Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Trong bài toán toán học, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là một phần quan trọng của chương trình học lớp 10. Đây là một chủ đề mở ra những khái niệm mới và yêu cầu sự hiểu biết sâu sắc về giá trị tuyệt đối và cách áp dụng chúng vào việc giải các bất phương trình phức tạp. Điều này không chỉ giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc trong lĩnh vực toán học mà còn phản ánh sự tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề của họ.

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là gì?

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là bất đẳng thức có dạng:

• |F(x)| > a
• |F(x)| < a
• |F(x)| ≥ a
• |F(x)| ≤ a

với F(x) là biểu thức chứa biến x và các số thực, a là một số thực không âm.

Ví dụ:

• |x – 2| > 3
• |x + 1| ≤ 2

Tính chất

• Tính chất đồng trị:
  • |F(x)| > a ⇔ F(x) > a hoặc F(x) < -a
  • |F(x)| < a ⇔ -a < F(x) < a
  • |F(x)| ≥ a ⇔ F(x) ≥ a hoặc F(x) ≤ -a
  • |F(x)| ≤ a ⇔ -a ≤ F(x) ≤ a
• Tính chất bắc cầu:
  • |F(x)| > a ⇔ F(x) > a hoặc F(x) < -a
  • |F(x)| ≥ a ⇔ F(x) ≥ a và F(x) ≠ 0

Phương pháp giải bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bất đẳng thức dạng |f(x)| > a

• Bước 1: Giải bất phương trình f(x) > a và f(x) < -a.
• Bước 2: Tập nghiệm của bất đẳng thức là hợp của tập nghiệm hai bất phương trình trên.

Bất đẳng thức dạng |f(x)| < a

• Bước 1: Giải bất phương trình -a < f(x) < a.
• Bước 2: Tập nghiệm của bất đẳng thức là tập nghiệm của bất phương trình trên.

Bất đẳng thức dạng |f(x)| ≥ a

• Bước 1: Giải bất phương trình f(x) ≥ a hoặc f(x) ≤ -a.
• Bước 2: Tập nghiệm của bất đẳng thức là tập hợp của các giá trị x thỏa mãn một trong hai bất phương trình trên.

Bất đẳng thức dạng |f(x)| ≤ a

• Bước 1: Giải bất phương trình -a ≤ f(x) ≤ a.
• Bước 2: Tập nghiệm của bất đẳng thức là tập hợp các giá trị x thỏa mãn bất phương trình trên.

Bài tập có lời giải về Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 

Bài 1:Giải bất phương trình:

|x – 2| > 3

Lời giải:

Bất đẳng thức |x – 2| > 3 tương đương với: x – 2 > 3 hoặc x – 2 < -3

Giải từng bất phương trình:

• x – 2 > 3 ⇔ x > 5
• x – 2 < -3 ⇔ x < -1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x > 5 hoặc x < -1}.

Bài 2:Giải bất phương trình:|x + 1| ≤ 2

Lời giải:

Bất đẳng thức |x + 1| ≤ 2 tương đương với: -2 ≤ x + 1 ≤ 2

Giải từng bất phương trình:

• -2 ≤ x + 1 ⇔ -3 ≤ x
• x + 1 ≤ 2 ⇔ x ≤ 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {-3 ≤ x ≤ 1}.

Bài 3:Giải hệ bất phương trình:

{ |x – 1| < 2 | x + 2| > 1 }

Lời giải:

Giải từng bất phương trình:

• |x – 1| < 2 ⇔ -2 < x – 1 < 2 ⇔ -1 < x < 3
• |x + 2| > 1 ⇔ x + 2 > 1 hoặc x + 2 < -1 ⇔ x > -1 hoặc x < -3

Tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = (-1; 3) ∩ (-∞; -3) = (-∞; -3).

Bài 4:Cho a là một số thực. Tìm giá trị của a để bất phương trình:

|x – 2| > a

có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

Bất phương trình |x – 2| > a có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a > 0.

Bài 5:Một công ty dự định sản xuất x sản phẩm trong một ngày. Chi phí sản xuất x sản phẩm là C(x) = 3x^2 + 2x + 10000 (đồng). Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để công ty có lãi.

Lời giải:

Công ty có lãi khi và chỉ khi doanh thu lớn hơn chi phí, tức là:

P(x) – C(x) > 0

Thay P(x) = x.C(x) và C(x) = 3x^2 + 2x + 10000, ta được: x^3 – x^2 – 6x – 10000 > 0

Giải bất phương trình này, ta được: x ∈ (-∞; -2) ∪ (4; ∞)

Vậy công ty cần sản xuất từ 4 sản phẩm trở lên để có lãi.

Luyện tập

1. Giải bất phương trình:

• |2x – 1| > 5
• |3x + 4| ≤ 2
• |x^2 – 4| ≥ 3

2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

• d1: |x – 1| < 2
• d2: |x + 2| > 1

3. Giải hệ bất phương trình:

• { |x – 2| < 3 | x + 1| > 0 }
• { |2x – 5| ≥ 1 | 3x + 4| ≤ 2 }

4. Cho a là một số thực. Tìm giá trị của a để bất phương trình:

• |x – 1| > a

có nghiệm.

5. Giải bài toán:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2m. Tìm diện tích mảnh đất biết chu vi của nó là 34m.

6. Một công ty dự định sản xuất x sản phẩm trong một ngày. Chi phí sản xuất x sản phẩm là C(x) = 2x^2 + 3x + 10000 (đồng). Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để công ty có lãi.
7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

• P = |x – 1| + |x + 2|

8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

• Q = |x + 3| – |x – 2|

9. Giải bất phương trình:

• |x^2 – 4x + 3| > 1

10. Giải hệ bất phương trình:

• { |x – 1| + |x – 2| ≤ 3 | x + 1| – |x – 2| ≥ 1 }

Hy vọng những kiến thức và phương pháp được trình bày trong bài viết sẽ giúp bạn học tốt hơn và giải quyết thành công các bài toán bất phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối.