1. Định nghĩa

Trong bài học trước ta đã biết: Hình thang là hình có hai cạnh đối song song. Sau đây, ta cùng tìm hiểu một hình thang rất đặc biệt: Hình thang cân.

Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Trong hình vẽ trên, ta có hình thang \(ABCD\) với hai đáy \(AB\), \(CD\). Do \(\widehat{C}=\widehat{D}\), nên hình thang \(ABCD\) là một hình thang cân.

Bạn đang đọc: Bài 3: Hình thang cân

Như vậy :Tứ giác \ ( ABCD \ ) là hình thang cân ( đ ​ áy \ ( AB, CD \ ) ) \ ( \ Leftrightarrow \ { \ begin { array } { 1 } AB \ parallel CD \ \ \ hat { C } = \ hat { D } \ quad \ text { hoặc } \ quad \ hat { A } = \ hat { B } \ end { array } \ ) .

Chú ý: Nếu \(ABCD\) là hình thang cân (đ​áy \(AB,CD\)) thì ta có thể suy ra ngay \(\widehat{C}=\widehat{D}\) và \(\widehat{A}=\widehat{B}\).

Ta đã biết : \ ( \ widehat { A } + \ widehat { D } = \ widehat { B } + \ widehat { C } = 180 ^ 0 \ ) ( tổng hai góc kề một cạnh bên ). Khi \ ( \ widehat { C } = \ widehat { D } \ ), \ ( \ widehat { A } = \ widehat { B } \ ), ta thuận tiện suy ra : \ ( \ widehat { A } + \ widehat { C } = \ widehat { B } + \ widehat { D } = 180 ^ 0 \ ) .

Nhận xét: Tổng hai góc đối nhau trong hình thang cân luôn bằng \(180^0\).

2. Tính chất

Hình thang cân có 1 số ít tính chất đặc trưng mà ta sẽ xét ngay sau đây :

Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Ta sẽ chứng minh định lí trên bằng cách chia hai trường hợp :Trường hợp 1 : \ ( AD \ ) và \ ( BC \ ) không song song .Giả sử \ ( AB < CD \ ). Gọi \ ( AD \ cap BC \ equiv O \ ) .

Do \ ( ABCD \ ) là hình thang cân nên \ ( \ widehat { C } = \ widehat { D } ; \ widehat { A_1 } = \ widehat { B_1 }. \ )Do \ ( \ widehat { C } = \ widehat { D } \ ) \ ( \ Rightarrow \ Delta OCD \ ) cân \ ( \ Rightarrow OC = OD \ ) .Do \ ( \ widehat { A_1 } = \ widehat { B_1 } \ Rightarrow \ widehat { A_2 } = \ widehat { B_2 } \ Rightarrow \ Delta OAB \ ) cân \ ( \ Rightarrow OA = OB \ ) .\ ( \ Rightarrow OD-OA = OC-OB \ Rightarrow AD = BC \ ) ( Điều phải chứng tỏ ) .Trường hợp 2 : \ ( AD \ ) song song \ ( BC \ ) .

Ở bài trước ta đã biết : Hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau .\ ( \ Rightarrow AD = BC \ ) ( Điều phải chứng tỏ ) .

Chú ý: Một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì chưa chắc đã là hình thang cân. Ví dụ:

Hình thang \ ( ABCD \ ) trong hình trên có \ ( AD = BC \ ) nhưng không là hình thang cân do \ ( \ widehat { A } \ ne \ widehat { B } ; \ widehat { C } \ ne \ widehat { D }. \ )

Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Chứng minh :

Xét tam giác \ ( ACD \ ) và tam giác \ ( BDC \ ) có :

  • \ ( CD \ ) chung;
  • \ ( \ widehat { ADC } = \ widehat { BCD } \ ) (do \ ( ABCD \ ) là hình thang cân);
  • \ ( AD = BC \ ) (định lí 1)

\ ( \ Rightarrow \ Delta ACD = \ Delta BDC \ ) ( cạnh – góc – cạnh ) \ ( \ Rightarrow AC = BD \ ) ( Điều phải chứng tỏ ) .Như vậy, trong những bài toán về hình thang cân, ta hoàn toàn có thể sử dụng ngay hai định lí trên để xử lý nhu yếu đưa ra .

3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Trước tiên, ta có định lí sau :

Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Chứng minh :Xét hình thang \ ( ABCD \ ) ( \ ( AB \ ) / / \ ( CD \ ) ). Giả sử \ ( AC = BD \ ) .

Qua \ ( B \ ) kẻ đường thẳng song song với \ ( AC \ ), cắt đường thẳng \ ( CD \ ) tại \ ( E \ ) .Do \ ( AB \ ) / / \ ( CE \ ) nên \ ( ABEC \ ) là hình thang, mà \ ( BE \ ) / / \ ( AC \ ) \ ( \ Rightarrow BE = AC \ )\ ( \ Rightarrow BE = BD \ Rightarrow \ Delta BDE \ ) cân tại \ ( B \ Rightarrow \ widehat { D_1 } = \ widehat { E } \ ) .Mặt khác, do \ ( BE \ ) / / \ ( AC \ ) nên \ ( \ widehat { E } = \ widehat { C_1 } \ ) ( hai góc so le trong ) \ ( \ Rightarrow \ widehat { C_1 } = \ widehat { D_1 } \ ) .Xét \ ( \ Delta ACD \ ) và \ ( \ Delta BDC \ ) có :

  • \ ( AC = BD \ ) (giả thiết);
  • \ ( \ widehat { C_1 } = \ widehat { D_1 } \ );
  • \ ( CD \ ) chung 

\ ( \ Rightarrow \ Delta ACD = \ Delta BDC \ ) ( cạnh – góc – cạnh ) \ ( \ Rightarrow \ widehat { ADC } = \ widehat { BCD } \ ) ( hai góc tương ứng )\ ( \ Rightarrow ABCD \ ) là hình thang cân ( Điều phải chứng tỏ ) .

Tổng quát: Để chứng minh một tứ giác là hình thang cân, ta cần chứng minh:

  • Tứ giác đó là hình thang và có hai góc kề một đáy bằng nhau.
  • Tứ giác đó là hình thang và có hai đường chéo bằng nhau.
Đánh giá bài viết