Có khá nhiều em học sinh gặp vấn đề sử dụng phương pháp tích phân từng phần vào giải bài tập. Có thể không nhớ chính xác lý thuyết, không biết cách áp dụng, …. Thấy được tầm quan trọng của phương pháp này nên hôm nay mathsilo đã biên soan chi tiết từ công thức căn bản cần nhớ tới cách nhận dạng bài tập để ghép công thức.

Một điểm đặc biệt quan trọng là phần cuối có bài tập kèm lời giải, nó sẽ giúp em nhớ công thức tốt hơn, biết cách nhận dạng bài tập cũng như sử dụng thành thạo công thức khi làm. Bắt đầu nhé

1. Tích phân từng phần

Công thức tổng quát cần nhớ :

công thức tính tích phân từng phần

2. Các dạng bài tập tích phân từng phần

Phương pháp tính tích phân từng phần chia làm 4 dạng quan trong cần nhớ như sau :

Dạng 1: Hàm số lượng giác và đa thức trong dấu tích phân

Giả sử trong dấu tích phân có dạng USD \ int \ limits_m ^ n { f \ left ( x \ right ) \ sin \ left ( { ax + b } \ right ) dx } USD hoặc USD \ int \ limits_m ^ n { f \ left ( x \ right ) \ cos \ left ( { ax + b } \ right ) dx } USD ( trong đó f ( x ) là hàm số đa thức )

Hướng dẫn

Bước 1: Trước tiên ta đặt

công thức tính tích phân từng phần

hoặc

công thức tính tích phân từng phần

Bước 2: Kế tiếp, dựa vào phương pháp đặt trên ta khai triển dấu tích phân thành

công thức tính tích phân từng phần

hoặc

công thức tính tích phân từng phần

Dạng 2: Hàm số lượng giác và hàm số mũ trong dấu tích phân

Giả sử ta cần tính tích phân có biểu thức dạng

công thức tích phân từng phần

hoặc

công thức tích phân từng phần

Hướng dẫn

– Bước 1 : Để làm được dạng toán này, ta cần đặt như sau

công thức tích phân từng phần

hoặc

công thức tích phân từng phần

Bước 2: Sau đó ta phân tích chúng thành

công thức tích phân từng phần

Lưu ý: Khi biến đổi, bạn cần nhớ như sau

– Với dạng toán này thì ta cần tính tích phân từng phần những 2 lần thay vi 1 lần như những dạng khác .
– Ở bước 1, ta cũng hoàn toàn có thể đặt

công thức tích phân từng phần

hoặc

công thức tích phân từng phần

Dạng 3: Hàm số mũ trong dấu tích phân

Xét một tích phân có chứa hàm mũ USD \ int \ limits_m ^ n { f \ left ( x \ right ) { e ^ { ax + b } } dx } { \ rm { } } USD ( trong đó f ( x ) là hàm số đa thức )

Hướng dẫn

Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

công thức tính tích phân từng phần

Bước 2: Dựa vào cách đặt này, ta sẽ biến đổi biểu thức tích phân ở trên như sau

công thức tính tích phân từng phần

Dạng 4: Hàm số logarit trong dấu tích phân

Xét một tích phân có chứa hàm logarit :

công thức tính tích phân từng phần( Trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Hướng dẫn

Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

công thức tính tích phân từng phần

Bước 2: Dựa vào cách đặt ở trên, ta tiến hành khai triển biểu thích có chứa dấu tích phân trên thành

công thức tính tích phân từng phần

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Một hàm số f(x) cho trướng, thỏa mãn

Tính USD I = \ int \ limits_0 ^ 1 { f \ left ( x \ right ) dx } USD
Lời giải

Bài tập 2: Hãy tính tích phần hàm logarit trong dấu $\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^3}}}dx} $

Lời giải
Ta đặt u = lnx
=> Ta lấy đạo hàm USD du = \ frac { { dx } } { x } USD
Tiếp tục đặt USD dv = \ int \ limits_1 ^ 2 { \ frac { { dx } } { { { x ^ 3 } } } } USD
=> Đây là tích phân cơ bản, ta dễ tính được v như sau : USD v = – \ frac { 1 } { { 2 { x ^ 2 } } } USD
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có :

cách giải tích phân từng phần

Bài tập 3: Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ 0; 2] và nó luôn thỏa mãn điều kiện

cách giải tích phân từng phần

Hãy tính $ J = \ int \ limits_1 ^ 2 { \ frac { { f \ left ( x \ right ) dx } } { { { x ^ 2 } } } } USD
Lời giải

cách giải tích phân từng phần

Bài tập 4: Tính các tích phân sau:
a. $\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^5}}}dx} .$
b. $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx} .$
c. $\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} .$
d. $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} .$

a. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = \frac{1}{{{x^5}}}dx
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = – \frac{1}{{4{x^4}}}
\end{array} \right.$
Do đó: $\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^5}}}dx} $ $ = \left. { – \frac{{\ln x}}{{4{x^4}}}} \right|_1^2 + \frac{1}{4}\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{{x^5}}}} $ $ = – \frac{{\ln 2}}{{64}} + \left. {\frac{1}{4}\left( { – \frac{1}{{4{x^4}}}} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{{15 – 4\ln 2}}{{256}}.$
b. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = \sin x
\end{array} \right.$
Do đó: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx} $ $ = \left( {x\sin x} \right)\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} $ $ = \frac{\pi }{2} + \cos x\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. = \frac{\pi }{2} – 1.$
c. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.$
Do đó: $\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} $ $ = x{e^x}\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. – \int\limits_0^1 {{e^x}dx} $ $ = e – {e^x}\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right.$ $ = e – \left( {e – 1} \right) = 1.$
d. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^x}\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = {e^x}dx\\
v = \sin x
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $ $ = {e^x}\sin x\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} .$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = {e^x}\\
d{v_1} = \sin xdx
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d{u_1} = {e^x}dx\\
{v_1} = – \cos x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $ $ = {e^{\frac{\pi }{2}}} + {e^x}\cos x\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $
$ \Leftrightarrow 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $ $ = {e^{\frac{\pi }{2}}} – 1$ $ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = \frac{{{e^{\frac{\pi }{2}}} – 1}}{2}.$

