Câu hỏi 1 :

 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

  • A\({{u}_{n}}={{\left( -\frac{2}{3} \right)}^{n}}\)             
  • B

     \({{u}_{n}}={{\left( \frac{6}{5} \right)}^{n}}\)                            

  • C\({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{3}}-3n}{n+1}\)                        
  • D \({{u}_{n}}={{n}^{2}}-4n\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Phương pháp:

Tính \ ( \ underset { n \ to + \ infty } { \ mathop { \ lim } } \, { { u } _ { n } } \ ) hoặc \ ( \ underset { n \ to – \ infty } { \ mathop { \ lim } } \, { { u } _ { n } } \ ) và Tóm lại .Lời giải cụ thể :

Cách giải:

Ta thấy \ ( – \ frac { 2 } { 3 } < 0 \ Rightarrow \ underset { x \ to + \ infty } { \ mathop { \ lim } } \, { { \ left ( - \ frac { 2 } { 3 } \ right ) } ^ { n } } = 0 \ ) .

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 2 :

Tính giới hạn \(I = \lim \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}\)

  • A \(I = \dfrac{1}{2}\)  
  • B\(I =  + \infty \)
  • C\(I=2\)
  • D\(I=1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Tính như \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { n \ to + \ infty } \ dfrac { { 2 n + 1 } } { { n + 1 } } \ ) : Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của mẫuLời giải chi tiết cụ thể :\ ( I = \ lim \ dfrac { { 2 n + 1 } } { { n + 1 } } = \ lim \ dfrac { { 2 + \ dfrac { 1 } { n } } } { { 1 + \ dfrac { 1 } { n } } } = \ lim \ dfrac { 2 } { 1 } = 2 \ )

Chọn đáp án C

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 3 :

 Cho \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{2}}}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?

  • A\(1.\)                                       
  • B \(-\frac{1}{4}.\)                                 
  • C \(\frac{4}{5}.\)                                               
  • D

     \(-\frac{3}{4}.\)


Đáp án: B

Phương pháp giải :Chia cả tử mẫu của phân thức cho \ ( { { n } ^ { 2 } } \ ) .Lời giải cụ thể :

\(\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{2}}}=\lim \frac{1-\frac{3}{n}}{\frac{1}{{{n}^{2}}}-4}=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}.\)

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 4 :Cho \ ( { { u } _ { n } } = \ frac { { { n } ^ { 2 } } – 3 n } { 1-4 { { n } ^ { 3 } } } \ ). Khi đó \ ( \ lim { { u } _ { n } } \ ) bằng ?

  • A\(0.\)                                       
  • B \(-\frac{1}{4}.\)                                 
  • C\(\frac{3}{4}.\)                                             
  • D   \(-\frac{3}{4}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :Chia cả tử mẫu của phân thức cho \ ( { { n } ^ { 3 } } \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :

\(\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{3}}}=\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{3}{{{n}^{2}}}}{\frac{1}{{{n}^{3}}}-4}=\frac{0}{-4}=0.\)

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 5 :Cho \ ( { { u } _ { n } } = \ frac { { { 3 } ^ { n } } + { { 5 } ^ { n } } } { { { 5 } ^ { n } } } \ ). Khi đó \ ( \ lim { { u } _ { n } } \ ) bằng ?

  • A \(0.\)                                       
  • B\(1.\)                                      
  • C  \(\frac{3}{5}.\)                                            
  • D   \(+\infty .\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Chia cả tử mẫu của phân thức cho \ ( { { 5 } ^ { n } } \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :

\(\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{{{3}^{n}}+{{5}^{n}}}{{{5}^{n}}}=\lim \frac{{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{n}}+1}{1}=\frac{1}{1}=1.\)

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 6 :

 Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng -1?

  • A \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{3}}-4}.\)                      
  • B \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{2}}-1}.\)                
  • C\(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{2{{n}^{2}}+1}.\)                       
  • D\(\lim \frac{2{{n}^{3}}-3}{2{{n}^{2}}-1}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Chia cả tử mẫu của phân thức cho bậc cao nhất của tử và mẫu .Lời giải cụ thể :\ ( \ begin { align } và \ lim \ frac { 2 { { n } ^ { 2 } } – 3 } { – 2 { { n } ^ { 3 } } – 4 } = \ lim \ frac { \ frac { 2 } { n } – \ frac { 3 } { { { n } ^ { 3 } } } } { – 2 – \ frac { 4 } { { { n } ^ { 3 } } } } = \ frac { 0 } { – 2 } = 0. \ \ và \ lim \ frac { 2 { { n } ^ { 2 } } – 3 } { – 2 { { n } ^ { 2 } } – 1 } = \ lim \ frac { 2 – \ frac { 3 } { { { n } ^ { 2 } } } } { – 2 – \ frac { 1 } { { { n } ^ { 2 } } } } = \ frac { 2 } { – 2 } = – 1. \ \ và \ lim \ frac { 2 { { n } ^ { 2 } } – 3 } { 2 { { n } ^ { 2 } } + 1 } = \ lim \ frac { 2 – \ frac { 3 } { { { n } ^ { 2 } } } } { 2 + \ frac { 1 } { { { n } ^ { 2 } } } } = \ frac { 2 } { 2 } = 1. \ \ và \ lim \ frac { 2 { { n } ^ { 3 } } – 3 } { 2 { { n } ^ { 2 } } – 1 } = \ lim \ frac { 2 – \ frac { 3 } { { { n } ^ { 3 } } } } { \ frac { 2 } { n } – \ frac { 1 } { { { n } ^ { 3 } } } } = + \ infty. \ \ \ end { align } \ )

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 7 :Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng \ ( + \ infty \ ) ?

  • A \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-2n}{5n+5{{n}^{2}}}.\)                     
  • B \({{u}_{n}}=\frac{1+{{n}^{2}}}{5n+5}.\)                  
  • C\({{u}_{n}}=\frac{1+2n}{5n+5{{n}^{2}}}.\)                       
  • D

     \({{u}_{n}}=\frac{1-{{n}^{2}}}{5n+5}.\)


