Tích phânTích phânTích phân

Tích phânTích phânTích phân
Tích phânTích phânTích phân

Tích phânTích phânTích phân

Tích phân
Tích phân –
Kí hiệu T là hình thang vuông số lượng giới hạn bởi đường thẳng y = 2 x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t ( 1 < = x < = 5 ) ( H45 ). 102 } } } } ] ] | 45 } / ình 46 3. Chứng minh rằng S ( ) là một nguyên hàm của f ( t ) = 2 + 1. T = [ ] : 5 ] và diện tích quy hoạnh ቆ = S ( 5 ) – S ( 1 ). Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [ a : b ]. Hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( \ ), trục hoành và hai đường thẳng \ = a. \ = b được gọi là hình thang cong ( H. 47 a ). O lớp dưới, ta đã biết cách tính diện tích quy hoạnh hình chữ nhật, hình tam giác. Bây giờ, ta xét bài toán tính diện tích quy hoạnh hình phẳng D số lượng giới hạn bởi một đường cong kín bất kỳ ( H. 47 b ). b ) H 47 Bằng cách kẻ những đường thẳng song song với những trục toạ độ, ta chia D thành những hình nhỏ là những hình thang cong ( H. 47 a ). Bài toán trên được đưa về tính diện tích quy hoạnh của hình thang cong. Ví dụ 1. Tính diện tích quy hoạnh hình thang cong số lượng giới hạn bởi đường cong y = vo, trục hoành và những đường thẳng x = 0. \ = 1. Giải. Với mỗi x = [ 0 : 1 ] gọi S ( \ ) là diện tích quy hoạnh của phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục OA tại điểm có hoaro J và Y ( H. 48 ), Ο v v + h | H 48 H 49 Ta chứng tỏ S ' ( x ) = x, ye 0 : 1 ). Thật vậy, với h > 0, \ + h < 1, kí hiệu SMNPọ và SMNEP lần lượt là diện tích quy hoạnh những hình chữ nhật MNPQ và MNEF ( H. 49 ), ta có SMNPQ s S ( A + h ) - S ( X ) is SNEPha - S ( A + h ) - S ( A :) < h ( x + Os S ( x + 1 ) - S ( Α ) h Với h < 0. \ + h > 0, thống kê giám sát tựa như, ta được s S ( x + 1 ) – δ ( λ ) 2 hAos 2 xh + ho. 2A l + H. ” A 30. Tóm lại với mọi h z 0, ta có S ( x + h ) – δ ( v ) hx * | < 2 x | h | + h °. Suy raS ( A + h ) - S ( x ) A. A e ( 0 : 1 ). S ' ( x ) = lim -- 0 Ta cũng chứng tỏ được S ' ' ( 0 ) = 0, S ' ' ( 1 ) = 1. Do đó, S ( \ ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A ” trên doan [ 0 ; 1 ]. 103 3.3. cũng là một nguyên hàm của f ( \ } = \ " nênMặt khác trên đoạn đó, F ( \ ) = 3. S ( A ) = + C, C e R.Từ giả thiết S ( 0 ) = 0. Suy ra C = 0. VậyS ( x ) = - ( x ) 3. ܬ ܬܐ ܦ. ܦ. Thay \ = 1 vào đắng thức trên, ta có diện tích quy hoạnh của hình cần tìm là S { 1 } = s Bây giờ, ta xét bài toán tìm diện tích quy hoạnh hình thang cong bất kỳ. Cho hình thang cong số lượng giới hạn bởi những đường thẳng x = a \ = b ( a < b ), trục hoành và dường cong y = f ( \ }, trong đó f { A ) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn 14 : b | - y Với mỗi \ = [ a : b ], kí hiệu USD ( A ) là diện tích quy hoạnh của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với OY lần lượt tại a và Y ( H. 50 ). Ta cũng chứng tỏ được S { \ ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên đoạn [ a : b ]. Giả sử F ( x ) cũng là một nguyên hàm của [ [ A ) thì Có một hằng số C sao cho S { \ } = F ( x ) + C.HSC ) Vì ś ( a ) = 0 nên F ( a ) + C = 0 hay C = – F ( a ). Vay S ( Α ) = F ( Α ) F ( α ). Thay \ = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích quy hoạnh của hình thang cẩn tìm làS ( b ) = F ( b ) F ( a ). 2. Định nghĩa tích phân2Giả sử f ( \ ) là hàm số liên tục trên đoạn la : 51, F ( x ) và G { \ ) là hai nguyên hàm của f ( \ ). Chứng minh rằng F ( b ) = F { a } = G ( b ) = G ( a ), ( tức là hiệu số F { b } = F ( a ) không nhờ vào Việc chọn nguyên hàm ). 104 Cho f ( \ ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a : b ]. Giả sử F ( \ ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên đoạn [ a : b ]. Hiệu số F ( b ) = F ( a ) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác lập trên đoạn [ a : b ] ) của hàm số f ( x ), kí hiệu làh | f ( x ) dx. Ta còn dùng kí hiệu F ( x ). để chỉ hiệu số F ( b ) – F ( a ). b b | f ( a ) dy - F ( x ) = F ( b ) = F ( a ). t Ta gọi là dấu tích phản, a là cận dưới, b là cận trên, f ( \ ) d \ là biểu thức dưới dấu tích phân và f ( x ) là hàm số dưới dấu tích phản. CHÚ Ý : Trong trường hợp a = b hoặc a > b ), ta quy ước [ f ( x ) dx = 0 ; [ f ( x ) dx = – f ( x ) dx. Ví dụ 2 – 2 12 de-A = 2 – 1 = 4 – 1 = 3 ; 2 ) I di = Intl = line in i = 1 0 = 1. NHÂN XÉTb a ) Tích phân của hàm sốftừ a đến b hoàn toàn có thể kí hiệu bởi | f ( x ) dxh hay f ( t ) dt. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào vàof và những cận a, b mà không nhờ vào vào biến số Y hay f. 105 b ) Ý nghĩa hình học của tích phản. Nếu hàm số f ( x ) liên tục và không âm trên đoạn [ a : b ], thì tích phân sf ( \ ) d \ là diện tích’S ’ của hình thang cong số lượng giới hạn bởi đồ thị của f ( \ ), trục OA và hai đường thẳng Y = a. \ = b ( H47a ). Vậyb S = | f ( x ) dx. II – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂNTÍNH CHẤT 1 h skif ( a ) dy = k sf ( x ) dx ( k là hằng số ). ( ITÍNH CHẤT 2 h h f ( x ) 土g ( x ) | dx = | f ( x ) dx 士 g ( x ) dy. t3 Hãy chứng tỏ những đặc thù 1 và 2. 4. ༡ Ví dụ 3. Tính sexo + 3N a ) dx. Giải. Ta có4. 4. 4 so : 3VA ) dx = od = 3 di 3. 