Đánh giá bài viết post

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiên trong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương
Sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốn dạng
x4+ax3+bx2+cx+d=0 trong đó a,b,c,d là các số thực khác không:
1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4
4. Phương pháp đồ thị.

CÁC PHƯƠNG PHÁP:

1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể.

Ví dụ 1.
Giải phương trình (x2−a)2−6×2+4x+2a=0   (1)

Giải:
Phương trình (1) được viết thành

x4 − 2 ax2 + a2 − 6 × 2 + 4 x + 2 a = 0
hay x4 − ( 2 a + 6 ) x2 + 4 x + a2 + 2 a = 0 ( 2 )

Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn không đuợc học cách giải.
Nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng

a2 − 2 ( x2 − 1 ) a + x4 − 6 × 2 + 4 x = 0 ( 3 )

Và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a.
Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x:

Ví dụ 2.
Giải phương trình x4−x3−5×2+4x+4=0 (1)

Giải:
Phương trình (1) đuợc viết dưới dạng:

− x3 − x2 − ( 4 × 2 − 4 x − 4 ) = 0
x2 ( x2 − x − 1 ) − 4 ( x2 − x − 1 ) = 0
( x2 − 4 ) ( x2 − x − 1 ) = 0
Vậy ( 1 ) có 4 nghiệm là

Ví dụ 3.
Giải phương trình
     32×4−48×3−10×2+21x+5=0    (1)

Giải:
Ta viết (1) dưới dạng:

2 ( 16 × 4 − 24 × 3 + 9 × 2 ) − 7 ( 4 × 2 − 3 x ) + 5 = 0
Và đặt : y = 4 × 2 − 3 x thì ( 1 ) được biến hóa thành
2 y2 − 7 y + 5 = 0
Từ đó y1 = 1 và y2 = 5/2
Giải tiếp những phương trình bậc hai so với x sau đây ( sau khi thay y1 = 1 và y2 = 5/2 vào y = 4 × 2 − 3 x ) :
4 × 2 − 3 x − 1 = 0

Và 8×2−6x−5=0

Ta sẽ đuợc những nghiệm của ( 1 ) .

Ví dụ 4.
 Giải phương trình

2 × 4 + 3 × 3 − 16 × 2 + 3 x + 2 = 0 ( 1 )

Giải:

Đây là phương trình bậc bốn ( và là phương trình hồi quy khi e / a = ( d / b ) 2 )

Với phương trình này ta giải như sau:
Chia hai vế của phương trình cho x2 (khác không) thì (1) tương đuơng với


Như vậy, với những ví dụ 2,3 và 4 ta giải đuợc phương trình bậc bốn nhờ biết biến hóa phát minh sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tới việc giải những phương trình và phương trình quen thuộc .

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ 5.
Giải phương trình:

x4 + 4 × 3 − 10 × 2 + 37 x − 14 = 0 ( 1 )
Giải :
Ta thử nghiên cứu và phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai x2 + px + q và x2 + rx + s, trong đó
p, q, r, s là những thông số nguyên chưa xác lập .
Ta có :
x4 + 4 × 3 − 10 × 2 + 37 x − 14 = ( x2 + px + q ) ( x2 + rx + s ) ( 2 )
Đồng nhất những thông số của những số hạng cùng bậc hai vế của đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau

Lưu ý :
Trong 1 số ít truờng hợp ta không hề dùng chiêu thức này vì nhiều khi việc nghiên cứu và phân tích trên không được như mong ước ví dụ điển hình khi hệ trên không có nghiệm nguyên .

3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4

Dụng ý của ta là nghiên cứu và phân tích đa thức x4 + ax3 + bx2 + cx + d thành hai nhân tử bậc hai
Dùng ẩn phụ h, ta đổi khác như sau :

Ví dụ 6.

Giải phương trình : x4 − x3 − 7 × 2 + x + 6 = 0

Giải:
Dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc h:

4. Phương pháp đồ thị.

Phương pháp:

Để giải phương trình bậc bốn
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 ( 1 )
bằng đồ thị, ta hãy đặt x2 = y − mx
Phương trình ( 1 ) trở thành : y2 − 2 mxy + m2x2 + axy − axm2 + bx2 + cx + d = 0
Để khử đuợc những số hạng có xy trong phương trình này thì phải có :

Cách giải phương trình bậc 4








Cách giải phương trình đa thức bậc bốn tổng quát

Phương trình bậc bốn tổng quát:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 ( a ≠ 0, a, b, c, d, e ∈ R ) ta luôn đưa được phương trình về dạng x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 bằng cách chia hai vế phương trình cho a .
Vậy ta xét phương trình : x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 .
Để giải phương trình này ta triển khai nhóm hằng đẳng thức như sau :

Đánh giá bài viết