Đáp án: B

Phương pháp giải :Chia cả tử mẫu của phân thức cho \ ( { { n } ^ { 2 } } \ ) .Lời giải cụ thể :\ ( \ begin { align } và \ lim \ frac { { { n } ^ { 2 } } – 2 n } { 5 n + 5 { { n } ^ { 2 } } } = \ lim \ frac { 1 – \ frac { 2 } { n } } { \ frac { 5 } { n } + 5 } = \ frac { 1 } { 5 }. \ \ và \ lim \ frac { 1 + { { n } ^ { 2 } } } { 5 n + 5 } = \ lim \ frac { \ frac { 1 } { { { n } ^ { 2 } } } + 1 } { \ frac { 5 } { n } + \ frac { 5 } { { { n } ^ { 2 } } } } = + \ infty. \ \ và \ lim \ frac { 1 + 2 n } { 5 n + 5 { { n } ^ { 2 } } } = \ lim \ frac { \ frac { 1 } { { { n } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 } { n } } { \ frac { 5 } { n } + 5 } = \ frac { 0 } { 5 } = 0. \ \ và \ lim \ frac { 1 – { { n } ^ { 2 } } } { 5 n + 5 } = \ lim \ frac { \ frac { 1 } { { { n } ^ { 2 } } } – 1 } { \ frac { 5 } { n } + \ frac { 5 } { { { n } ^ { 2 } } } } = – \ infty. \ \ \ end { align } \ )

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 8 :Tính giới hạn \ ( I = \ lim \ frac { 5 n + 2017 } { 2 n + 2018 }. \ )

  • A\(I=\frac{5}{2}\)                                
  • B \(I=\frac{2}{5}\)                               
  • C \(I=\frac{2017}{2018}\)                               
  • D \(I=1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :+ ) Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số .Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có : \ ( I = \ lim \ frac { 5 n + 2017 } { 2 n + 2018 } = \ lim \ frac { 5 + \ frac { 2017 } { n } } { 2 + \ frac { 2018 } { n } } = \ frac { 5 } { 2 }. \ )

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 9 :

 Tính \(\lim \dfrac{8n-1}{\sqrt{4{{n}^{2}}+n+1}}.\)

  • A\(2.\)    
  • B\(+\,\infty .\)    
  • C \(-\,1.\) 
  • D\(4.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của mẫu số hoặc bấm máy tính casioLời giải cụ thể :Ta có \ ( \ lim \ dfrac { 8 n – 1 } { \ sqrt { 4 { { n } ^ { 2 } } + n + 1 } } = \ lim \ dfrac { n \ left ( 8 – \ dfrac { 1 } { n } \ right ) } { \ left | n \ right | \ sqrt { 4 + \ dfrac { 1 } { n } + \ frac { 1 } { { { n } ^ { 2 } } } } } = \ lim \ dfrac { 8 – \ dfrac { 1 } { n } } { \ sqrt { 4 + \ dfrac { 1 } { n } + \ dfrac { 1 } { { { n } ^ { 2 } } } } } = 4. \ )

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 10 :Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn \ ( \ lim { { n } ^ { k } } \ ) là

  • A n.                                           
  • B 0.                                           
  • C \(+\infty \).                             
  • D  \(-\infty \).

Đáp án: C

Lời giải cụ thể :\ ( \ lim { { n } ^ { k } } = + \ infty, \, \, k \ in { { \ mathbb { Z } } ^ { + } } \ )

Chọn: C

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 11 :\ ( \ lim \ frac { 1 } { { 5 n + 2 } } \ ) bằng

  • A\(\frac{1}{5}.\)
  • B0.
  • C\(\frac{1}{2}.\)
  • D\( + \infty .\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Dựa vào giới hạn của dãy số để tính .Lời giải chi tiết cụ thể :\ ( \ lim \ frac { 1 } { { 5 n + 2 } } = 0 \ )

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 12 :Tìm \ ( I = \ lim \ dfrac { { 3 n – 2 } } { { n + 1 } } \ )

  • A\(I =  – 3\)
  • B\(I =  – 2\)
  • C\(I = 2\)
  • D\(I = 3\)  

Đáp án: D

Phương pháp giải :Ta sử dụng cách tìm giới hạn của dãy số : Chia cả tử và mẫu của biểu thức lấy giới hạn cho \ ( n. \ ) Sau đó vận dụng những công thức \ ( \ lim \ left ( { f \ left ( x \ right ) \ pm g \ left ( x \ right ) } \ right ) = \ lim f \ left ( x \ right ) \ pm g \ left ( x \ right ) ; \, \ lim \ dfrac { { f \ left ( x \ right ) } } { { g \ left ( x \ right ) } } = \ dfrac { { \ lim \, f \ left ( x \ right ) } } { { \ lim \, g \ left ( x \ right ) } } \, \, ; \, \, \ left ( { \ lim \, g \ left ( x \ right ) \ ne 0 } \ right ) \ ) với điều kiện kèm theo những giới hạn sống sót hữu hạn .Lời giải cụ thể :Ta có \ ( I = \ lim \ dfrac { { 3 n – 2 } } { { n + 1 } } = \ lim \ dfrac { { \ dfrac { { 3 n } } { n } – \ dfrac { 2 } { n } } } { { \ dfrac { n } { n } + \ dfrac { 1 } { n } } } = \ lim \ dfrac { { 3 – \ dfrac { 2 } { n } } } { { 1 + \ dfrac { 1 } { n } } } = \ dfrac { 3 } { 1 } = 3 \ )

Chọn  D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 13 :Giá trị của \ ( D = \ lim \ frac { { { n ^ 3 } – 3 { n ^ 2 } + 2 } } { { { n ^ 4 } + 4 { n ^ 3 } + 1 } } \ ) bằng :

  • A\( + \infty \)      
  • B\( – \infty \)            
  • C\(0\)
  • D\(1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Khi tìm \ ( \ lim \ frac { { f ( n ) } } { { g ( n ) } } \ ) ta chia cả tử và mẫu cho \ ( { n ^ k } \ ), trong đó \ ( k \ ) là bậc lớn nhất của tử và mẫu .
\ ( \ lim \ frac { 1 } { { { n ^ k } } } = 0 \ ) với \ ( k \ in \ mathbb { N } * \ )
Chú ý : \ ( \ left [ \ begin { array } { l } \ lim \ frac { 0 } { a } = 0 \ \ \ lim \ frac { a } { 0 } = \ infty \ end { array } \ right. \ ) ( a là số bất kể, \ ( a \ in R \ ) )Lời giải chi tiết cụ thể :\ ( D = \ lim \ frac { { \ frac { 1 } { n } – \ frac { 3 } { { { n ^ 2 } } } + \ frac { 2 } { { { n ^ 4 } } } } } { { 1 + \ frac { 4 } { n } + \ frac { 1 } { { { n ^ 4 } } } } } = \ frac { { 0 + 0 + 0 } } { { 1 + 0 + 0 } } = 0 \ )

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 14 :Giá trị của \ ( B = \ lim \ left ( { \ sqrt { 2 { n ^ 2 } + 1 } – n } \ right ) \ ) bằng :