34 4 3 — 부-22-1 ) – 35 3 | | 3 | | 3.106 TÍNH CHẤT 3 ( a < c < b ). Chứng minh. Giả sử F ( \ ) là một nguyên hàm của f { \ ) trên đoạn [ a : b ]. Khi đó, F ( \ ) cũng là một nguyên hàm của f ( \ ) trên mỗi đoạn [ a : c ] và [ c : b ]. Do đó, ta cóf ( a ) dy + f ( a ) dy = ( F ( c ) = F ( a ) + ( F ( b ) - F ( e ) t = F ( b ) - F ( a ) = | f ( x ) dx. 2 エ Ví dụ 4. Tính Î VI - cos2 \ de. ( ) Giải. Ta có 2 て 2 π. 2 冗 vi — cos 2 x dx = V2 sino x dv = v / 2 jlsin xildi. O O Osin \, nếu 0 < \ < ItVì sin_ \ | = — sin \, nếu ft * \ < 27 tnên2冗 2. s N1 — cos 2 xdx = s Isin xld x + finalar O OO1. jin al - N21 - cos x ) | ( coso = 4-2. 107 III - PHƯỞNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN1. Phương pháp đối biến số 4. Cho tích phân 1 = f2. 1 y dv. 1. Tính I bằng cách khai triển ( 2. x + 1 ) ”. 2. Đặt u = 2 \ + 1. Biến đổi biểu thức ( 2. x + 1 ) * de thành g ( t ) du. 3. Tính f g { u } du và So sánh hiệu quả với 1 trong câu 1. Tương tự giải pháp đổi biến số trong việc tính nguyên hàm, ta có định lí Sau đây. ĐINH LÍ Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ ø, b ]. Giả sử hàm số Y = ( 2 ( f ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ CZ ; / ? ] ʻ " sao cho ( 2 ( O ) = a, ( 2 ( 6 ) = b và a < ( 2 ( f ) < b với mọi t = [ CZ ; / ớ ]. Khi đó s f ( x ) di = f ( p ( r ) a ' ( t ) dt. C ) Ví dụ 5. Tính f is dy. l + \ Giải. Đặt \ = tan I, - Ε - Ι - Ε. Tacό A ' ( t ) = 2 2 COSKhi \ = 0, thì f = 0, khi \ = 1 thì f = Các giả thiết của định lí trên được thoả mãn. Do đó t 4. 4. I 1 dit TI 丘 — 、 dx = 丘 — * 4.2 1 + x 1 + tan - t cos " t ( * ). Nếu / ) 2, ta xét đoạn 1/3 : { 2 }, 108CH Ú Ý : Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau : Cho hàm số fix ) liên tục trên đoạn ta ; b ). Để tính Îf ( x ) dy, nhiều lúc ta chọn hàm số u = u ( \ ) làm biến số mới, to đó trên đoạn [ a : b ], [ { { \ ) có đạo hàm liên tục và u ( \ ) = { { Z ; / ? ]. Giả sử hoàn toàn có thể viếtf ( x ) = g ( u0A ) u ' ( x ), ea ; b ), với g ( u ) liên tục trên đoạn [ và : / ? ]. Khi đó, ta có u ( b ) h | f ( x ) dx - s g ( u ) du. ( a ) Ví dụ 6. Tính ssinox cos xdx. O Giải. Đặt u = sin \. Ta có u ’ ’ = cos \. Khi x = 0 thì u ( 0 ) = 0, khi x = # th ( ) - 1. Vậy | 1 O 3 ssinox cos x dx jirfdu - l O O 3. Ví dụ 7. Tính | — — d \ 版 - ) Giải. Đặt u = 1 + x ”, ta có u ’ ’ = 2 \, u ( 0 ) = 1, u ( 1 ) = 2 nên - 片屿 - ( 1 - 22. Phương pháp tính tích phân từng phần 5 a ). Hãy tính frt 1 ) e ^ de bằng chiêu thức tính nguyên hàm từng phần. b ) Từ đó tính Î \ + DeodoTương tự giải pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây ĐINH LíNếu u = u ( \ ) và \ = \ ( \ ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a : b ] thìB5 h u ( x ) y ( x ) dx ( u ( v ) v ( x ) ) | a u ' ( x ) y ( x ) dx h h h hay Judy in svdu. t 2. Ví dụ 8. Tính f A sin Adix. O Giải. Đặt u = \ và dv = sin \ d \, ta có du = d \ và V = - cos \. Do đó Tt TE TE 2. 