Tìm gtln và gtnn của hàm số
Cho hàm số ( y = f ( x ) ) xác lập trên tập D .

( left { begin { matrix } f ( x ) leq M \ exists x_0, f ( x_0 ) = M end { matrix } right. ) .

  • m được gọi là GTNN của ( f ( x ) ) trên D nếu :

( left { begin { matrix } mleq f ( x ), forall xin D \ forall x_0in D, f ( x_0 ) = m end { matrix } right. ) .

a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số ( y = f ( x ) ) xác lập trên tập hợp D, ta thực thi khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi địa thế căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra Tóm lại về GTLN và GTNN của hàm số .

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số ( f ( x ) ) liên tục trên một đoạn ( [ a ; b ]. )

  • Tìm những điểm ( x_iin ( a ; b ) ) ( i = 1, 2 ,. .., n ) mà tại đó ( f ‘ ( x_i ) = 0 ) hoặc ( f ‘ ( x_i ) ) không xác lập .
  • Tính ( f ( x ), f ( b ), f ( x_i ) ) ( i = 1, 2 ,. .., n ) .
  • Khi đó : ( mathop { max } limits_ { left [ { a ; b } right ] } fleft ( x right ) = max left { { fleft ( a right ) ; fleft ( b right ) ; fleft ( { { x_i } } right ) } right } )

( mathop { min } limits_ { left [ { a ; b } right ] } fleft ( x right ) = min left { { fleft ( a right ) ; fleft ( b right ) ; fleft ( { { x_i } } right ) } right } )
Tìm GTLN-GTNN của những hàm số sau :
a ) Hàm số ( y = x ^ 3-3 x ^ 2-9 x + 5 ) .
b ) Hàm số ( y = frac { x ^ 2 + 2 x + 3 } { x-1 }, xin ( 1 ; 3 ]. )

Lời giải:

a ) Hàm số ( y = x ^ 3-3 x ^ 2-9 x + 5 ) .
TXĐ : ( D = mathbb { R }. )
( y ’ = 3 x ^ 2-6 x – 9. )
Tham khảo : Cách nối dây điện bị đứt Đúng cách ( Siêu Chuẩn ) { Cực An Toàn }
( y ’ = 0 Leftrightarrow 3 { x ^ 2 } – 6 x – 9 = 0 )
( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x = – 1 \ x = 3 end { array } right. )
Bảng biến thiên :

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất .
b ) Xét hàm số ( y = frac { x ^ 2 + 2 x + 3 } { x-1 } ) xác lập trên ( ( 1 ; 3 ]. )
​ ( y ’ = frac { x ^ 2-2 x – 5 } { ( x + 1 ) ^ 2 } )
( y ’ = 0 Rightarrow { x ^ 2 } – 2 x – 5 = 0 )

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 1 + sqrt 6 notin left( {1;3} right]\ x = 1 – sqrt 6 notin left( {1;3} right] end{array} right.)

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất ( mathop { Min } limits_ { x in ( 1 ; 3 ] } y = 9 ), hàm số không có giá trị lớn nhất .
Tìm GTLN – GTNN của những hàm số sau :
a ) Hàm số ( y = fleft ( x right ) = – frac { 1 } { 3 } { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 2 x + 1 ) trên đoạn ( left [ { – 1 ; 0 } right ] ) .
b ) Hàm số ( y = fleft ( x right ) = frac { { 2 x + 1 } } { { x – 2 } } ) trên đoạn ( left [ { – frac { 1 } { 2 } ; 1 } right ] ) .
c ) Hàm số ( y = fleft ( x right ) = { sin ^ 2 } x – 2 cos x + 2 ) .

Lời giải:

a ) Hàm số ( y = fleft ( x right ) = – frac { 1 } { 3 } { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 2 x + 1 ) xác lập trên đoạn ( left [ { – 1 ; 0 } right ] ) .
( { f ^ / } left ( x right ) = – { x ^ 2 } + 2 x – 2 )
Tham khảo : Kiến thức nhạc giúp học bài nhanh thuộc | Bán Máy Nước Nóng
( { f ^ / } left ( x right ) = 0 Leftrightarrow – { x ^ 2 } + 2 x – 2 = 0 )
Ta có : ( fleft ( { – 1 } right ) = frac { { 11 } } { 3 } ; fleft ( 0 right ) = 1 ) .
Vậy : ( mathop { max fleft ( x right ) } limits_ { left [ { – 1 ; 0 } right ] } = frac { { 11 } } { 3 } ) ; ( mathop { min fleft ( x right ) } limits_ { left [ { – 1 ; 0 } right ] } = 1 )
b ) Hàm số ( y = fleft ( x right ) = frac { { 2 x + 1 } } { { x – 2 } } ) xác lập trên đoạn ( left [ { – frac { 1 } { 2 } ; 1 } right ] )
( { f ^ / } left ( x right ) = – frac { 5 } { { { { left ( { x – 2 } right ) } ^ 2 } } } < 0, forall x inleft [ - frac { 1 } { 2 } ; 1 right ] ) Ta có : ( fleft ( { – frac { 1 } { 2 } } right ) = 0 ; fleft ( 1 right ) = – 3 ) Vậy : ( mathop { max fleft ( x right ) } limits_ { left [ { – frac { 1 } { 2 } ; 1 } right ] } = 0 ) ; ( mathop { min fleft ( x right ) } limits_ { left [ { – frac { 1 } { 2 } ; 1 } right ] } = – 3 ) c ) Hàm số ( y = fleft ( x right ) = { sin ^ 2 } x – 2 cos x + 2 ) . TXĐ : ( D = mathbb { R } ) Ta có : ( fleft ( x right ) = { sin ^ 2 } x – 2 cos x + 2 ) ( = – { cos ^ 2 } x – 2 cos x + 3 ) Đặt : ( t = { cos ^ 2 } x ) suy ra ( t in left [ { – 1 ; 1 } right ] ; forall x in mathbb { R } ) . Xét hàm số : ( gleft ( t right ) = – { t ^ 2 } – 2 t + 3 ) trên đoạn ( [ - 1 ; 1 ] ) . Ta có : ( { g ^ / } left ( t right ) = – 2 t – 2 ) ( { g ^ / } left ( t right ) = 0 Leftrightarrow t = – 1 )

Tính: (gleft( { – 1} right) = 4;gleft( 1 right) = 0).

Vậy : ( max f ( x ) = mathop { max } limits_ { { rm { [ } } – 1 ; 1 ] } g ( t ) = 4 ) ;
( min f ( x ) = mathop { min } limits_ { { rm { [ } } – 1 ; 1 ] } g ( t ) = 0 ) .
Tham khảo : Kiến thức Tổng hợp : Lý thuyết về Peptit và Protein không thiếu nhất

Đánh giá bài viết