Hướng dẫn giải Bài § 2. Hàm số lũy thừa, Chương 2. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và Hàm số lôgarit, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 61 62 sgk Giải tích 12 gồm có tổng hợp công thức, triết lý, chiêu thức giải bài tập giải tích có trong SGK để giúp những em học viên học tốt môn toán lớp 12 .

Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số luỹ thừa

Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng \(y=x^{\alpha}\), trong đó \(\alpha\) là một hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy:

– Hàm số \ ( y = x ^ n \ ) với USD n USD nguyên dương, xác lập với mọi \ ( x \ in \ mathbb { R } \ ) .
– Hàm số \ ( y = x ^ n \ ), với USD n USD nguyên âm hoặc USD n = 0 USD, xác lập với mọi \ ( x \ in \ mathbb { R } \ backslash \ left \ { 0 \ right \ } \ ) .
– Hàm số \ ( y = x ^ { \ alpha } \ ), với \ ( \ alpha \ ) không nguyên, có tập xác lập là tập hợp những số thực dương \ ( \ left ( { 0 ; + \ infty } \ right ) \ )
Người ta chứng tỏ được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác lập của nó .
Chú ý : Theo định nghĩa, đẳng thức \ ( \ sqrt [ n ] { x } = { x ^ { \ frac { 1 } { n } } } \ ) chỉ xảy ra nếu \ ( x > 0 \ ) do đó, hàm số \ ( y = x ^ \ frac { 1 } { n } \ ) không giống hệt với hàm số \ ( y = \ sqrt [ n ] { x } ( n \ in { \ mathbb { N } ^ * } ) \ ). Chẳng hạn, hàm số \ ( y = \ sqrt [ 3 ] { x } \ ) là hàm số căn bậc ba, xác lập với mọi \ ( x \ in \ mathbb { R } \ ) ; còn hàm số luỹ thừa \ ( y = x ^ \ frac { 1 } { 3 } \ ) chỉ xác lập trên \ ( \ left ( { 0 ; + \ infty } \ right ) \ ) .

2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa

Hàm số luỹ thừa \ ( y = { x ^ \ alpha } ( \ alpha \ in \ mathbb { R } ) \ ) có đạo hàm tại mọi điểm \ ( x > 0 \ ) và \ ( \ left ( { { x ^ \ alpha } } \ right ) ’ = \ alpha { x ^ { \ alpha – 1 } } \ ) .
Nếu hàm số \ ( u = u ( x ) \ ) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên \ ( J \ ) thì hàm số \ ( y = { u ^ \ alpha } ( x ). \ ) cũng có đạo hàm trên \ ( J \ ) và \ ( \ left ( { { u ^ \ alpha } \ left ( x \ right ) } \ right ) ’ = \ alpha. { u ^ { \ alpha – 1 } } ( x ). u ‘ ( x ) \ ) .
Chú ý :
Ta thuận tiện chứng tỏ công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây : \ ( \ left ( { \ sqrt [ n ] { x } } \ right ) ’ = \ frac { 1 } { { n \ sqrt [ n ] { { { x ^ { n – 1 } } } } } } \ ) ( với mọi \ ( x > 0 \ ) nếu n chẵn, với mọi \ ( x \ ne0 \ ) nếu n lẻ ) .
Nếu \ ( u = u ( x ) \ ) là hàm số có đạo hàm trên \ ( J \ ) và thoả mãn điều kiện kèm theo \ ( u ( x ) > 0 \ ) với mọi \ ( x \ in J \ ) khi n chẵn, \ ( u ( x ) \ ne0 \ ) với mọi \ ( x \ in J \ ) khi n lẻ thì :
\ ( \ left ( { \ sqrt [ n ] { { u ( x ) } } } \ right ) ’ = \ frac { { u ‘ ( x ) } } { { n \ sqrt [ n ] { { { u ^ { n – 1 } } ( x ) } } } } \, \ left ( { \ forall x \ in J } \ right ) \ )
Nhận xét : Do \ ( 1 ^ \ alpha = 1 \ ) với mọi \ ( \ alpha \ ) nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm ( 1 ; 1 ) .

3. Khảo sát hàm số lũy thừa \(y=x^{\alpha}\)

Tập xác lập của hàm số lũy thừa luôn chứa khoảng chừng \ ( \ left ( { 0 ; + \ infty } \ right ) \ ) với mọi \ ( \ alpha \ in \ mathbb { R } \ ) .
Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số \ ( y = x ^ { \ alpha } \ ) trên khoảng chừng này, ta được bảng tóm tắt sau :

Dưới đây là phần vấn đáp những câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động giải trí của học viên sgk Giải tích 12 .

