Vận dụng thành thạo và linh động những công thức về số tổ hợp là một kĩ năng cơ bản. Bài viết này mình san sẻ với những bạn kinh nghiệm tay nghề dạy và học về Số tổ hợp, và cách vận dụng linh động những công thức Số tổ hợp trải qua một bài toán đơn thuần .
Mặc dù có rất ít công thức về Số tổ hợp, nhưng những công thức của nó lại không dễ nhớ với học viên và hay nhầm lẫn. Học sinh khó nhớ và hay nhầm lẫn ở 3 chỗ : Một là khó nhớ công thức, vì những công thức của số tổ hợp, cũng như chỉnh hợp được thường được trình làng trong sách giáo khoa ở dạng màn biểu diễn theo giai thừa với biểu thức “ cồng kềnh ”. Hai là, hay nhầm lẫn giữa công thức của số chỉnh hợp và tổ hợp. Ba là, hay quên điều kiện kèm theo có nghĩa của những công thức .

1. Ghi nhớ công thức số tổ hợp

Để giúp cho học viên dễ nhớ những công thức, cách mình thường làm là nhu yếu học viên phát biểu công thức dưới dạng lời ( ý nghĩa ). Ví dụ, với 2 công thức

C^k_n = C^{n-k}_n

C^k_n + C^{k+1}_n = C^{k+1}_{n+1}

Mình khai thác tối đa tính trực quan của Tam giác Pascal
Từ tam giác giác Pascal hướng dẫn học viên phát biểu 2 công thức trên bằng lời :

  • – Hai số tổ hợp cách đều hai đầu thì bằng nhau, rồi nói “gọn” lại là: Tính chất cách đều
  • – Tổng hai số tổ hợp liên tiếp cùng hàng bằng số tổ hợp hàng dưới cùng cột.

Sau đó, cho học viên vận dụng và ghi những công thức với 1 số ít trường hợp thường gặp. Ví dụ :

C^0_n=C^n_n = 1

C^1_n = C^{n-1}_n = n

C^2_n = C^{n-2}_n = \frac{n(n-1)}{2}

C^{n-k}_n=C^k_n

C^{k+1}_{n+1}=C^k_n + C^{k+1}_n

2. Vận dụng công thức

Ví dụ sau đây minh họa cách vận dụng 2 công thức trên vào một bài toán trong đề thi thử Đại học năm 2013 của trường trung học phổ thông Chuyên Lý Tự trọng – Cần Thơ. Đề bài như sau :

Câu VII.a (1,0 điểm). Cho số tự nhiên n thỏa mãn C^{n-1}_n + C^{n-2}_n = 36 (C^k_n là số tổ hợp chập k của ). Tìm hệ số của x^8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức f(x)=(1+2x^2-x^3)^n.

Để giải được bài toán trên, học viên cần giải phương trình sau để tìm :

Lúc này, sẽ có nhiều lời giải khác nhau cho phương trình trên bởi những học viên khác nhau. Sự khác nhau là do kiến thức và kỹ năng và kĩ năng vận dụng. Chẳng hạn, với những học viên nhớ được và biết vận dụng công thức số tổ hợp dưới dạng giai thừa thì sẽ trình diễn giải thuật như đáp án :

Giải:

* Xét phương trình C^{n-1}_n + C^{n-2}_n = 36\ (1). Điều kiện: 2\le n \in \mathbb{N}

* Khi đó

(1) \Leftrightarrow C^{n-1}_{n+1} = 36 \Leftrightarrow \frac{(n+1)!}{2(n-1)!}=36

\Leftrightarrow \frac{(n+1).n}{2} = 36 \Leftrightarrow n^2+n-72=0

\Leftrightarrow n = 8\ (tm) \vee n = -9\ (ktm)

Nhưng với học viên khác thì hoàn toàn có thể trình diễn như sau :

Giải

* Xét phương trình. Điều kiện :
* Khi đó

(1) \Leftrightarrow C^{n-1}_{n+1} = 36 \Leftrightarrow C^2_{n+1} = 36

\Leftrightarrow \frac{(n+1).n}{2} = 36 \Leftrightarrow n^2+n-72 = 0

Có gì khác nhau giữa hai lời giải

Bạn có thể nhận thấy ngay, sự khác nhau giữa hai lời giải là ở cách tính số C^{n-1}_{n+1}. Ở lời giải thứ nhất, học sinh đã áp dụng công thức tính số tổ hợp theo giai thừa:

C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}

cho số, rồi vận dụng những tính chất của giai thừa để rút gọn. Còn ở giải thuật thứ hai, học viên đã quy về số tổ hợp có chập bé hơn, nhờ công thức ( Tính chất cách đều ) :

sau đó, vì chỉ số trên ( chập ) bằng 2 nên hoàn toàn có thể vận dụng công thức ( Tích hai số liên tục chia hai ) :

C^2_n = \frac{n(n-1)}{2}

3. Toán học và tư duy

Nếu bạn là học viên thì hoàn toàn có thể bạn sẽ cho rằng, giải thế nào trả được, miễn là ra đáp số và hơn nữa hai giải thuật trên cũng không độc lạ mấy. Không có giải thuật nào tiêu biểu vượt trội hơn giải thuật kia. Nhưng nếu bạn là giáo viên và có ý thức rèn tư duy cho học viên thì bạn sẽ thấy rằng, cần tận dụng thời cơ này để hướng học viên của mình giải theo cách thứ hai. Tại sao ? Vì việc vận dụng công thức

không chỉ đơn thuần là để giải bài toán mà nó còn chứa đựng một lối suy nghĩ: “quy vấn đề phức tạp về vấn đề đơn giản hơn“.

Trong thực tế cũng như khoa học, thói quen suy nghĩ “quy vấn đề phức tạp về vấn đề đơn giản hơn” để giải quyết là rất cần thiết và quan trọng. Thói quen suy nghĩ đó không chỉ giúp tiết kiệm “sức lực, tài lực, thời gian” trong công việc mà còn là “định hướng” cho việc tìm kiếm giải pháp cho vấn đề. Thói quen đó sẽ trở nên sắc bén nếu được rèn luyện thường xuyên với sự hướng dẫn có chủ ý của giáo viên.


Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.Mời bạn đón đọc những bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpageđể nhận được thông tin khi có update mới .

Đánh giá bài viết