1. Định lí

Định lí:

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối lập thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy .

GT \ ( \ Delta ABC \ )

\(AD\) là tia phân giác góc \(\widehat{BAC}\) (\(D\in BC\))

KL \ ( \ dfrac { DB } { DC } = \ dfrac { AB } { AC } \ )

Chứng minh định lí :

Qua \ ( B \ ) kẻ đường thẳng song song với \ ( AC \ ) cắt đường thẳng \ ( AD \ ) tại \ ( E \ ) .Ta có : \ ( \ widehat { BAE } = \ widehat { CAE } \ ) ( do \ ( AD \ ) là tia phân giác góc \ ( \ widehat { BAC } \ ) )Mặt khác : Do \ ( BE \ ) / / \ ( AC \ ) \ ( \ Rightarrow \ widehat { BEA } = \ widehat { CAE } \ ) ( hai góc so le trong )Suy ra \ ( \ widehat { BAE } = \ widehat { BEA } \ ) \ ( \ Rightarrow \ Delta BAE \ ) cân tại \ ( B \ )\ ( \ Rightarrow BA = BE \ ) ( 1 )Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét so với tam giác \ ( DAC \ ), ta có : \ ( \ dfrac { DB } { DC } = \ dfrac { BE } { AC } \ ) ( 2 )Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \ ( \ dfrac { DB } { DC } = \ dfrac { AB } { AC } \ ) .

Ví dụ 1: Xét tam giác \(ABC\) có \(AB=3cm\), \(AC=6cm\). Tia phân giác của góc \(A\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). Tính tỉ số \(\dfrac{DB}{DC}\):

Giải :

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có : \ ( \ dfrac { DB } { DC } = \ dfrac { AB } { AC } \ )Lại có : \ ( AB = 3 cm \ ), \ ( AC = 6 cm \ ) \ ( \ Rightarrow \ ) \ ( \ dfrac { AB } { AC } = \ dfrac { 3 } { 6 } = \ dfrac { 1 } { 2 } \ )Suy ra \ ( \ dfrac { DB } { DC } = \ dfrac { 1 } { 2 } \ ) .

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=4,5cm\), \(AC=6cm\). \(AD\) là tia phân giác góc \(A\). Giả sử \(BD=x\left(cm\right)\), \(CD=y\left(cm\right)\). Tính tỉ số \(\dfrac{x}{y}\)?

Giải :

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có : \ ( \ dfrac { DB } { DC } = \ dfrac { AB } { AC } \ )\ ( \ Rightarrow \ dfrac { x } { y } = \ dfrac { 4,5 } { 6 } = \ dfrac { 3 } { 4 } \ ) .Vậy \ ( \ dfrac { x } { y } = \ dfrac { 3 } { 4 } \ ) .

Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=6cm\), \(AC=8cm\), \(BC=10cm\). \(AD\) là tia phân giác góc \(A\). Giả sử \(BD=x\left(cm\right)\), \(CD=y\left(cm\right)\). Tính \(x^2+y^2\)?

Giải :

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có : \ ( \ dfrac { DB } { DC } = \ dfrac { AB } { AC } \ )\ ( \ Rightarrow \ ) \ ( \ dfrac { x } { y } = \ dfrac { 6 } { 8 } = \ dfrac { 3 } { 4 } \ )Khi đó ta có : \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } \ dfrac { x } { y } = \ dfrac { 3 } { 4 } \ \ x + y = 10 \ end { matrix } \ right. \ ) \ ( \ Rightarrow \ ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } x = \ dfrac { 10 } { 3 + 4 }. 3 = \ dfrac { 30 } { 7 } \ \ y = \ dfrac { 10 } { 3 + 4 }. 4 = \ dfrac { 40 } { 7 } \ end { matrix } \ right. \ )

Suy ra \(x^2+y^2=\left(\dfrac{30}{7}\right)^2+\left(\dfrac{40}{7}\right)^2=\dfrac{2500}{49}\).

Ví dụ 4: Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM\). Gọi \(AD\), \(AE\) lần lượt là phân giác góc \(\widehat{AMB}\) và \(\widehat{AMC}\) (\(D\in AB,E\in AC\)). Chứng minh rằng: \(DE\)//\(BC\)?