  • A\( + \infty \)                
  • B\( – \infty \)                
  • C\(0\)
  • D\(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :\ ( \ lim \ frac { 1 } { { { n ^ k } } } = 0 \ ) với \ ( k \ in \ mathbb { N } * \ )
\ ( \ left \ { \ begin { array } { l } \ lim \, \, { u_n } = + \ infty \ \ \ lim \, \, { v_n } = a > 0 \ end { array } \ right. \ Rightarrow \ lim \, \, \ left ( { { u_n }. { v_n } } \ right ) = + \ infty \ )Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có : \ ( B = \ lim n \ left ( { \ sqrt { 2 + \ dfrac { 1 } { n ^ 2 } } – 1 } \ right ) = + \ infty \ ) do \ ( \ lim \, \, n = + \ infty \ ) và \ ( \ lim \ left ( { \ sqrt { 2 + \ dfrac { 1 } { n ^ 2 } } – 1 } \ right ) = \ sqrt 2 – 1 > 0 \ )

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 15 :Giới hạn \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { n \ to + \ infty } \ dfrac { { 1 + 2 + 3 + … + \ left ( { n – 1 } \ right ) + n } } { { { n ^ 2 } } } \ ) bằng

  • A\( + \infty \)   
  • B\(1\)
  • C\(0\)
  • D\(\frac{1}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số để tính .Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có : \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to \ infty } \ frac { { 1 + 2 + 3 + …. + \ left ( { n – 1 } \ right ) + n } } { { { n ^ 2 } } } = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to \ infty } \ frac { { \ frac { { n \ left ( { n + 1 } \ right ) } } { 2 } } } { { { n ^ 2 } } } = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to \ infty } \ frac { { { n ^ 2 } + n } } { { 2 { n ^ 2 } } } = \ frac { 1 } { 2 }. \ )

Chọn  D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 16 :

Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A\(\lim {\left( { – \sqrt 3 } \right)^{2n}} =  – \infty .\)
  • B\(\lim {\left( {\sqrt 2 } \right)^n} =  + \infty .\)
  • C\(\lim {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^n} = 0.\)
  • D\(\lim {\left( { – \dfrac{1}{2}} \right)^n} = 0.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :Sử dụng những quy tắc tính giới hạn .Lời giải chi tiết cụ thể :Khẳng định sai là A vì \ ( \ lim { \ left ( { – \ sqrt 3 } \ right ) ^ { 2 n } } = + \ infty. \ )

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 17 :Biết \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } f \ left ( x \ right ) = – 2 \ ) và \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } g \ left ( x \ right ) = 7 \ ). Khi đó \ ( I = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } \ left [ { f \ left ( x \ right ) – 3 g \ left ( x \ right ) } \ right ] \ ) .

  • A\(I = 23\)                              
  • B\(I = 19\)                                
  • C\(I =  – 19\)                             
  • D\(I =  – 23\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Nếu hàm số \ ( y = f \ left ( x \ right ), \, \, y = g \ left ( x \ right ) \ ) liên tục tại điểm \ ( x = { x_0 } \ Leftrightarrow \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } \ left [ { af \ left ( b \ right ) + bg \ left ( x \ right ) } \ right ] = a \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } f \ left ( x \ right ) + b \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } g \ left ( x \ right ) \ )Lời giải chi tiết cụ thể :\ ( I = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } \ left [ { f \ left ( x \ right ) – 3 g \ left ( x \ right ) } \ right ] = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } f \ left ( x \ right ) – 3 \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } g \ left ( x \ right ) = – 2 – 3.7 = – 23 \ ) .

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 18 :Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?

  • A\({\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^n}\)
  • B\(\dfrac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}\)
  • C\(\dfrac{1}{{2n}}\)
  • D\({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :\ ( \ lim { q ^ n } = 0 \, \, \ left ( { \ left | q \ right | < 1 } \ right ) \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Dễ thấy \ ( \ lim { \ left ( { \ dfrac { 4 } { 5 } } \ right ) ^ n } = 0, \, \, \ lim \ dfrac { 1 } { { 2 n } } = 0, \, \, \ lim { \ left ( { \ dfrac { 1 } { 2 } } \ right ) ^ n } = 0 \ ) .

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 19 :Cho hai dãy số \ ( \ left ( { { u_n } } \ right ) ; \, \, \ left ( { { v_n } } \ right ) \ ) biết \ ( { u_n } = \ dfrac { { 2 n + 1 } } { { n + 2 } } ; \, \, { v_n } = \ dfrac { { 3 n – 2 } } { { – n + 3 } } \ ). Tính giới hạn \ ( \ lim \ left ( { { u_n } + { v_n } } \ right ) \ ) ?

  • A\(2\)
  • B\( – 3\)
  • C\( – 1\)
  • D\(5\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Chia cả tử và mẫu cho \ ( n \ ) với số mũ cao nhất .Lời giải chi tiết cụ thể :\ ( \ begin { array } { l } \ lim \ left ( { { u_n } + { v_n } } \ right ) = \ lim \ left ( { \ dfrac { { 2 n + 1 } } { { n + 2 } } + \ dfrac { { 3 n – 2 } } { { – n + 3 } } } \ right ) \ \ = \ lim \ dfrac { { – 2 { n ^ 2 } + 6 n – n + 3 + 3 { n ^ 2 } – 2 n + 6 n – 4 } } { { – { n ^ 2 } + 3 n – 2 n + 6 } } \ \ = \ lim \ dfrac { { { n ^ 2 } + 9 n – 1 } } { { – { n ^ 2 } + n + 6 } } = \ lim \ dfrac { { 1 + \ dfrac { 9 } { n } – \ dfrac { 1 } { { { n ^ 2 } } } } } { { – 1 + \ dfrac { 1 } { n } + \ dfrac { 6 } { { { n ^ 2 } } } } } = – 1 \ end { array } \ )

Chọn C

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 20 :Cho dãy số \ ( \ left ( { { u_n } } \ right ) \ ) có giới hạn \ ( \ lim { u_n } = 1 \ ). Tính \ ( \ lim \ left ( { { u_n } – 1 } \ right ) \ ) .

  • A\(2001\)
  • B\(2000\)
  • C\(0\)
  • DKhông tồn tại giới hạn

Đáp án: C

Lời giải cụ thể :\ ( \ lim { u_n } = 1 \ Rightarrow \ lim \ left ( { { u_n } – 1 } \ right ) = 0 \ ) .

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 21 :

Tính giá trị \(\mathop {\lim \left( {1 – 2n} \right)}\limits_{} \sqrt {\frac{{n + 3}}{{{n^3} + n + 1}}} \)  bằng?

