Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Khái niệm này giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng và từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Tính chất đường trung trực bao gồm các định lý và hệ quả về vị trí tương đối, tính chất của điểm nằm trên đường trung trực và các tính chất khác của đường trung trực.
Định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng
Đường trung trực: là đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Cách chứng minh:
Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có:
MA = MB (theo tính chất trung điểm).
AM vuông góc với AB (theo định nghĩa đường trung trực).
Xét hai tam giác vuông AMB và CMA, ta có:
AM = CM (theo tính chất trung điểm).
Góc AMB = góc CMB (vì AM vuông góc với AB).
Cạnh MB chung.
Do đó, hai tam giác AMB và CMB bằng nhau (c.g.c).
Suy ra:
AB = AC (hai cạnh tương ứng).
Vậy M cách đều hai mút A và B của đoạn thẳng AB.
Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Cách chứng minh:
Gọi M là điểm cách đều hai mút A và B của đoạn thẳng AB.
Ta có:
MA = MB (theo giả thiết).
Xét hai tam giác vuông AMB và CMB, ta có:
AM = CM (theo giả thiết).
Góc AMB = góc CMB (vì cùng bằng 90°).
Cạnh MB chung.
Do đó, hai tam giác AMB và CMB bằng nhau (c.g.c).
Suy ra:
Góc BAM = góc BCM (hai góc tương ứng).
Mà góc BAM + góc BCM = 180° (hai góc kề bù).
Suy ra:
Góc BAM = góc BCM = 90°.
Vậy AM vuông góc với BC.
Do đó, M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Các dạng toán thường gặp về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Dạng 1: Chứng minh điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB, điểm M nằm trên đường trung trực của AB. Chứng minh rằng MA = MB.
Cách giải: Có nhiều cách để giải bài toán này, bạn có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.
Cách 2: Sử dụng định lý Talet.
Dạng 2: Chứng minh điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Ví dụ: Cho điểm M cách đều hai điểm A và B. Chứng minh rằng M nằm trên đường trung trực của AB.
Cách giải:
Cách 1: Sử dụng tính chất đường trung tuyến.
Cách 2: Sử dụng tính chất đường phân giác và định lý Pythagoras.
Dạng 3: Vận dụng tính chất đường trung trực để giải bài toán.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB, điểm M là trung điểm của AB. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt AC tại N. Chứng minh rằng NA = NB.
Cách giải:
Sử dụng tính chất đường trung trực để chứng minh MN là đường trung trực của AC.
Sử dụng tính chất đường trung trực để chứng minh NA = NB.
Vận dụng
Bài tập 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm M là trung điểm của AB. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M. Điểm C nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng CA = CB.
Lời giải:
Cách 1: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.
Vì AM = BM (theo giả thiết) và d vuông góc với AB tại M nên MA = MB.
Xét hai tam giác CAM vàCBM, ta có:
AM = BM (cmt).
Góc AMC = góc BMC (vì d vuông góc với AB).
MC chung.
Do đó, hai tam giác CAM và CBM bằng nhau (c.g.c).
Suy ra: CA = CB.
Cách 2: Sử dụng định lý Talet.
Vì AM = BM (theo giả thiết) và d vuông góc với AB tại M nên MA = MB.
Xét hai tam giác CAB và CBA, ta có:
AB chung.
Góc CAB = góc CBA (vì AB là tia phân giác của góc ACB).
CA/CB = MA/MB (cmt).
Do đó, hai tam giác CAB và CBA bằng nhau (c.g.c).
Suy ra: CA = CB.
Bài tập 2: Cho điểm M cách đều hai điểm A và B. Chứng minh rằng M nằm trên đường trung trực của AB.
Lời giải:
Cách 1: Sử dụng tính chất đường trung tuyến.
Vì M cách đều hai điểm A và B nên MA = MB.
Gọi I là trung điểm của AB.
Xét hai tam giác MAI và MBI, ta có:
MA = MB (cmt).
AI = BI (theo giả thiết).
MI chung.
Do đó, hai tam giác MAI và MBI bằng nhau (c.g.c).
Suy ra: Góc MAI = góc MBI.
Mà góc MAI + góc MBI = 180° (hai góc kề bù).
Do đó, góc MAI = góc MBI = 90°.
Vậy M nằm trên đường trung trực của AB.
Cách 2: Sử dụng tính chất đường phân giác và định lý Pythagoras.
Vì M cách đều hai điểm A và B nên MA = MB.
Gọi I là giao điểm của đường trung trực AB và MN.
Xét hai tam giác AMI và BMI, ta có:
AM = BM (cmt).
Góc AMI = góc BMI (vì MI là đường trung trực của AB).
MI chung.
Do đó, hai tam giác AMI và BMI bằng nhau (c.g.c).
Suy ra: AI = BI.
Áp dụng định lý Pythagoras vào hai tam giác vuông AMI và BMI, ta có:
\(IA^2 + AM^2 = IM^2\).
\(IB^2 + BM^2 = IM^2\).
Vì IA = IB (cmt) và AM = BM (cmt) nên \(IA^2 + AM^2 = IB^2 + BM^2\).
Suy ra: \(IM^2 = IM^2\).
Điều này chỉ xảy ra khi IM = 0.
Vậy M nằm trên đường trung trực của AB.
Luyện tập
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm M là trung điểm của AB. Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại M. Lấy điểm C bất kỳ trên đường thẳng d. Chứng minh rằng CA = CB.
Bài 2. Cho điểm M cách đều hai điểm A và B. Vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với AB. Lấy điểm C bất kỳ trên đường thẳng d. Chứng minh rằng MC là đường trung trực của AB.
Bài 3. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với BC. Lấy điểm E bất kỳ trên đường thẳng d. Chứng minh rằng EA = EB.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với BC. Lấy điểm E bất kỳ trên đường thẳng d. Chứng minh rằng AE = BE.
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với BC. Lấy điểm E bất kỳ trên đường thẳng d. Chứng minh rằng EA = EB.
Bài 6. Cho tam giác ABC đều, M là trung điểm của BC. Vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với BC. Lấy điểm E bất kỳ trên đường thẳng d. Chứng minh rằng EA = EB.
Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm của BC. Vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với BC. Lấy điểm E bất kỳ trên đường thẳng d. Chứng minh rằng EA < EB.
Học sinh cần nắm vững các định nghĩa, định lý và hệ quả liên quan đến chủ đề này để có thể áp dụng vào giải bài tập một cách chính xác.