Giải :

Do \ ( AM \ ) là trung tuyến của \ ( \ Delta ABC \ ) \ ( \ Rightarrow \ ) \ ( M \ ) là trung điểm \ ( BC \ ) \ ( \ Rightarrow BM = CM \ )Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác \ ( AMB \ ) ta có : \ ( \ dfrac { AD } { DB } = \ dfrac { AM } { BM } \ )Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác \ ( AMC \ ) ta có : \ ( \ dfrac { AE } { EC } = \ dfrac { AM } { CM } \ )Do \ ( BM = CM \ ) nên \ ( \ dfrac { AM } { BM } = \ dfrac { AM } { CM } \ ) hay \ ( \ dfrac { AD } { DB } = \ dfrac { AE } { EC } \ ) .Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét so với \ ( \ Delta ABC \ ) ta suy ra \ ( DE \ ) / / \ ( BC \ ) .

Ví dụ 5: Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AB=AC=5cm\), \(BC=8cm\). \(I\) là giao điểm các đường phân giác trong tam giác. Tính \(BI?\)

Giải :

Do \ ( \ Delta ABC \ ) cân tại \ ( A \ ) nên phân giác \ ( AH \ ) đồng thời là đường cao và trung tuyến của tam giác .Suy ra \ ( AH \ perp BC \ ) và \ ( HB = HC = \ dfrac { 1 } { 2 } BC = \ dfrac { 1 } { 2 }. 8 = 4 \ left ( cm \ right ) \ ) .Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \ ( HAB \ ) ta có : \ ( AH ^ 2 + HB ^ 2 = AB ^ 2 \ )\ ( \ Rightarrow AH = \ sqrt { AB ^ 2 – HB ^ 2 } = \ sqrt { 5 ^ 2-4 ^ 2 } = 3 \ ) ( cm )Áp dụng tính chất phân giác trong tam giác \ ( HAB \ ) ta có : \ ( \ dfrac { IA } { IH } = \ dfrac { AB } { BH } \ )\ ( \ Rightarrow \ ) \ ( \ dfrac { IA } { AB } = \ dfrac { IH } { BH } \ )Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :\ ( \ dfrac { IA } { AB } = \ dfrac { IH } { BH } = \ dfrac { IA + IH } { AB + bh } = \ dfrac { AH } { AB + bh } = \ dfrac { 3 } { 5 + 4 } = \ dfrac { 1 } { 3 } \ )\ ( \ Rightarrow \ dfrac { IH } { BH } = \ dfrac { 1 } { 3 } \ Rightarrow IH = \ dfrac { 1 } { 3 }. BH = \ dfrac { 1 } { 3 }. 4 = \ dfrac { 4 } { 3 } \ ) ( cm )Xét \ ( \ Delta BHI \ ) vuông tại \ ( H \ ). Áp dụng định lí Pytago ta có : \ ( Bảo hành ^ 2 + IH ^ 2 = BI ^ 2 \ )\ ( \ Rightarrow BI = \ sqrt { bh ^ 2 + IH ^ 2 } = \ sqrt { 4 ^ 2 + \ left ( \ dfrac { 4 } { 3 } \ right ) ^ 2 } = \ dfrac { 4 \ sqrt { 10 } } { 3 } \ ) ( cm )Vậy \ ( BI = \ dfrac { 4 \ sqrt { 10 } } { 3 } \ left ( cm \ right ) \ ) .

Chú ý: Định lí vẫn đúng đối với tia phân giác của góc ngoài của tam giác.

Ví dụ: Xét tam giác \(ABC\) có \(AD’\) là tia phân giác của góc ngoài góc \(BAC\) (\(D’\in BC\))

Khi đó ta cũng có : \ ( \ dfrac { D’B } { D’C } = \ dfrac { AB } { AC } \ ) .

Ta có thể kẻ \(BE’\)//\(AC\) và chứng minh tương tự như trường hợp tia phân giác trong của tam giác.

Đánh giá bài viết