  • A\(0\)
  • B\(-2\)
  • C\( – \infty \)                   
  • D\( + \infty \)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Đưa \ ( ( 2 n – 1 ) \ ) vào trong dấu căn sau đó vận dụng những quy tắc tính giới hạn của dãy số để làm bài .Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có : \ ( \ mathop { \ lim \ left ( { 1 – 2 n } \ right ) } \ limits_ { } \ sqrt { \ frac { { n + 3 } } { { { n ^ 3 } + n + 1 } } } = – \ mathop { \ lim } \ limits_ { } \ sqrt { \ frac { { \ left ( { n + 3 } \ right ) { { \ left ( { 2 n – 1 } \ right ) } ^ 2 } } } { { { n ^ 3 } + n + 1 } } } = – \ mathop { \ lim } \ limits_ { } \ sqrt { \ frac { { \ left ( { 1 + \ frac { 1 } { n } } \ right ) { { \ left ( { 2 – \ frac { 1 } { n } } \ right ) } ^ 2 } } } { { 1 + \ frac { 1 } { { { n ^ 2 } } } + \ frac { 1 } { { { n ^ 3 } } } } } } = – 2 \ )

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 22 :Biết \ ( \ lim \ dfrac { { 1 + { 3 ^ n } } } { { { 3 ^ { n + 1 } } } } = \ dfrac { a } { b } \ ) ( a, b là hai số tự nhiên và \ ( \ dfrac { a } { b } \ ) tối giản ). Giá trị của \ ( a + b \ ) bằng

  • A\(3.\)
  • B\(\dfrac{1}{3}.\)
  • C\(0.\)
  • D\(4.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Chia cả tử và mẫu cho \({3^{n + 1}}\).

Lời giải chi tiết cụ thể :

\(\lim \dfrac{{1 + {3^n}}}{{{3^{n + 1}}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{3^{n + 1}}}} + \dfrac{1}{3}}}{1} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 1 + 3 = 4\)

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 23 :

Phát biểu nào trong các phát biểu sau là sai ?

  • A\(\lim {u_n} = c\) (\({u_n} = c\) là hằng số) 
  • B\(\lim {q^n} = 0{\text{ }}\left( {\left| q \right| > 1} \right)\)
  • C\(\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0{\text{ }}\left( {k > 1} \right)\) 
  • D\(\lim \dfrac{1}{n} = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Phương pháp: Xem mục 2. Một vài giới hạn đặc biệt (SGK Toán 11 trang 114)

Lời giải chi tiết cụ thể :

Cách giải:

\ ( \ begin { array } { l } \ lim \ dfrac { 1 } { n } = 0 \ \ \ lim \ dfrac { 1 } { { { n ^ k } } } = 0 \ \ { u_n } = c \ Rightarrow \ lim { u_n } = c \ \ \ lim { q ^ n } = 0 \, \ left ( { { \ rm { khi } } \ left | q \ right | < 1 } \ right ) \ end { array } \ )

Chọn đáp án B

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 24 :Giới hạn \ ( \ lim \ frac { \ sqrt { { { n } ^ { 2 } } – 3 n – 5 } – \ sqrt { 9 { { n } ^ { 2 } } + 3 } } { 2 n – 1 } \ ) bằng ?

  • A \(\frac{5}{2}.\)                                              
  • B \(\frac{-5}{2}.\)                                
  • C \(1.\)                                               
  • D \(-1.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :- Nhân phối hợp ,
– Chia cả tử mẫu của phân thức cho \ ( { { n } ^ { 2 } } \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :

Cách 1:

\(\begin{array}{l}
\lim \frac{{\sqrt {{n^2} – 3n – 5} – \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n – 1}} = \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} – 3n – 5} – \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {\sqrt {{n^2} – 3n – 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} – 3n – 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).(2n – 1)}}\\
= \lim \frac{{({n^2} – 3n – 5) – (9{n^2} + 3)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} – 3n – 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).(2n – 1)}} = \lim \frac{{ – 8{n^2} – 3n – 8}}{{\left( {\sqrt {{n^2} – 3n – 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).(2n – 1)}}\\
= \lim \frac{{ – 8 – \frac{3}{n} – \frac{8}{{{n^2}}}}}{{\left( {\sqrt {1 – \frac{3}{n} – \frac{5}{{{n^2}}}} + \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} } \right)\left( {2 – \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{{ – 8}}{{4.2}} = – 1.
\end{array}\)

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n.

\ ( \ lim \ frac { \ sqrt { { { n } ^ { 2 } } – 3 n – 5 } – \ sqrt { 9 { { n } ^ { 2 } } + 3 } } { 2 n – 1 } = \ lim \ frac { \ sqrt { 1 – \ frac { 3 } { n } – \ frac { 5 } { { { n } ^ { 2 } } } } – \ sqrt { 9 + \ frac { 3 } { { { n } ^ { 2 } } } } } { 2 – \ frac { 1 } { n } } = \ lim \ frac { 1-3 } { 2 } = – 1 \ )

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 25 :Giới hạn \ ( \ lim \ frac { { { \ left ( 2-5 n \ right ) } ^ { 3 } } { { \ left ( n + 1 \ right ) } ^ { 2 } } } { 2-25 { { n } ^ { 5 } } } \ ) bằng ?

  • A\(-4.\)                         
  • B \(-1.\)                                     
  • C\(5.\)                                      
  • D \(-\frac{3}{2}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Chia cả tử mẫu của phân thức cho \ ( { { n } ^ { 5 } } \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :

\(\lim \frac{{{(2-5n)}^{3}}{{(n+1)}^{2}}}{2-25{{n}^{5}}}=\lim \frac{\frac{{{(2-5n)}^{3}}}{{{n}^{3}}}.\frac{{{(n+1)}^{2}}}{{{n}^{2}}}}{\frac{2-25{{n}^{5}}}{{{n}^{5}}}}=\lim \frac{{{\left( \frac{2}{n}-5 \right)}^{3}}.{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{2}}}{\frac{2}{{{n}^{5}}}-25}=\frac{{{(-5)}^{3}}{{.1}^{2}}}{-25}=5\).

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 26 :

 Giới hạn \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-n+4}{\sqrt{2{{n}^{4}}-{{n}^{2}}+1}}\)bằng?

  • A\(1.\)                                       
  • B \(\sqrt{2}.\)                                        
  • C\(2.\)                                        
  • D\(\frac{1}{\sqrt{2}}.\) 

Đáp án: B

Phương pháp giải :Chia cả tử mẫu của phân thức cho \ ( { { n } ^ { 2 } } \ ) .Lời giải cụ thể :

\(\lim \frac{2{{n}^{2}}-n+4}{\sqrt{2{{n}^{4}}-{{n}^{2}}+1}}=\lim \frac{2-\frac{1}{n}+\frac{4}{{{n}^{2}}}}{\sqrt{2-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{4}}}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.\)

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 27 :Giới hạn \ ( \ lim \ dfrac { { { 2 } ^ { n + 1 } } – { { 3.5 } ^ { n } } + 5 } { { { 3.2 } ^ { n } } + { { 9.5 } ^ { n } } } \ ) bằng ?