Bài tập 5: Tính các tích phân sau:
a. $I = \int\limits_1^3 {\frac{{3 + \ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} .$
b. $J = \int\limits_{ – 1}^0 {(2{x^2} + x + 1)\ln (x + 2)dx} .$

a. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 3 + \ln x\\
dv = \frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \frac{{ – 1}}{{x + 1}}
\end{array} \right.$
$I = – \left. {\frac{{3 + \ln x}}{{x + 1}}{\rm{ }}} \right|_1^3 + \int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{x(x + 1)}}} $ $ = – \frac{{3 + \ln 3}}{4} + \frac{3}{2} + \left. {\ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|} \right|_1^3$ $ = \frac{{3 – \ln 3}}{4} + \ln \frac{3}{2}.$
b. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln (x + 2)\\
dv = (2{x^2} + x + 1)dx
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{{x + 2}}dx\\
v = \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + x
\end{array} \right.$
$J = (\frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + x)\ln (x + 2)\left| {_{ – 1}^0} \right.$ $ – \frac{1}{6}\int\limits_{ – 1}^0 {\frac{{4{x^3} + 3{x^2} + 6x}}{{x + 2}}dx} $
$ = – \frac{1}{6}\int\limits_{ – 1}^0 {(4{x^2} – 5x + 16 – \frac{{32}}{{x + 2}})dx} $ $ = – \frac{1}{6}\left. {\left[ {\frac{4}{3}{x^3} – \frac{5}{2}{x^2} + 16x – 32\ln (x + 2)} \right]} \right|_{ – 1}^0$
$ = \frac{{16}}{3}\ln 2 – \frac{{119}}{{36}}.$

Bài tập 6: Tính tích phân sau: $I = \int\limits_0^{e – 1} {x\ln (x + 1)dx} .$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln (x + 1)\\
dv = xdx
\end{array} \right.$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\
v = \frac{{{x^2} – 1}}{2}
\end{array} \right.$
Suy ra: $I = \int\limits_0^{e – 1} {x\ln (x + 1)dx} $ $ = \left. {\left[ {\ln (x + 1)\frac{{{x^2} – 1}}{2}} \right]} \right|_0^{e – 1}$ $ – \frac{1}{2}\int\limits_0^{e – 1} {(x – 1)dx} $ $ = \frac{{{e^2} – 2e}}{2} – \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\left| {_0^{e – 1}} \right.$ $ = \frac{{{e^2} – 3}}{4}.$
Chú ý: Trong ví dụ này, ta chọn $v = \frac{{{x^2} – 1}}{2}$ thay vì $v = \frac{{{x^2}}}{2}$ để việc tính tích phân $\int\limits_0^{e – 1} {vdu} $ dễ dàng hơn, như vậy bạn đọc có thể chọn $v$ một cách khéo léo để lời giải được ngắn gọn.

Bài tập 7. Tính $K = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos 2x{\rm{d}}x} $

Giải
Đặt USD \ left \ { \ begin { array } { l } u = \ cos 2 x \ \ dv = { e ^ x } dx \ end { array } \ right. \ Rightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } du = – 2 \ sin 2 xdx \ \ v = { e ^ x } \ end { array } \ right. USD
Suy ra USD K = \ left ( { { e ^ x } \ cos 2 x } \ right ) \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { ^ \ pi } \ \ { _0 } \ end { array } } \ right. + 2 \ int \ limits_0 ^ \ pi { { e ^ x } \ sin 2 xdx } = { e ^ \ pi } – 1 + 2M USD
Tính USD M = \ int \ limits_0 ^ \ pi { { e ^ x } \ sin 2 xdx } USD

Ta đặt $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sin 2x\\d{v_1} = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2\cos 2x\\{v_1} = {e^x}\end{array} \right.$

Suy ra USD M = \ left ( { { e ^ x } \ sin 2 x } \ right ) \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { ^ \ pi } \ \ { _0 } \ end { array } } \ right. – 2 \ int \ limits_0 ^ \ pi { { e ^ x } \ cos 2 x } = – 2K USD
Khi đó USD K = { e ^ \ pi } – 1 + 2 \ left ( { – 2K } \ right ) \ Leftrightarrow 5K = { e ^ \ pi } – 1 \ Leftrightarrow K = \ frac { { { e ^ \ pi } – 1 } } { 5 } USD
Bài viết san sẻ những kiến thức và kỹ năng quan trong tương quan tới chiêu thức tích phân từng phần. Hy vọng bài viết này giúp ích được cho bạn hiểu hơn về tích phân cũng như biết cách vận dụng vào giải toán .

Đánh giá bài viết