2. sv sinxdx = ( - x cos x ) 0 | cos vdv O O л 2 = ( — A cos x ) ot ( sin x ) 0. O + 1 = 1. Ví dụ 9. Tính 円 、 ; x " 11 ( ) Giải. Đặt u = ln \ và dv = پلdx, ta có du = li de và \ o = - 부 Do đóIn A e Ye * ( - էn. ) -- 片 * inBAN CÔ B IÊ TNIU-TON ( INEWTON ) Niu-tơn là nhà toán học, vật lí học, cơ học và thiên văn học Vĩ đại người Anh. Sinh ra thiếu tháng, Niu-tơn là một đứa trẻ yếu ớt. Lớn lên Niu-tơn cũng không phải là một cậu bé khoẻ mạnh. Cậu thường phải tránh những game show hiếu động của đám bạn hữu Cùng lứa tuổi. Thay vào đó, cậu tự sáng tạo ra những game show cho riêng mình, qua đó cũng thấy được năng lực thực nghiệm của Niu-tơn sớm được thể hiện. Khi thì cậu làm ra những đồ chơi Cơ học, như chiếc đồng hồ đeo tay bằng gỗ chạy được, khi thì cậu sáng tạo ra chiếc cối xay gió, bên trong để một con chuột đóng vai trò người thợ xay. Có lần vào ban 1. Newton đêm Niu-tơn đã thả chiếc diều mang đèn lồng Chiếu sáng, ( 1643 - 1727 ) khiến cho dân làng hoảng sợ. Và ngay từ lúc nhỏ, Niu-tơn đã rất chịu khó đọc sách và ghi chép cẩn trọng những điều lí thú mà cậu đọc được trong sách. Năm 1661, 18 tuổi, Niu-tơn vào học tại trường Đại học Cam-brit ( Cambridge ). Từ đó Niu-tơn thực sự chăm sóc đến khoa học. Thầy dạy toán của Niu-tơn thừa nhận Cậu sinh viên Xuất sắc đã vượt mình và năm 1669 ông nhường chức vụ giáo sư cho người học trò lỗi lạc ấy, Niu-tơn giữ chức này cho đến năm 1701. Cống hiến lớn lao của Niu-tơn so với toán học là đồng thời và độc lập với Lai-bơ-nit ( G. Leibniz ), ông đã sáng lập ra phép tính vi phân và tích phân. Ngay từ những năm 1665 – 1666, lúc 22, 23 tuổi, Niu-tơn đã kiến thiết xây dựng cơ sở của phép tính này mà Ông gọi là " giải pháp thông lượng ", và ông đã vận dụng chiêu thức đó để giải những bài toán về Cơ học. Niu-tơn và Lai-bơ-nit đều phát hiện ra mối liên hệ thâm thúy giữa tích phân và nguyên hàm. Lịch sử Toán học cho thấy khái niệm tích phân đã Open độc lập111 với đạo hàm và nguyên hàm. Do đó, việc thiết lập mối liên hệ giữa tích phân với nguyên hàm là một ý tưởng của Niu-tơn và Lai-bơ-nit. Niu-tơn đã có những ý tưởng cơ bản về dãy vô hạn. Đặc biệt. Ông lan rộng ra định lí, nay gọi là " định lí nhị thức Niu-tơn " cho trường hợp số mũ là một số thực tuỳ ý. Niu-tơn còn có những góp sức lớn lao trong những nghành Đại số, Hình học, Cơ học và Vật lí. Ông đã ý tưởng ra định luật vĩ đại về vạn vật mê hoặc. Bời tộp1. Tính những tích phân sau : t 2. --. In a ) s V ( 1 - odv : b ) jsin di 4. l O 2 2 c ) Jody ; d ) fra + Dody : A ( x + 1 ) O 2. t | - 3 x 2. e ) d : g ) | sin 3. A cos 5.xdx. if ( x + 1 ) * 2.2 Tính những tích phân sau : 2 2 a ) İı — x dx ; b ) sinada : O O in 22A - l t c ) st de ; d ) | sin2 cos Adv. O e O112Sử dụng giải pháp tính tích phân từng phần, hãy tính …

Đánh giá bài viết