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 58 sgk Giải tích 12

Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của những hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác lập của chúng :\ ( y = { x ^ 2 } ; \, y = { x ^ { { 1 \ over 2 } } } ; \, y = { x ^ { – 1 } } \ )

Trả lời:

– Đồ thị của hàm số \ ( y = { x ^ 2 } \ ) là đường màu đỏ .
– Đồ thị của hàm số \ ( y = { x ^ { { 1 \ over 2 } } } \ ) là đường màu xanh .
– Đồ thị của hàm số \ ( y = { x ^ { – 1 } } \ ) là đường màu tím .

Ta có :
– Tập xác lập của hàm số \ ( y = { x ^ 2 } \ ) là USD R USD .
– Tập xác lập của hàm số \ ( y = { x ^ { { 1 \ over 2 } } } \ ) là USD [ 0, + ∞ ) USD .
– Tập xác lập của hàm số \ ( y = { x ^ { – 1 } } \ ) là USD R USD \ { USD 0 USD } .

2. Trả lời câu hỏi 2 trang58 sgk Giải tích 12

Tính đạo hàm của những hàm số : \ ( y = { x ^ { { { – 2 } \ over 3 } } } ; \, \, y = { x ^ \ pi } ; \, \, y = { x ^ { \ sqrt 2 } } \ )

Trả lời:

Ta có :

\(\eqalign{
& y = {x^{{{ – 2} \over 3}}} = – {2 \over 3}.{x^{({{ – 2} \over 3} – 1)}} = {{ – 2} \over 3}.{x^{{{ – 5} \over 3}}} \cr
& y = {x^\pi } = \pi .{x^{\pi – 1}} \cr
& y = {x^{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .{x^{\sqrt 2 – 1}} \cr} \)

3. Trả lời thắc mắc 3 trang59 sgk Giải tích 12

Tính đạo hàm của hàm số USD y = ( 3 x ^ 2 – 1 ) ^ { ( – \ sqrt 2 ) } USD .

Trả lời:

USD y ’ = ( ( 3 x ^ 2 – 1 ) ^ { ( – \ sqrt 2 ) } ) ’ USD
USD = { – \ sqrt 2 }. ( 3 x ^ 2 – 1 ) ^ { ( – \ sqrt 2-1 ) }. ( 3 x ^ 2 – 1 ) ’ USD
USD = { – \ sqrt 2 }. ( 3 x ^ 2 – 1 ) ^ { ( – \ sqrt 2-1 ) }. 6 x USD
USD = { – 6 \ sqrt 2 } x. ( 3 x ^ 2 – 1 ) ^ { ( – \ sqrt 2-1 ) }. USD
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 61 62 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé !

Bài tập

Giaibaisgk. com ra mắt với những bạn rất đầy đủ giải pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải chi tiết cụ thể bài 1 2 3 4 5 trang 61 62 sgk Giải tích 12 của Bài § 2. Hàm số lũy thừa trong Chương 2. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và Hàm số lôgarit cho những bạn tìm hiểu thêm. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập những bạn xem dưới đây :
Giải bài 1 2 3 4 5 trang 61 62 sgk Giải tích 12

1. Giải bài 1 trang 61 sgk Giải tích 12

Tìm tập xác lập của hàm số sau :
a ) USD y = ( 1 – x ) ^ { – \ frac { 1 } { 3 } } USD ;
b ) USD y = ( 2 – x ^ { 2 } ) ^ { \ frac { 3 } { 5 } } USD ;
c ) USD y = ( x ^ { 2 } – 1 ) ^ { – 2 } USD ;
d ) USD y = ( x ^ { 2 } – x-2 ) ^ { \ sqrt { 2 } } USD .

Bài giải:

a) \(y= \left ( 1-x \right )^{\frac{-1}{3}}\) có \(n = – \dfrac{1}{3} \notin Z\) xác định khi và chỉ khi \(1-x > 0 ⇔ x< 1\).

Vậy \ ( D = ( – ∞ ; 1 ) \ ) .

b) \(y= \left ( 2-x^{2} \right )^{\frac{3}{5}}\) có \(n = \dfrac{3}{5} \notin Z\) xác định khi và chỉ khi \(2-x^2> 0 ⇔ -\sqrt{2} < x <\) \(\sqrt{2}\).