  • A\(1.\)                            
  • B\(\frac{2}{3}.\)                                              
  • C \(-1.\)                          
  • D\(-\frac{1}{3}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Chia cả tử mẫu của phân thức cho \ ( { { 5 } ^ { n } } \ ) .Lời giải cụ thể :\ ( \ lim \ dfrac { { { 2 } ^ { n + 1 } } – { { 3.5 } ^ { n } } + 5 } { { { 3.2 } ^ { n } } + { { 9.5 } ^ { n } } } = \ lim \ dfrac { { { 2.2 } ^ { n } } – { { 3.5 } ^ { n } } + 5 } { { { 3.2 } ^ { n } } + { { 9.5 } ^ { n } } } \ )
\ ( = \ lim \ dfrac { 2. { { \ left ( \ frac { 2 } { 5 } \ right ) } ^ { n } } – 3 + 5. { { \ left ( \ dfrac { 1 } { 5 } \ right ) } ^ { n } } } { 3. { { \ left ( \ dfrac { 2 } { 5 } \ right ) } ^ { n } } + 9 } = \ dfrac { – 3 } { 9 } = – \ dfrac { 1 } { 3 }. \ )

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 28 :Biết dãy số \ ( \ left ( { { u_n } } \ right ) \ ) thỏa mãn nhu cầu \ ( \ left | { { u_n } } \ right | \ le \ dfrac { { n + 2 } } { { { n ^ 2 } } }, \, \, \ forall n \ ge 1 \ ). Khi đó \ ( \ lim { u_n } \ ) bằng :

  • A\(1\)
  • B\( – \infty \) 
  • C\(0\)
  • D\( + \infty \)

Đáp án: C

Phương pháp giải :\ ( { a_n } \ le { u_n } \ le { b_n }, \ lim { a_n } = \ lim { b_n } = c \ Leftrightarrow \ lim { u_n } = c \ )
Lời giải cụ thể :Ta có : \ ( \ left | { { u_n } } \ right | \ le \ dfrac { { n + 2 } } { { { n ^ 2 } } }, \, \, \ forall n \ ge 1 \ Leftrightarrow 0 \ le \ left | { { u_n } } \ right | \ le \ dfrac { { n + 2 } } { { { n ^ 2 } } }, \, \, \ forall n \ ge 1 \ Rightarrow 0 \ le \ lim { u_n } \ le \ lim \ dfrac { { n + 2 } } { { { n ^ 2 } } } \ )

Sử dụng MTC, nhập \(\dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}}\) :, nhấn phím [CALC], chọn \(x = {10^{10}}\) ta được  \( \Rightarrow \lim \dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}} = 0\)

\ ( \ Rightarrow 0 \ le \ lim { u_n } \ le 0 \ Rightarrow \ lim { u_n } = 0 \ )

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 29 :Cho dãy số \ ( \ left ( { { u } _ { n } } \ right ) \ ) với \ ( { { u } _ { n } } = \ dfrac { 1 } { 1.3 } + \ dfrac { 1 } { 3.5 } + … + \ dfrac { 1 } { \ left ( 2 n – 1 \ right ) \ left ( 2 n + 1 \ right ) } \ ). Tính \ ( \ lim { { u } _ { n } } \ ) .

  • A\(\frac{1}{2}\)                                    
  • B0                        
  • C1
  • D\(\frac{1}{4}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :- Rút gọn dãy số \ ( \ left ( { { u } _ { n } } \ right ) \ ), tìm số hạng tổng quát của dãy số \ ( \ left ( { { u } _ { n } } \ right ) \ )
– Tính \ ( \ lim { { u } _ { n } } \ ) .Lời giải cụ thể :Ta có :
\ ( { { u } _ { n } } = \ frac { 1 } { 1.3 } + \ frac { 1 } { 3.5 } + … + \ frac { 1 } { \ left ( 2 n – 1 \ right ) \ left ( 2 n + 1 \ right ) } = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( 1 – \ frac { 1 } { 3 } + \ frac { 1 } { 3 } – \ frac { 1 } { 5 } + \ frac { 1 } { 5 } – \ frac { 1 } { 7 } + … + \ frac { 1 } { 2 n – 1 } – \ frac { 1 } { 2 n + 1 } \ right ) = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( 1 – \ frac { 1 } { 2 n + 1 } \ right ) \ )
Do đó :
\ ( \ lim { { u } _ { n } } = \ lim \ frac { 1 } { 2 } \ left ( 1 – \ frac { 1 } { 2 n + 1 } \ right ) = \ frac { 1 } { 2 }. \ left ( 1-0 \ right ) = \ frac { 1 } { 2 } \ )

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 30 :Tính \ ( \ lim \ dfrac { { \ sqrt { 4 { n ^ 2 } + 1 } – \ sqrt { n + 2 } } } { { 2 n – 3 } } \ ) bằng :

  • A\( + \infty \)                   
  • B\(1\)                                 
  • C\(2\)                               
  • D \(\dfrac{3}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Chia cả tử và mẫu cho \ ( n \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :\ ( \ lim \ dfrac { { \ sqrt { 4 { n ^ 2 } + 1 } – \ sqrt { n + 2 } } } { { 2 n – 3 } } = \ lim \ dfrac { { \ sqrt { 4 + \ dfrac { 1 } { { { n ^ 2 } } } } – \ sqrt { \ dfrac { 1 } { n } + \ dfrac { 2 } { { { n ^ 2 } } } } } } { { 2 – \ dfrac { 3 } { n } } } = \ dfrac { 2 } { 2 } = 1 \ ) .

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 31 :Giá trị của \ ( C = \ lim \ frac { { \ sqrt [ 4 ] { { 3 { n ^ 3 } + 1 } } – n } } { { \ sqrt { 2 { n ^ 4 } + 3 n + 1 } + n } } \ ) bằng :

  • A\( + \infty \)                    
  • B\( – \infty \)                   
  • C\(0\)
  • D\(1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Khi tìm \ ( \ lim \ frac { { f ( n ) } } { { g ( n ) } } \ ) ta chia cả tử và mẫu cho \ ( { n ^ k } \ ), trong đó \ ( k \ ) là bậc lớn nhất của tử và mẫu .
\ ( \ lim \ frac { 1 } { { { n ^ k } } } = 0 \ ) với \ ( k \ in \ mathbb { N } * \ )
Chú ý : \ ( \ left [ \ begin { array } { l } \ lim \ frac { 0 } { a } = 0 \ \ \ lim \ frac { a } { 0 } = \ infty \ end { array } \ right. \ ) ( a là số bất kể, \ ( a \ in R \ ) )Lời giải cụ thể :Chia cả tử và mẫu cho \ ( { n ^ 2 } \ ) ta có được : \ ( C = \ lim \ frac { { \ sqrt [ 4 ] { { \ frac { 3 } { { { n ^ 5 } } } + \ frac { 1 } { { { n ^ 8 } } } } } – \ frac { 1 } { n } } } { { \ sqrt { 2 + \ frac { 3 } { { { n ^ 3 } } } + \ frac { 1 } { { { n ^ 4 } } } } + \ frac { 1 } { n } } } = 0 \ ) .

