Phân phối nhị thức (binomial distribution) là một phân phối xác suất rời rạc, mô tả số lượng kết quả thành công trong một chuỗi các thử nghiệm độc lập, mà mỗi thử nghiệm có cùng xác suất thành công. Phân phối này rất quan trọng trong xác suất thống kê và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như y học, kinh tế, quản lý, và các ngành khoa học xã hội.
Định nghĩa và công thức của phân phối nhị thức
Phân phối nhị thức được đặc trưng bởi hai tham số: \( n \) (số lần thử) và \( p \) (xác suất thành công trong mỗi lần thử). Nếu \( X \) là biến ngẫu nhiên biểu diễn số lần thành công trong \( n \) lần thử, thì \( X \) tuân theo phân phối nhị thức với các tham số \( n \) và \( p \). Công thức xác suất để \( X \) bằng \( k \) (số lần thành công) được viết như sau:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Trong đó:
– \( \binom{n}{k} \) là hệ số nhị thức, được tính bằng \( \frac{n!}{k!(n – k)!} \).
– \( p \) là xác suất thành công trong mỗi lần thử.
– \( 1 – p \) là xác suất thất bại trong mỗi lần thử.
– \( k \) là số lần thành công trong \( n \) lần thử.
Tính chất của phân phối nhị thức
Trung bình (Kỳ vọng): Trung bình của một biến ngẫu nhiên nhị thức \( X \) là \( E(X) = np \). Điều này có nghĩa là nếu bạn lặp lại thử nghiệm nhiều lần, số lần thành công trung bình sẽ là \( np \).
Phương sai: Phương sai của một biến ngẫu nhiên nhị thức \( X \) là \( Var(X) = np(1 – p) \). Phương sai cho biết mức độ biến thiên của kết quả xung quanh giá trị trung bình.
Độc lập: Các lần thử trong phân phối nhị thức phải độc lập với nhau, nghĩa là kết quả của một lần thử không ảnh hưởng đến kết quả của các lần thử khác.
Hàm sinh đặc trưng: Hàm sinh đặc trưng của phân phối nhị thức được cho bởi \( M_X(t) = (1 – p + pe^t)^n \).
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tung đồng xu
Giả sử bạn tung một đồng xu cân đối 10 lần, và bạn muốn biết xác suất để mặt ngửa xuất hiện đúng 6 lần. Đây là một bài toán phân phối nhị thức với \( n = 10 \) và \( p = 0.5 \).
\[ P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^{4} = \frac{10!}{6!4!} (0.5)^{10} = 210 \times 0.0009765625 = 0.205 \]
Điều này có nghĩa là xác suất để mặt ngửa xuất hiện đúng 6 lần trong 10 lần tung là khoảng 20.5%.
Ví dụ 2: Kiểm tra sản phẩm
Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn bị lỗi là 5%. Giả sử bạn kiểm tra ngẫu nhiên 20 bóng đèn, xác suất để có đúng 1 bóng đèn bị lỗi là:
\[ P(X = 1) = \binom{20}{1} (0.05)^1 (0.95)^{19} = 20 \times 0.05 \times 0.35849 \approx 0.3585 \]
Điều này có nghĩa là xác suất để có đúng 1 bóng đèn bị lỗi trong 20 bóng đèn kiểm tra là khoảng 35.85%.
Phân phối chuẩn
Khi \( n \) rất lớn và \( p \) không quá gần 0 hoặc 1, phân phối nhị thức có thể được xấp xỉ bởi phân phối chuẩn (Gaussian) với trung bình \( np \) và phương sai \( np(1 – p) \). Điều này đặc biệt hữu ích trong việc tính toán và ứng dụng thực tế, vì phân phối chuẩn có các tính chất toán học đơn giản hơn.
Ví dụ, nếu \( X \) tuân theo phân phối nhị thức với \( n = 100 \) và \( p = 0.5 \), thì \( X \) có thể được xấp xỉ bằng phân phối chuẩn với trung bình \( np = 50 \) và phương sai \( np(1 – p) = 25 \).
Phương pháp ước lượng tham số
Để ước lượng các tham số \( n \) và \( p \) của phân phối nhị thức từ dữ liệu thực tế, chúng ta có thể sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (Maximum Likelihood Estimation – MLE). Giả sử chúng ta có một tập dữ liệu gồm \( m \) quan sát \( x_1, x_2, …, x_m \), với mỗi \( x_i \) là số lần thành công trong \( n \) lần thử. Ước lượng hợp lý cực đại của \( p \) được tính bằng:
\[ \hat{p} = \frac{1}{mn} \sum_{i=1}^m x_i \]
Ước lượng của \( n \) thường được giả định là đã biết hoặc có thể được xác định từ ngữ cảnh của bài toán.
Kiểm định giả thuyết
Trong thực tế, việc kiểm định giả thuyết về phân phối nhị thức thường được thực hiện để kiểm tra xem một tham số \( p \) cụ thể có phù hợp với dữ liệu quan sát hay không. Một phương pháp phổ biến là sử dụng kiểm định z, nơi chúng ta so sánh tỉ lệ thành công quan sát được với tỉ lệ thành công giả định dưới giả thuyết không.
Giả sử chúng ta muốn kiểm định giả thuyết \( H_0 \): \( p = p_0 \). Công thức kiểm định z được viết như sau:
\[ z = \frac{\hat{p} – p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1 – p_0)}{n}}} \]
Trong đó \( \hat{p} \) là tỉ lệ thành công quan sát được, \( p_0 \) là tỉ lệ thành công giả định, và \( n \) là số lần thử.
Phân phối nhị thức và học máy
Trong học máy, phân phối nhị thức đóng vai trò quan trọng trong các mô hình phân loại nhị phân. Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của phân phối nhị thức trong học máy là mô hình hồi quy logistic, nơi xác suất đầu ra thuộc về một trong hai lớp được mô hình hóa bằng một hàm logistic.
Hàm logistic được định nghĩa như sau
\[ P(Y = 1 | X) = \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1 X)}} \]
Trong đó:
– \( Y \) là biến phụ thuộc nhị phân.
– \( X \) là biến độc lập.
– \( \beta_0 \) và \( \beta_1 \) là các hệ số hồi quy.
Mô hình hồi quy logistic ước lượng các tham số \( \beta_0 \) và \( \beta_1 \) từ dữ liệu đào tạo để dự đoán xác suất đầu ra thuộc về một trong hai lớp.
Phân phối nhị thức là một công cụ mạnh mẽ và linh hoạt trong xác suất thống kê, giúp chúng ta hiểu và mô hình hóa nhiều hiện tượng xảy ra trong thực tế. Với các đặc tính đơn giản nhưng mạnh mẽ, phân phối nhị thức có nhiều ứng dụng trong quản lý chất lượng, y học, tài chính, và học máy. Hiểu rõ và áp dụng phân phối nhị thức một cách chính xác có thể giúp chúng ta đưa ra các quyết định thông minh và hiệu quả trong nhiều lĩnh vực.