Vậy \ ( D = \ left ( { – \ sqrt { 2 } } ; { \ sqrt { 2 } } \ right ) \ ) .

c) \(y= \left ( x^{2}-1 \right )^{-2}\) có \(n = – 2 \in {Z^ – }\) xác định khi và chỉ khi \(x^2-1\ne 0 ⇔ x \ne ± 1\).

Vậy \ ( D = \ mathbb R { \ rm { \ backslash } } { \ rm { \ { – 1 ; 1 \ } } } \ ) .

d) \(y= \left ( x^{2}-x-2\right )^{\sqrt{2}}\) có \(n = \sqrt 2 \notin Z\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} – x – 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < – 1\end{array} \right.\)

Vậy \ ( D = ( – ∞ ; – 1 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) \ ) .

2. Giải bài 2 trang 62 sgk Giải tích 12

Tính đạo hàm của những hàm số :
a ) USD y = ( 2 x ^ { 2 } – x + 1 ) ^ { \ frac { 1 } { 3 } } USD ;
b ) USD y = ( 4 – x-x ^ { 2 } ) ^ { \ frac { 1 } { 4 } } USD ;
c ) USD y = ( 3 x + 1 ) ^ { \ frac { \ prod } { 2 } } USD ;
d ) USD y = ( 5 – x ) ^ { \ sqrt { 3 } } USD .

Bài giải:

Áp dụng công thức tính đạo hàm, ta có :

a) $y’=\left [ (2x^{2}-x+1)^{\frac{1}{3}} \right ]’$

= USD \ frac { 1 } { 3 } ( 2 x ^ { 2 } – x + 1 ) ^ { ( \ frac { 1 } { 3 } – 1 ) } ( 2 x ^ { 2 } – x + 1 ) ’ USD
= USD \ frac { 4 x – 1 } { 3. ( 2 x ^ { 2 } – x + 1 ) ^ { \ frac { 2 } { 3 } } } USD

b) $y’=\left [ (4-x-x^{2})^{\frac{1}{4}} \right ]’$

= USD \ frac { 1 } { 4 } ( 4 – x-x ^ { 2 } ) ^ { ( \ frac { 1 } { 4 } – 1 ) } ( 4 – x-x ^ { 2 } ) ’ USD
= USD \ frac { – 2 x – 1 } { 4. ( 4 – x-x ^ { 2 } ) ^ { \ frac { 3 } { 4 } } } USD

c) $y’=\left [ (3x+1)^{\frac{\prod}{2}} \right ]’$

= USD \ frac { \ prod } { 2 } ( 3 x + 1 ) ^ { ( \ frac { \ prod } { 2 } – 1 ) } ( 3 x + 1 ) ’ USD
= USD \ frac { 3 \ prod } { 2 } ( 3 x + 1 ) ^ { ( \ frac { \ prod } { 2 } – 1 ) } USD

d) $y’=\left [(5-x)^{\sqrt{3}} \right ]’$

= USD \ sqrt { 3 } ( 5 – x ) ^ { ( \ sqrt { 3 } – 1 ) } ( 5 – x ) ’ USD
= USD – \ sqrt { 3 } ( 5 – x ) ^ { ( \ sqrt { 3 } – 1 ) } USD

3. Giải bài 3 trang 62 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của những hàm số :
a ) USD y = x ^ { \ frac { 4 } { 3 } } USD ;
b ) USD y = x ^ { – 3 } USD .

Bài giải:

a) Hàm số \(y=x^{4\over3}\)

– Tập xác lập : \ ( D = ( 0 ; + \ infty ) \ ) .
– Sự biến thiên :
Ta có : \ ( y ’ = \ displaystyle { 4 \ over 3 } { x ^ { { 1 \ over 3 } } } > 0, \ forall x > 0 \ )
Hàm số đồng biến trên khoảng chừng \ ( ( 0 ; + \ infty ) \ )
– Giới hạn đặc biệt quan trọng : \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to + \ infty } y = + \ infty \ ) .
– Đồ thị hàm số không có tiệm cận .
– Bảng biến thiên :

– Đồ thị : Đồ thị hàm số qua \ ( ( 1 ; 1 ) \ ), \ ( ( 2 ; \ root 3 \ of { { 2 ^ 4 } } ) \ ) .

b) Hàm số \(y = {x^{ – 3}}\)