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 32 :Tính giới hạn \ ( \ lim \ left ( { n – \ sqrt { { n ^ 2 } – 4 n } } \ right ) \ ) ta được hiệu quả là :

  • A4
  • B2
  • C3
  • D1

Đáp án: B

Phương pháp giải :Nhân và chia với biểu thức phối hợp của \ ( n – \ sqrt { { n ^ 2 } – 4 n } \ ) .Lời giải cụ thể :Ta có : \ ( \ lim \ left ( { n – \ sqrt { { n ^ 2 } – 4 n } } \ right ) = \ lim \ dfrac { { { n ^ 2 } – { n ^ 2 } + 4 n } } { { n + \ sqrt { { n ^ 2 } – 4 n } } } = \ lim \ dfrac { { 4 n } } { { n + \ sqrt { { n ^ 2 } – 4 n } } } = \ lim \ dfrac { 4 } { { 1 + \ sqrt { 1 – \ dfrac { 4 } { n } } } } = 2 \ ) .

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 33 :Tính \ ( I = \ lim \ left [ { n \ left ( { \ sqrt { { n ^ 2 } + 2 } – \ sqrt { { n ^ 2 } – 1 } } \ right ) } \ right ] \ ) .

  • A\(I = 1,499\)
  • B\(I =  + \infty \)
  • C\(I = \dfrac{3}{2}\)
  • D\(I = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :- Nhân phối hợp khử dạng \ ( \ infty – \ infty \ ) .
– Chia cả tử và mẫu cho \ ( n \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :\ ( \ begin { array } { l } I = \ lim \ left [ { n \ left ( { \ sqrt { { n ^ 2 } + 2 } – \ sqrt { { n ^ 2 } – 1 } } \ right ) } \ right ] \ \ I = \ lim \ dfrac { { n \ left ( { { n ^ 2 } + 2 – { n ^ 2 } + 1 } \ right ) } } { { \ sqrt { { n ^ 2 } + 2 } + \ sqrt { { n ^ 2 } – 1 } } } \ \ I = 3 \ lim \ dfrac { n } { { \ sqrt { { n ^ 2 } + 2 } + \ sqrt { { n ^ 2 } – 1 } } } \ \ I = 3 \ lim \ dfrac { 1 } { { \ sqrt { 1 + \ dfrac { 2 } { { { n ^ 2 } } } } + \ sqrt { 1 – \ dfrac { 1 } { { { n ^ 2 } } } } } } \ \ I = 3 \ lim \ dfrac { 1 } { { 1 + 1 } } = \ dfrac { 3 } { 2 } \ end { array } \ )

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 34 :Cho số thực \ ( a \ ) thỏa mãn nhu cầu \ ( \ lim \ frac { { 2 { n ^ 3 } + { n ^ 2 } – 4 } } { { a { n ^ 3 } + 2 } } = \ frac { 1 } { 2 } \ ). Khi đó \ ( a – { a ^ 2 } \ ) bằng

  • A\(0\)
  • B\( – 6\)
  • C\( – 12\)
  • D\( – 2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải :- Tìm giới hạn của hàm số bằng cách chia cả tử và mẫu cho \ ( { n ^ 3 } \ ) .
– Tìm \ ( a \ ), từ đó tính \ ( a – { a ^ 2 } \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có \ ( \ lim \ frac { { 2 { n ^ 3 } + { n ^ 2 } – 4 } } { { a { n ^ 3 } + 2 } } = \ lim \ frac { { 2 + \ frac { 1 } { n } – \ frac { 4 } { { { n ^ 3 } } } } } { { a + \ frac { 2 } { { { n ^ 3 } } } } } = \ frac { 2 } { a }. \ )
Theo bài ra ta có : \ ( \ frac { 2 } { a } = \ frac { 1 } { 2 } \ Rightarrow a = 4 \ ) .
Vậy \ ( a – { a ^ 2 } = 4 – { 4 ^ 2 } = – 12. \ )

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 35 :Cho dãy số \ ( \ left ( { { u_n } } \ right ) \ ) với \ ( { u_n } = \ sqrt { { n ^ 2 } + an – 3 } – \ sqrt { { n ^ 2 } + n } \ ), trong đó \ ( a \ ) là tham số thực. Tìm \ ( a \ ) để \ ( \ lim { u_n } = 3 \ ) .

  • A\(7\)
  • B\(6\)
  • C\(4\)
  • D\(5\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :Sử dụng phương pháp nhân phối hợp. Sau đó chia cả tử và mẫu cho \ ( n \ ) .Lời giải cụ thể :\ ( \ begin { array } { l } \ lim { u_n } = \ lim \ left ( { \ sqrt { { n ^ 2 } + an – 3 } – \ sqrt { { n ^ 2 } + n } } \ right ) \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ lim \ dfrac { { { n ^ 2 } + an – 3 – { n ^ 2 } – n } } { { \ sqrt { { n ^ 2 } + an – 3 } + \ sqrt { { n ^ 2 } + n } } } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ lim \ dfrac { { \ left ( { a – 1 } \ right ) n – 3 } } { { \ sqrt { { n ^ 2 } + an – 3 } + \ sqrt { { n ^ 2 } + n } } } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ lim \ dfrac { { \ left ( { a – 1 } \ right ) – \ dfrac { 3 } { n } } } { { \ sqrt { 1 + \ dfrac { a } { n } – \ dfrac { 3 } { { { n ^ 2 } } } } + \ sqrt { 1 + \ dfrac { 1 } { n } } } } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ dfrac { { a – 1 } } { 2 } \ \ \ Leftrightarrow \ dfrac { { a – 1 } } { 2 } = 3 \ Leftrightarrow a – 1 = 6 \ Leftrightarrow a = 7 \ end { array } \ ) .

