 i^2 + … + C_n^{n – 1} i^{n – 1} + C_n^n i^n\)

\((1 – i)^n = C_n^0 – C_n^1 i + C_n^2 i^2 – … – C_n^{n – 1} i^{n – 1} + C_n^n i^n\)

Ta có:

\(i^2 = -1; i^3 = -i; i^4 = 1; …; i^{4k} = 1; i^{4k + 1} = i; i^{4k + 2} = -1; i^{4k + 3} = -i\)

Do n là số nguyên dương, ta có:

\((1 + i)^n + (1 – i)^n = 2(C_n^0 + C_n^2 + … + C_n^n)\)

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\(C_n^0 + C_n^2 + … + C_n^n = 2^n/2 = 2^{n – 1}\)

Vậy:

\((1 + i)^n + (1 – i)^n = 2^n cos nπ/2\)

Bài tập tham khảo về nhị thức Newton

Bài 1: Khai triển các đa thức sau

a) \((2x – 1)^4\)

b) \((x + 4)^5 + (x – 4)^5\)

c) Khai triển \((1 + x)^4\) ;

d) Khai triển \((2x – 3)^5\).

Bài 2: 

a) Dùng hai số hạng đầu của khai triển \((2 + 0,01)^4\) để tính giá trị gần đúng của 2,014.

b) Dùng máy tính cầm tay để tính giá trị của 2,014và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Công thức nhị thức Newton có nhiều ứng dụng trong toán học và khoa học máy tính. Việc nắm vững công thức này là điều kiện tiên quyết để giải quyết các dạng bài tập liên quan đến khai triển lũy thừa, tính hệ số nhị thức.