1. Công thức mũ và lũy thừa

Cho a và b > 0, m và n là những số thực tùy ý, ta có những công thức mũ và lũy thừa sau :

Công thức mũ và lũy thừa

2. Công thức lôgarit

Cho \ ( a < 0 \ ne1, b > 0 \ ) và \ ( x, y > 0, \ ) ta có những công thức sau :

Công thức logarit

Công thức đổi cơ số:

Công thức đổi cơ số

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

4. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

a) Hàm số lũy thừa

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa \(y=x^{\alpha}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa

b) Hàm số mũ

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ \(y=a^x(a>0,a\ne1)\)

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ

c) Hàm số lôgarit

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lôgarit \(y={\log_a}x(a>0,a\ne1)\)

Bảng tóm tắt tính chất của hàm số logarit

5. Phương trình và bất phương trình mũ

Các chiêu thức giải :

  • Phương pháp đưa về cùng cơ số.
  • Phương pháp lôgarit hóa.
  • Phương pháp đặt ẩn phụ.
  • Phương pháp hàm số.

6. Phương trình và bất phương trình lôgarit

Các chiêu thức giải :

  • Phương pháp đưa về cùng cơ số
  • Phương pháp mũ hóa.
  • Phương pháp đặt ẩn phụ.
  • Phương pháp hàm số.

7. Bài tập minh họa

Bài tập 1:

Cho a, b, c > 0 ; a, b, c \ ( \ neq \ ) 1 thỏa mãn nhu cầu ac = b2. CMR : \ ( \ log_ab + \ log_cb = 2 \ log_ab. \ log_cb. \ )

Lời giải:

\(ac=b^2\Rightarrow \log_b\ a+\log_b\ c=2\)\(\Rightarrow \frac{1}{\log_a \ b}+\frac{1}{\log_c \ b}=2\)
\(\Rightarrow \frac{\log_c \ b +\log_a \ b}{\log_a \ b .\log_c \ b}=2\)\(\Rightarrow \log_c \ b +\log_a \ b = 2\log_a \ b. \log_c \ b\).

Bài tập 2:

Cho \ ( \ log_ { 3 } 5 = a \ ). Tính \ ( \ log_ { 75 } 45 \ ) theo a .

Lời giải:

\ ( \ log_ { 75 } 45 = \ frac { \ log_ { 3 } 45 } { \ log_ { 3 } 75 } = \ frac { \ log_ { 3 } ( 3 ^ { 2 }. 5 ) } { \ log_ { 3 } ( 3.5 ^ { 2 } ) } \ ) \ ( = \ frac { log_ { 3 } 3 ^ { 2 } + log_ { 3 } 5 } { log_ { 3 } 3 + log_ { 3 } 5 ^ { 2 } } = \ frac { 2 + log_ { 3 } 5 } { 1 + 2 log_ { 3 } 5 } \ ) \ ( = \ frac { 2 + a } { 1 + 2 a } \ ) .

Bài tập 3:

Một người gửi tiết kiệm chi phí ngân hàng nhà nước với lãi suất vay 6,8 % / năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức \ ( T = A ( 1 + r ) ^ n \ ), trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất vay và n là số kỳ hạn gửi. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền bắt đầu ?

Lời giải:

Sau n năm số tiền thu được là \(T=A(1+0,068)^n\)
Để T = 2A thì phải có \((1,068)^n=2 \ \ (hay \ (1+6,8\%)^n=2)\)
\(\Leftrightarrow n=log_{1,068}.2\approx 10,54\)
Vậy muốn thu được gấp đôi số tiền ban đầu, người đó phải gửi 11 năm.

Bài tập 4:

Giải phương trình \ ( \ log_8 \ frac { 8 } { x ^ 2 } = 3 \ log_8 ^ 2 x. \ )

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{\log _8}\frac{8}{{{x^2}}} \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 2\sqrt 2 .\)

\(\log_8\frac{8}{x^2}=3\log_8^2x\Leftrightarrow \log_88 -\log_8x^2=3.\log_8^2x\)
\(\Leftrightarrow 3\log_8^2x+2\log_8x^2-1=0\)
Đặt \(t=\log_8x\), phương trình trở thành: \(3{t^2} + 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = – 1\\ t = \frac{1}{3} \end{array} \right.\)
Với: \(t=-1\Leftrightarrow log_8x=-1\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}\)
Với: \(t=\frac{1}{3}\Leftrightarrow log_8x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=2\)
Vậy tập nghiệm phương trình là: \(\left \{ \frac{1}{8};2 \right \}\).

Bài tập 5:

Giải bất phương trình : \ ( \ log_ { 0,5 } x + 2 \ log_ { 0,25 } ( x-1 ) + \ log_26 \ geq 0. \ )

Lời giải:

Khi đó ta có:
\(\log_{0,5}x+2\log_{0,25}(x-1)+\log_26\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \log_2x-\log_2(x-1)+\log_26\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \log_2[x(x-1)]\leq \log_26\Leftrightarrow x(x-1)\leq 6\Leftrightarrow x^2-x-6\leq 0\)
\(\Leftrightarrow -2\leq x\leq 3\).
Kết hợp điều kiện (*) ta được \ ( 1 < x \ le 3 \ ) Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = ( 1 ; 3 ] .

Bài tập 6:

Giải phương trình \ ( 27 ^ x-5. 3 ^ { 2-3 x } = 4. \ )

Lời giải:

\(27^x-5.3^{2-3x}=4\Leftrightarrow 27^x-\frac{45}{27^x}=4\Leftrightarrow (27^x)^2-4.27^x-45=0\)
Đặt :\(t=27^x(t>0)\)ta được\(t^2-4t-45=0\)\(\Leftrightarrow t=9\) (Do t>0).
\(\Rightarrow 3^{3x}=3^2\Leftrightarrow 3x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là\(x=\frac{2}{3}\).

Bài tập 7:

Giải bất phương trình

 

\(4^x-3^x>1.\)

Lời giải:

\(4^x-3^x>1\Leftrightarrow 4^x>3^x+1\)\(\Leftrightarrow 1>(\frac{3}{4})^x+(\frac{1}{4})^x\)
Với \(x\leq 1\) ta có: \(\left.\begin{matrix} \left ( \frac{3}{4} \right )^x\geqslant \frac{3}{4}\\ \\ \left ( \frac{1}{4} \right )^x\geqslant \frac{1}{4} \end{matrix}\right\}VP\geqslant 1\) Không thỏa mãn.
Với \(x>1\) ta có:  \(\left.\begin{matrix} (\frac{3}{4})^x<\frac{3}{4}\\ \\ (\frac{1}{4})^x< \frac{1}{4} \end{matrix}\right\}VP< 1\) thỏa mãn.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là : \ ( S = ( 1 ; + \ infty ). \ )
Điều kiện : x > 1 ( * ). Khi đó ta có : \ ( \ log_ { 0,5 } x + 2 \ log_ { 0,25 } ( x-1 ) + \ log_26 \ geq 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ log_2x – \ log_2 ( x-1 ) + \ log_26 \ geq 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ log_2 [ x ( x-1 ) ] \ leq \ log_26 \ Leftrightarrow x ( x-1 ) \ leq 6 \ Leftrightarrow x ^ 2 – x-6 \ leq 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow – 2 \ leq x \ leq 3 \ ). Kết hợp điều kiện kèm theo ( * ) ta được

Đánh giá bài viết