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 36 :Cho dãy số \ ( { u_n } \ ) thỏa \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { } { u_n } = 2. \ ) Tính \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { } \ left ( { { u_n } + \ dfrac { { { 2 ^ n } } } { { { 2 ^ n } + 3 } } } \ right ). \ )

  • A\(1.\)
  • B\(2.\)
  • C\(3.\)
  • D\(4\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :\ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to \ infty } \ left [ { f \ left ( x \ right ) + g \ left ( x \ right ) } \ right ] = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to \ infty } f \ left ( x \ right ) + \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to \ infty } g \ left ( x \ right ) \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :\ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { } \ left ( { { u_n } + \ dfrac { { { 2 ^ n } } } { { { 2 ^ n } + 3 } } } \ right ) = \ lim { u_n } + \ lim \ dfrac { { { 2 ^ n } } } { { { 2 ^ n } + 3 } } = \ lim { u_n } + \ lim \ dfrac { 1 } { { 1 + \ dfrac { 3 } { { { 2 ^ n } } } } } = 2 + 1 = 3 \ ) .

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 37 :Tính giới hạn \ ( \ lim \ dfrac { { { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } + … + { n ^ 2 } } } { { { n ^ 3 } + 3 n } } \ ) .

  • A\(\dfrac{1}{3}\)
  • B\(1\)
  • C\(\dfrac{1}{4}\)
  • D\(2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :+ ) Chứng minh \ ( { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } + … + { n ^ 2 } = \ dfrac { { n \ left ( { n + 1 } \ right ) \ left ( { 2 n + 1 } \ right ) } } { 6 } \, \, \ forall n \ ge 1, \, \, n \ in \ mathbb { Z } \ ) bằng chiêu thức quy nạp .
+ ) Tính giới hạn bằng cách chia cả tử và mẫu cho \ ( n \ ) với số mũ là số mũ cao nhất của tử và mẫu .Lời giải chi tiết cụ thể :Bằng chiêu thức quy nạp toán học ta chứng tỏ \ ( { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } + … + { n ^ 2 } = \ dfrac { { n \ left ( { n + 1 } \ right ) \ left ( { 2 n + 1 } \ right ) } } { 6 } \, \, \ forall n \ ge 1, \, \, n \ in \ mathbb { Z } \ ) .
Đẳng thức trên đúng với \ ( n = 1 \ ) vì \ ( 1 = \ dfrac { { 1.2.3 } } { 6 } \ ) .
Giả sử đẳng thức trên đúng đến \ ( n = k \ Rightarrow { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + … + { k ^ 2 } = \ dfrac { { k \ left ( { k + 1 } \ right ) \ left ( { 2 k + 1 } \ right ) } } { 6 } \ ), ta cần chứng tỏ nó đúng đến \ ( n = k + 1 \ ), tức là cần chứng tỏ \ ( { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + … + { \ left ( { k + 1 } \ right ) ^ 2 } = \ dfrac { { \ left ( { k + 1 } \ right ) \ left ( { k + 2 } \ right ) \ left ( { 2 k + 3 } \ right ) } } { 6 } \ ) .
Ta có :
\ ( \ begin { array } { l } VT = { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + … + { \ left ( { k + 1 } \ right ) ^ 2 } = \ dfrac { { k \ left ( { k + 1 } \ right ) \ left ( { 2 k + 1 } \ right ) } } { 6 } + { \ left ( { k + 1 } \ right ) ^ 2 } \ \ = \ dfrac { { \ left ( { k + 1 } \ right ) \ left ( { 2 { k ^ 2 } + k + 6 k + 6 } \ right ) } } { 6 } = \ dfrac { { \ left ( { k + 1 } \ right ) \ left ( { 2 { k ^ 2 } + 7 k + 6 } \ right ) } } { 6 } = \ dfrac { { \ left ( { k + 1 } \ right ) \ left ( { k + 2 } \ right ) \ left ( { 2 k + 3 } \ right ) } } { 6 } = VP \ end { array } \ )
\ ( \ Rightarrow \ ) Đẳng thức được chứng tỏ. Khi đó ta có :

\(\begin{array}{l}\lim \dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}} = \lim \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6\left( {{n^3} + 3n} \right)}}\\ = \lim \dfrac{{1.\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{6\left( {1 + \dfrac{3}{{{n^2}}}} \right)}} = \dfrac{{1.1.2}}{{6.1}} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 38 :Cho dãy số \ ( ( { u_n } ) \ ) được xác lập bởi \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } { u_0 } = 2018 \ \ { u_1 } = 2019 \ \ { u_ { n + 1 } } = 4 { u_n } – 3 { u_ { n – 1 } } ; \ forall n \ ge 1 \ end { array } \ right. \ ). Hãy tính \ ( \ lim \ dfrac { { { u_n } } } { { { 3 ^ n } } } \ ) .

  • A\(\dfrac{1}{3}\).
  • B\({3^{2019}}\).
  • C\(\dfrac{1}{2}\).
  • D\({3^{2018}}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải :Áp dụng công thức để tìm những số hạng tiếp theo rồi suy ra quy luật .Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có \ ( { u_ { n + 1 } } = 4 { u_n } – 3 { u_ { n – 1 } } \ ) .
+ ) \ ( { u_2 } = 4 { u_1 } – 3 { u_0 } = 2022 = { u_0 } + { 3 ^ 0 } + { 3 ^ 1 } \ )
Tương tự \ ( { u_3 } = 4 { u_2 } – 3 { u_1 } = 2031 = { u_0 } + { 3 ^ 0 } + { 3 ^ 1 } + { 3 ^ 2 } \ )
\ ( { u_4 } = 4 { u_3 } – { u_2 } = 2058 = { u_0 } + { 3 ^ 0 } + { 3 ^ 1 } + { 3 ^ 2 } + { 3 ^ 3 } \ )
Suy ra \ ( { u_n } = { u_0 } + { 3 ^ 0 } + { 3 ^ 1 } + { 3 ^ 2 } + … + { 3 ^ { n – 1 } } \ ) .
Ta có \ ( { 3 ^ 0 } + { 3 ^ 1 } + … + { 3 ^ { n – 1 } } = 1. \ dfrac { { 1 – { 3 ^ n } } } { { 1 – 3 } } = \ dfrac { { { 3 ^ n } – 1 } } { 2 } \ ) .
\ ( \ Rightarrow { u_n } = 2018 + \ dfrac { { { 3 ^ n } – 1 } } { 2 } = \ dfrac { { 4035 } } { 2 } + \ dfrac { 1 } { 2 } { 3 ^ n } \ ) .
Vậy \ ( \ lim \ dfrac { { { u_n } } } { { { 3 ^ n } } } = \ lim \ dfrac { { \ dfrac { { 4035 } } { 2 } + \ dfrac { 1 } { 2 } { 3 ^ n } } } { { { 3 ^ n } } } = \ lim \ left ( { \ dfrac { { 4035 } } { { { { 2.3 } ^ n } } } + \ dfrac { 1 } { 2 } } \ right ) = \ dfrac { 1 } { 2 }. \ )