– Tập xác lập : \ ( D = \ mathbb ℝ \ backslash { \ rm { \ { } } 0 \ } \ ) .
– Sự biến thiên :
Ta có : \ ( y ’ = – 3 { x ^ { – 4 } } < 0, \ forall x \ in D \ ) Hàm nghịch biến trong khoảng chừng \ ( ( - ∞ ; 0 ) \ ) và \ ( ( 0 ; + ∞ ) \ ) . – Giới hạn đặc biệt quan trọng :

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = – \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0 \cr }\)

– Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng, trục hoành làm tiệm cận ngang .
– Bảng biến thiên :

– Đồ thị : Đồ thị hàm số đi qua điểm \ ( ( – 1 ; – 1 ) \ ), \ ( ( 1 ; 1 ) \ ), \ ( \ left ( { 2 ; { 1 \ over 8 } } \ right ) \ ), \ ( \ left ( { – 2 ; { – 1 \ over 8 } } \ right ) \ ). Hàm số đồ thị đã cho là hàm số lẻ nên đối xứng qua gốc tọa độ .

4. Giải bài 4 trang 62 sgk Giải tích 12

Hãy so sánh những số sau với 1 :
a ) USD ( 4,1 ) ^ { 2,7 } USD ;
b ) USD ( 0,2 ) ^ { 0,3 } USD ;
c ) USD ( 0,7 ) ^ { 3,2 } USD ;
d ) USD \ sqrt { 3 } ^ { 0,4 } USD .

Bài giải:

a) Ta có: \(1 = {\left( {4,1} \right)^0}\)

Vì \ ( \ left \ { \ matrix { 4,1 > 1 \ hfill \ cr 2,7 > 0 \ hfill \ cr } \ right. \ Rightarrow { \ left ( { 4,1 } \ right ) ^ { 2,7 } } > { \ left ( { 4,1 } \ right ) ^ 0 } = 1 \ )

b) Ta có: \(1 = {\left( {0,2} \right)^0}\)

Vì \ ( \ left \ { \ matrix { 0,2 < 1 \ hfill \ cr 0,3 > 0 \ hfill \ cr } \ right. \ Rightarrow { \ left ( { 0,2 } \ right ) ^ { 0,3 } } < { \ left ( { 0,2 } \ right ) ^ 0 } = 1 \ )

c) Ta có: \(1 = {\left( {0,7} \right)^0}\)

Vì \ ( \ left \ { \ matrix { 0,7 < 1 \ hfill \ cr 3,2 > 0 \ hfill \ cr } \ right. \ Rightarrow { \ left ( { 0,7 } \ right ) ^ { 3,2 } } < { \ left ( { 0,7 } \ right ) ^ 0 } = 1 \ )

d) Ta có: \(1 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^0}\)

Vì \ ( \ left \ { \ matrix { \ sqrt 3 > 1 \ hfill \ cr 0,4 > 0 \ hfill \ cr } \ right. \ Rightarrow { \ left ( { \ sqrt 3 } \ right ) ^ { 0,4 } } > { \ left ( { \ sqrt 3 } \ right ) ^ 0 } = 1 \ )

5. Giải bài 5 trang 62 sgk Giải tích 12

Hãy so sánh những cặp số sau :
a ) USD ( 3,1 ) ^ { 7,2 } USD và USD ( 4,3 ) ^ { 7,2 } USD ;
b ) USD ( \ frac { 10 } { 11 } ) ^ { 2,3 } USD và USD ( \ frac { 12 } { 11 } ) ^ { 2,3 } USD ;
c ) USD ( 0,3 ) ^ { 0,3 } USD và USD ( 0,2 ) ^ { 0,3 } USD .

Bài giải:

a) Vì \(7,2 > 0\) và \(3,1 < 4,3\) suy ra \(\left ( 3,1 \right )^{7,2}\) < \(\left ( 4,3 \right )^{7,2}\).

b) Vì \(2,3 > 0\) và \(\dfrac{10}{11}\) < \(\dfrac{12}{11}\) suy ra \(\left ( \dfrac{10}{11} \right )^{2,3}\) < \(\left ( \dfrac{12}{11} \right )^{2,3}\).

c) Vì \(0,3 > 0\) và \(0,3 > 0,2\) suy ra \(\left ( 0,3 \right )^{0,3}\) > \(\left ( 0,2 \right )^{0,3}\).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc những bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 61 62 sgk Giải tích 12 !
“ Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com “

Đánh giá bài viết