Bài 1 trang 88 sgk hình học 10

Xác đinh độ dài những trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ những đỉnh và vẽ những elip có phương trình sau :
a ) \ ( \ frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 \ )

b) \(4x^2+ 9y^2= 1\)

c ) \ ( 4 x ^ 2 + 9 y ^ 2 = 36 \ )

Giải

a ) Ta có : \ ( a ^ 2 = 25 \ Rightarrow a = 5 \ ) độ dài trục lớn \ ( 2 a = 10 \ )
\ ( b ^ 2 = 9 \ Rightarrow b = 3 \ ) độ dài trục nhỏ \ ( 2 a = 6 \ )
\ ( c ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2 = 25 – 9 = 16 \ Rightarrow c = 4 \ )
Vậy hai tiêu điểm là : \ ( F_1 ( – 4 ; 0 ) \ ) và \ ( F_2 ( 4 ; 0 ) \ )
Tọa độ những đỉnh \ ( A_1 ( – 5 ; 0 ), A_2 ( 5 ; 0 ), B_1 ( 0 ; – 3 ), B_2 ( 0 ; 3 ) \ ) .
b )
\ ( 4 x ^ 2 + 9 y ^ 2 = 1 \ Leftrightarrow \ frac { x ^ { 2 } } { \ frac { 1 } { 4 } } + \ frac { y ^ { 2 } } { \ frac { 1 } { 9 } } = 1 \ )
\ ( a ^ 2 = \ frac { 1 } { 4 } \ Rightarrow a = \ frac { 1 } { 2 } \ ) \ ( \ Rightarrow \ ) độ dài trục lớn \ ( 2 a = 1 \ )
\ ( b ^ 2 = \ frac { 1 } { 9 } \ Rightarrow b = \ frac { 1 } { 3 } \ ) \ ( \ Rightarrow \ ) độ dài trục nhỏ \ ( 2 b = \ frac { 2 } { 3 } \ )
\ ( c ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2 = \ frac { 1 } { } 4 – \ frac { 1 } { 9 } = \ frac { 5 } { 36 } \ ) \ ( \ Rightarrow c = \ frac { \ sqrt { 5 } } { 6 } \ )
\ ( F_1 ( – \ frac { \ sqrt { 5 } } { 6 } ; 0 ) \ ) và \ ( F_2 ( \ frac { \ sqrt { 5 } } { 6 } ; 0 ) \ )
\ ( A_1 ( – \ frac { 1 } { 2 } ; 0 ), A_2 ( \ frac { 1 } { 2 } ; 0 ) \ ), \ ( B_1 ( 0 ; – \ frac { 1 } { 3 } ), B_2 ( 0 ; \ frac { 1 } { 3 } ) \ ) .
c ) Chia \ ( 2 \ ) vế của phương trình cho \ ( 36 \ ) ta được :
\ ( \ frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 \ )
Từ đây suy ra : \ ( 2 a = 6, 2 b = 4, c = \ sqrt5 \ )
Suy ra \ ( F_1 ( – \ sqrt5 ; 0 ) \ ) và \ ( F_2 ( \ sqrt5 ; 0 ) \ )
\ ( A_1 ( – 3 ; 0 ), A_2 ( 3 ; 0 ), B_1 ( 0 ; – 2 ), B_2 ( 0 ; 2 ) \ ) .

Bài 2 trang 88 sgk hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip, biết :
a ) Trục lớn và trục nhỏ lần lươt là \ ( 8 \ ) và \ ( 6 \ )
b ) Trục lớn bằng \ ( 10 \ ) và tiêu cự bằng \ ( 6 \ )

Giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng :
\ ( \ frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \ ) + \ ( \ frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \ ) = 1
a ) Ta có \ ( a > b \ ) :
\ ( 2 a = 8 \ Rightarrow a = 4 \ Rightarrow a ^ 2 = 16 \ )
\ ( 2 b = 6 \ Rightarrow b = 3 \ Rightarrow b ^ 2 = 9 \ )
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \ ( \ frac { x ^ { 2 } } { 16 } \ ) + \ ( \ frac { y ^ { 2 } } { 9 } \ ) = 1
b ) Ta có : \ ( 2 a = 10 \ Rightarrow a = 5 \ Rightarrow a ^ 2 = 25 \ )
\ ( 2 c = 6 \ Rightarrow c = 3 \ Rightarrow c ^ 2 = 9 \ )
\ ( \ Rightarrow b ^ 2 = a ^ 2 – c ^ 2 \ Rightarrow b ^ 2 = 25 – 9 = 16 \ )
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \ ( \ frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1 \ )

Bài 3 trang 88 sgk hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip trong những trường hợp sau :
a ) Elip đi qua những điểm \ ( M ( 0 ; 3 ) \ ) và \ ( N ( 3 ; \ frac { – 12 } { 5 } ) \ )
b ) Một tiêu điểm là \ ( F_1 ( – \ sqrt3 ; 0 ) \ ) và điểm \ ( M ( 1 ; \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } ) \ ) nằm trên elip

Giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng:    \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

a ) Elip đi qua \ ( M ( 0 ; 3 ) \ )
\ ( \ frac { 0 ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \ frac { 3 ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \ Rightarrow b ^ 2 = 9 \ )
Elip đi qua \ ( N ( 3 ; \ frac { – 12 } { 5 } ) \ )
\ ( \ frac { 3 ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \ frac { \ left ( \ frac { – 12 } { 5 } \ right ) ^ { 2 } } { 9 } = 1 \ Rightarrow a ^ 2 = 25 \ )
Phương trình chính tắc của elip là : \ ( \ frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 \ )
b ) Ta có : \ ( c = \ sqrt3 \ Rightarrow c ^ 2 = 3 \ )
Elip đi qua điểm \ ( M ( 1 ; \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } ) \ )
\ ( \ frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \ frac { \ left ( \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } \ right ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \ Rightarrow \ frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \ frac { 3 } { 4 b ^ { 2 } } = 1 \ ) ( 1 )
Mặt khác : \ ( c ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2 \ )
\ ( \ Rightarrow 3 = a ^ 2 – b ^ 2 \ Rightarrow a ^ 2 = b ^ 2 + 3 \ )
Thế vào ( 1 ) ta được : \ ( \ frac { 1 } { b ^ { 2 } + 3 } + \ frac { 3 } { 4 b ^ { 2 } } = 1 \ )
\ ( \ Rightarrow a ^ 2 = 4 b ^ 2 + 5 b ^ 2 – 9 = 0 \ )
\ ( \ Rightarrow b ^ 2 = 1 \ ) hoặc \ ( b ^ 2 = \ frac { – 9 } { 4 } \ ) ( loại )
Với \ ( b ^ 2 = 1 \ Rightarrow a ^ 2 = 4 \ )
Phương trình chính tắc của elip là : \ ( \ frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 1 } = 1 \ )

Bài 4 trang 88 sgk hình học 10

Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có những trục lớn là \ ( 80 cm \ ) và trục nhỏ là \ ( 40 cm \ ) từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích cỡ \ ( 80 cm \ times 40 cm \ ), người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách những mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu ?

Giải

Ta có : \ ( 2 a = 80 \ Rightarrow a = 40 \ )
\ ( 2 b = 40 \ Rightarrow b = 20 \ )
\ ( c ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2 = 1200 \ Rightarrow c = 20 \ sqrt 3 \ )
Phải đóng đinh tại những điểm \ ( F_1, F_2 \ ) và cách mép ván :
\ ( F_2A = OA – OF_2 = 40 – 20 \ sqrt3 \ )
\ ( \ Rightarrow F_2A = 20 ( 2 – \ sqrt3 ) ≈ 5,4 cm \ )
Chu vi vòng dây bằng : \ ( F_1F_2 + 2 a = 40 \ sqrt 3 + 80 \ )
\ ( \ Rightarrow F_1F_2 + 2 a = 40 ( 2 + \ sqrt 3 ) \ )
\ ( F_1F_2 + 2 a ≈ 149,3 cm \ )

Bài 5 trang 88 sgk hình học 10

Cho hai đường tròn \ ( { C_1 } ( { F_1 } ; { R_1 } ) \ ) và \ ( { C_2 } ( { F_2 } ; { R_2 } ) \ ). \ ( C_1 \ ) nằm trong \ ( C_2 \ ) và \ ( F_1 ≠ F_2 \ ). Đường tròn \ ( ( C ) \ ) biến hóa luôn tiếp xúc ngoài với \ ( C_1 \ ) và tiếp xúc trong với \ ( C_2 \ ). Hãy chứng tỏ rằng tâm \ ( M \ ) của đường tròn \ ( ( C ) \ ) di động trên một elip .

Giải

Gọi \ ( R \ ) là nửa đường kính của đường tròn \ ( ( C ) \ )
\ ( ( C ) \ ) và \ ( C_1 \ ) tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta :
\ ( MF_1 = R_1 + R \ ) ( 1 )
\ ( ( C ) \ ) và \ ( C_2 \ ) tiếp xúc trong với nhau, cho ta :
\ ( MF_2 = R_2 – R \ ) ( 2 )
Từ ( 1 ) VÀ ( 2 ) ta được
\ ( M { F_1 } + M { F_2 } = { R_1 } + { R_2 } = R \ ) không đổi
Điểm M có tổng những khoảng cách \ ( M { F_1 } + M { F_2 } \ ) đến hai điểm cố định và thắt chặt \ ( F_1 \ ) và \ ( F_2 \ ) bằng một độ dài không đổi \ ( { R_1 } + { R_2 } \ )

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường elip, có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\)   và có tiêu cự

\ ( F_1F_2 = R_1 + R_2 \ )

Giaibaitap.me

Đánh giá bài viết