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 39 :

Biết rằng \(b > 0,\,\,a + b = 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} – \sqrt {1 – bx} }}{x} = 2\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

  • A\({a^2} + {b^2} > 10\)
  • B\({a^2} – {b^2} > 6\)
  • C\(a – b \ge 0\)
  • D\(1 \le a \le 3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :- Tách tử thành những giới hạn \ ( \ dfrac { 0 } { 0 } \ ) .
– Sử dụng phương pháp nhân phối hợp để khử dạng \ ( \ dfrac { 0 } { 0 } \ ), từ đó tính giới hạn của hàm số .
– Giải hệ phương trình tìm \ ( a, \, \, b \ ). Thay vào những đáp án để tìm đáp án sai .Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có :
\ ( \ begin { array } { l } \, \, \, \, \, \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ dfrac { { \ sqrt [ 3 ] { { ax + 1 } } – \ sqrt { 1 – bx } } } { x } = 2 \ \ \ Leftrightarrow \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ dfrac { { \ sqrt [ 3 ] { { ax + 1 } } – 1 } } { x } + \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ dfrac { { 1 – \ sqrt { 1 – bx } } } { x } = 2 \ \ \ Leftrightarrow \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ dfrac { { ax + 1 – 1 } } { { x \ left ( { { { \ sqrt [ 3 ] { { ax + 1 } } } ^ 2 } + \ sqrt [ 3 ] { { ax + 1 } } + 1 } \ right ) } } + \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ dfrac { { 1 – 1 + bx } } { { x \ left ( { 1 + \ sqrt { 1 – bx } } \ right ) } } = 2 \ \ \ Leftrightarrow \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ dfrac { a } { { { { \ sqrt [ 3 ] { { ax + 1 } } } ^ 2 } + \ sqrt [ 3 ] { { ax + 1 } } + 1 } } + \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ dfrac { b } { { 1 + \ sqrt { 1 – bx } } } = 2 \ \ \ Leftrightarrow \ dfrac { a } { 3 } + \ dfrac { b } { 2 } = 2 \ end { array } \ )
Kết hợp với đề bài ta có hệ phương trình : \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } \ dfrac { a } { 3 } + \ dfrac { b } { 2 } = 2 \ \ a + b = 5 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } a = 3 \ \ b = 2 \ end { array } \ right. \ ) .
Khi đó ta có :
\ ( { a ^ 2 } + { b ^ 2 } = { 3 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } = 13 > 10 \ Rightarrow \ ) Đáp án A đúng .
\ ( { a ^ 2 } – { b ^ 2 } = { 3 ^ 2 } – { 2 ^ 2 } = 5 < 6 \ Rightarrow \ ) Đáp án B sai . \ ( a - b = 3 - 2 = 1 \ ge 0 \ Rightarrow \ ) Đáp án C đúng . \ ( a = 3 \ Rightarrow 1 \ le a \ le 3 \ Rightarrow \ ) Đáp án D đúng .

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 40 :Cho dãy \ ( ( { x_k } ) \ ) được xác lập như sau : \ ( { x_k } = \ frac { 1 } { { 2 ! } } + \ frac { 2 } { { 3 ! } } + … + \ frac { k } { { ( k + 1 ) ! } } \ )
Tìm \ ( \ lim { u_n } \ ) với \ ( { u_n } = \ sqrt [ n ] { { x_1 ^ n + x_2 ^ n + … + x_ { 2011 } ^ n } } \ ) .

  • A\( + \infty \)
  • B\( – \infty \)
  • C\(1 – \frac{1}{{2012!}}\)
  • D\(1 + \frac{1}{{2012!}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Nếu \ ( { x_n } < { u_n } < { v_n } \ ) mà \ ( \ lim \, \, { x_n } = \ lim \, \, { v_n } = a \ Rightarrow \ lim \, \, { u_n } = a \ )Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có : \ ( \ frac { k } { { ( k + 1 ) ! } } = \ frac { 1 } { { k ! } } - \ frac { 1 } { { ( k + 1 ) ! } } \ ) nên \ ( { x_k } = 1 - \ frac { 1 } { { ( k + 1 ) ! } } \ ) \ ( \ begin { array } { l } \ Rightarrow { x_k } - { x_ { k + 1 } } = 1 - \ frac { 1 } { { \ left ( { k + 1 } \ right ) ! } } - 1 + \ frac { 1 } { { ( k + 2 ) ! } } = \ frac { 1 } { { ( k + 2 ) ! } } - \ frac { 1 } { { ( k + 1 ) ! } } < 0 \ \ \ Rightarrow { x_k } < { x_ { k + 1 } } \ Rightarrow { x_1 } < { x_2 } < ... < { x_ { 2011 } } \ \ \ Rightarrow x_1 ^ n < x_2 ^ n < ... < x_ { 2011 } ^ n \ Rightarrow \ sqrt [ n ] { { x_1 ^ n + x_2 ^ n + ... + x_ { 2011 } ^ n } } < \ sqrt [ n ] { { x_ { 2011 } ^ n + x_ { 2011 } ^ n + ... + x_ { 2011 } ^ n } } = \ sqrt [ n ] { { 2011. x_ { 2011 } ^ n } } = \ sqrt [ n ] { { 2011 } }. { x_ { 2011 } } \ end { array } \ ) Lại có : \ ( { x_ { 2011 } } = \ sqrt [ n ] { { x_ { 2011 } ^ n } } < \ sqrt [ n ] { { x_1 ^ n + x_2 ^ n + ... + x_ { 2011 } ^ n } } \ ) Vậy : \ ( { x_ { 2011 } } < \ sqrt [ n ] { { x_1 ^ n + x_2 ^ n + ... + x_ { 2011 } ^ n } } < \ sqrt [ n ] { { 2011 } } { x_ { 2011 } } \ )

Ta có: \({x_{2011}} = 1 – \frac{1}{{\left( {2011 + 1} \right)!}} = 1 – \frac{1}{{2012!}}\)

\ ( \ begin { array } { l } \ Rightarrow \ lim { x_ { 2011 } } = { x_ { 2011 } } = 1 – \ frac { 1 } { { 2012 ! } } \ \ \ Rightarrow \ lim \ sqrt [ n ] { { 2011 } } { x_ { 2011 } } = \ lim \, \, { 2011 ^ { \ frac { 1 } { n } } } { x_ { 2011 } } = { 2011 ^ 0 }. { x_ { 2011 } } = { x_ { 2011 } } = 1 – \ frac { 1 } { { 2012 ! } } \ end { array } \ )
Vậy \ ( \ lim { u_n } = 1 – \ frac { 1 } { { 2012 ! } } \ ) .

Chọn C.

Đáp án – Lời giải

Đánh giá bài viết