\ ( \ begin { array } { l } a { x ^ 2 } + bx + c = a \ left ( { { x ^ 2 } + 2 \ frac { b } { { 2 x } } + \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 4 { a ^ 2 } } } } \ right ) – \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 4 { a ^ 2 } } } + c \ \ = a { \ left ( { x + \ frac { b } { { 2 a } } } \ right ) ^ 2 } – \ frac { { { b ^ 2 } – 4 ac } } { { 4 a } } \ end { array } \ )Vì vậy, nếu đặt : \ ( \ Delta = { b ^ 2 } – 4 ac ; p = – \ frac { b } { { 2 a } } ; q = – \ frac { \ Delta } { { 4 a } } \ )Thì hàm số \ ( y = ax ^ 2 + bx + c ( a \ ne0 ) \ ) trở thành \ ( y = a { \ left ( { x – p } \ right ) ^ 2 } + q \ )

Đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\) là một Parabol có đỉnh \(I\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\), nhận đường thẳng \(x = – \frac{b}{{2a}}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi a dương, bề lõm xuống dưới khi a âm.

2. Bài tập minh họa

Câu 1: Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết \(\left( P \right)\) đi qua \(M(4; 6)\) có đỉnh \(I(2; 4)\).

Hướng dẫn giải

Vì \ ( M \ in \ left ( P \ right ) \ ) nên \ ( 6 = 16 a + 4 b + c \ ) ( 1 ) .
Mặt khác \ ( \ left ( P \ right ) \ ) có đỉnh \ ( I ( 2 ; 4 ) \ ) nên \ ( – \ frac { b } { { 2 a } } = 2 \ Leftrightarrow 4 a + b = 0 \ ) ( 2 ) và \ ( I \ in \ left ( P \ right ) \ ) suy ra \ ( 4 = 4 a + 2 b + c \ ) ( 3 )
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } 6 = 16 a + 4 b + c \ \ 4 a + b = 0 \ \ 4 = 4 a + 2 b + c \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } a = 50% \ \ b = – 2 \ \ c = 6 \ end { array } \ right. \ )
Vậy \ ( \ left ( P \ right ) \ ) cần tìm là \ ( y = 50% { x ^ 2 } – 2 x + 6 \ ) .

Câu 2: Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(2\) khi \(x = 1\) và nhận giá trị bằng \(1\) khi\(x = 6\).

Hướng dẫn giải

Hàm số \ ( y = a { x ^ 2 } + bx + c \ ) có giá trị nhỏ nhất bằng \ ( 2 \ ) khi \ ( x = 1 \ ) nên ta có :
\ ( – \ frac { b } { { 2 a } } = 1 \ Leftrightarrow 2 a + b = 0 \ ) ( 5 )
\ ( 2 = a {. 1 ^ 2 } + b. 1 + c \ Leftrightarrow a + b + c = 2 \ ) ( 6 )
Hàm số \ ( y = a { x ^ 2 } + bx + c \ ) nhận giá trị bằng \ ( 6 \ ) khi \ ( x = – 1 \ ) nên \ ( a – b + c = 6 \ ) ( 7 )
Từ ( 5 ), ( 6 ) và ( 7 ) ta có \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } 2 a + b = 0 \ \ a + b + c = 2 \ \ a – b + c = 6 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } a = 1 \ \ b = – 2 \ \ c = 3 \ end { array } \ right. \ )
Vậy \ ( \ left ( P \ right ) \ ) cần tìm là \ ( y = { x ^ 2 } – 2 x + 3 \ ) .

Câu 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y =  – {x^2} + 2\sqrt 2 x\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \ ( – \ frac { b } { { 2 a } } = \ sqrt 2, \, \, – \ frac { \ Delta } { { 4 a } } = 2 \ )
Bảng biến thiên :

Suy ra đồ thị hàm số \ ( y = – { x ^ 2 } + 2 \ sqrt 2 x \ ) có đỉnh là \ ( I \ left ( { \ sqrt 2 ; 2 } \ right ) \ ), đi qua những điểm \ ( O \ left ( { 0 ; 0 } \ right ), \, \, B \ left ( { 2 \ sqrt 2 ; 0 } \ right ) \ )
Nhận đường thẳng \ ( x = \ sqrt 2 \ ) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới .

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết \(\left( P \right)\) đi qua \(A(-2; 4)\) có đỉnh \(I(2;-2)\).

Câu 2: Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{2}{3}\) khi \(x = \frac{1}{3}\) và nhận giá trị bằng \(3\) khi\(x = 1\).

Câu 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a ) \ ( y = { x ^ 2 } + 5 x + 6 \ )
b ) \ ( y = { x ^ 2 } + 3 \ sqrt 3 x \ )

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Hàm số nào sau đây nghịch biến trong khoảng \(\left( { – \infty ;\,0} \right)\)?

A. \ ( y = \ sqrt 2 { x ^ 2 } + 1 \ )
B. \ ( y = – \ sqrt 2 { x ^ 2 } + 1 \ )
C. \ ( y = \ sqrt 2 { \ left ( { x + 1 } \ right ) ^ 2 } \ )
D. \ ( y = – \ sqrt 2 { \ left ( { x + 1 } \ right ) ^ 2 } \ )

Câu 2: Cho hàm số: \(y = {x^2} – 2x + 3\). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?

A. y tăng trên \ ( \ left ( { 0 ; \, + \ infty } \ right ) \ )
B. y giảm trên \ ( \ left ( { – \ infty ; \, 2 } \ right ) \ )
C. Đồ thị của y có đỉnh I ( 1 ; 0 )
D. y tăng trên \ ( \ left ( { 2 ; \, + \ infty } \ right ) \ )

Câu 3: Tung độ đỉnh I của parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2} – 4x + 3\) là:

A. – 1
B. 1
C. 5
D. – 5

Câu 4: Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{3}{4}\)?

A. \ ( y = 4 { x ^ 2 } – 3 x { \ rm { } } + 1 \ )
B. \ ( y = – { x ^ 2 } + \ frac { 3 } { 2 } x + 1 \ )
C. \ ( y = – 2 { x ^ 2 } + 3 x + 1 \ )
D. \ ( y = { x ^ 2 } – \ frac { 3 } { 2 } x + 1 \ )

 Câu 5: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = – {x^2} + 4x + 2\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. y giảm trên \ ( \ left ( { 2 ; \, + \ infty } \ right ) \ )

B. y giảm trên \(\left( { – \infty ;\,2} \right)\)

C. y tăng trên \ ( \ left ( { 2 ; \, + \ infty } \ right ) \ )
D. y tăng trên \ ( \ left ( { – \ infty ; \, 2 } \ right ) \ )

4. Kết luận

Qua bài học kinh nghiệm này, những em cần nắm được những nội dung sau :

Đánh giá bài viết