Phương pháp nguyên hàm từng phần là 1 trong những chiêu thức quan trọng để giải những bài tập nguyên hàm phức tạp như hàm chứa mũ, logarit, lượng giác, … Nếu Open trong đề thi thì đây là bài toán này thuộc câu vận dụng cao ( 8 + ) nên để bạn hiểu hơn thì một bài viết kim chỉ nan là thiết yếu nếu. Bài viết này được soạn ra là như vậy. Chúng ta cùng nhau tìm hiểu và khám phá

1. Công thức nguyên hàm từng phần tổng quát

Hãy tính nguyên hàm của hàm f ( x ) có dạng tổng quát như sau : USD \ int { f \ left ( x \ right ) dx } = \ int { g \ left ( x \ right ). h \ left ( x \ right ) dx } USD
Hướng dẫn

Để giải bài toán tổng quát này, bạn làm theo 2 bước dưới đây

Công thức nguyên hàm từng phần

Vậy là ta đã tìm được công thức tổng quát : USD \ int { f \ left ( x \ right ) dx } = \ int { g \ left ( x \ right ). h \ left ( x \ right ) dx } USD

2. Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp

Khi gặp dạng toán này bạn sẽ đưa chúng về 4 dạng tổng quát sau đây

Dạng 1: Đề cho hàm số logarit

nguyên hàm từng phần logarit

Dạng 2: Đề cho nguyên hàm mũ

nguyên hàm từng phần hàm mũ

Dạng 3: Đề cho nguyên hàm dạng lượng giác

nguyên hàm từng phần hàm lượng giác

Dạng 4: Đề cho nguyên hàm dạng kết hợp 

nguyên hàm từng phần dạng kết hợp 

Mỗi đơn vị chức năng kỹ năng và kiến thức mới đều yên cầu người học phải bỏ thời hạn gia chinh phục, tùy theo sở trường hay sở đoản của mỗi bạn mà thời hạn bỏ ra là ít hay nhiều. Tuy nhiên nếu dành nhiều thời hạn và sức lực lao động vào triết lý thì việc giải bài tập sẽ trở lên đơn thuần nhất là ở phòng thi bởi khi đó bạn đã làm chủ kỹ năng và kiến thức .

3. Bài tập vận dụng

Có thể kim chỉ nan bạn hiểu rõ nhưng chưa hẳn đã giải được mọi dạng toán tương quan bởi mỗi bài tập sẽ yên cầu những kĩ năng đổi khác riêng mặc dầu nó đã có giải pháp ở trên. Bởi vậy nên bạn cần làm những ví dụ dưới đây ( mỗi ví dụ có giải thuật để tiện bạn so sánh )
Trước tiên là 3 ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm $f\left( x \right) = \int {\ln \left( x \right)dx} $

Hướng dẫn

Ví dụ 2: Hãy tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác sau f(x) = x.sin(x)

Hướng dẫn

Ví dụ 3: Cho hàm số \[{f\left( x \right) = \sin x.{e^x}}\]. Hãy tìm nguyên hàm của hàm f(x)

Hướng dẫn

Và 6 bài tập kèm đáp án để bạn tiện kiểm tra khi làm bài

Bài tập 1: $\int{x{{e}^{\frac{x}{3}}}dx}$ bằng:

A. USD 3 \ left ( x-3 \ right ) { { e } ^ { \ frac { x } { 3 } } } + C USD
B. USD \ left ( x + 3 \ right ) { { e } ^ { \ frac { x } { 3 } } } + C USD
C. USD \ frac { 1 } { 3 } \ left ( x-3 \ right ) { { e } ^ { \ frac { x } { 3 } } } + C USD
D. USD \ frac { 1 } { 3 } \ left ( x + 3 \ right ) { { e } ^ { \ frac { x } { 3 } } } + C USD
Đáp án là A

Bài tập 2: $\int{x\ln xdx}$ bằng:

A. $\frac{{{x}^{2}}}{2}.\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{4}+C$

B. USD \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 4 }. \ ln x – \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 2 } + C USD
C. USD – \ frac { { { x } ^ { 2 } } \ ln x } { 4 } + \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 2 } + C USD
D. USD \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 2 }. \ ln x + \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 4 } + C USD
Đáp án là A

Bài tập 3: Nguyên hàm của hàm số: $I=\int\limits_{{}}^{{}}{\cos 2x}.\ln (\sin x+\cos x)dx$ là:

A. F ( x ) = USD \ frac { 1 } { 2 } \ left ( 1 + \ sin 2 x \ right ) \ ln \ left ( 1 + \ sin 2 x \ right ) – \ frac { 1 } { 4 } \ sin 2 x + C USD
B. F ( x ) = USD \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 + \ sin 2 x \ right ) \ ln \ left ( 1 + \ sin 2 x \ right ) – \ frac { 1 } { 2 } \ sin 2 x + C USD
C. F ( x ) = USD \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 + \ sin 2 x \ right ) \ ln \ left ( 1 + \ sin 2 x \ right ) – \ frac { 1 } { 4 } \ sin 2 x + C USD
D. F ( x ) = USD \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 + \ sin 2 x \ right ) \ ln \ left ( 1 + \ sin 2 x \ right ) + \ frac { 1 } { 4 } \ sin 2 x + C USD
Đáp án là C

Bài tập 4: Nguyên hàm của hàm số: $I=\int{\left( x-2 \right)\sin 3xdx}$ là:

A. F ( x ) = USD – \ frac { \ left ( x-2 \ right ) \ cos 3 x } { 3 } + \ frac { 1 } { 9 } \ sin 3 x + C USD
B. F ( x ) = USD \ frac { \ left ( x-2 \ right ) \ cos 3 x } { 3 } + \ frac { 1 } { 9 } \ sin 3 x + C USD
C. F ( x ) = USD – \ frac { \ left ( x + 2 \ right ) \ cos 3 x } { 3 } + \ frac { 1 } { 9 } \ sin 3 x + C USD
D. F ( x ) = USD – \ frac { \ left ( x-2 \ right ) \ cos 3 x } { 3 } + \ frac { 1 } { 3 } \ sin 3 x + C USD
Đáp án là A

Bài tập 5: Nguyên hàm của hàm số: $I=\int\limits_{{}}^{{}}{{{x}^{3}}\ln xdx}.$ là:

A. F ( x ) = USD \ frac { 1 } { 4 } { { x } ^ { 4 } }. \ ln x + \ frac { 1 } { 16 } { { x } ^ { 4 } } + C USD
B. F ( x ) = USD \ frac { 1 } { 4 } { { x } ^ { 4 } }. { { \ ln } ^ { 2 } } x – \ frac { 1 } { 16 } { { x } ^ { 4 } } + C USD
C. F ( x ) = USD \ frac { 1 } { 4 } { { x } ^ { 4 } }. \ ln x – \ frac { 1 } { 16 } { { x } ^ { 3 } } + C USD
D. F ( x ) = USD \ frac { 1 } { 4 } { { x } ^ { 4 } }. \ ln x – \ frac { 1 } { 16 } { { x } ^ { 4 } } + C USD
Đáp án là D

Bài tập 6: Tính $H=\int{x{{3}^{x}}dx}$

A. USD H = \ frac { { { 3 } ^ { x } } } { { { \ ln } ^ { 2 } } 3 } ( x \ ln 3 + 1 ) + C USD
B. USD H = \ frac { { { 3 } ^ { x } } } { { { \ ln } ^ { 2 } } 3 } ( x \ ln 2-2 ) + C USD
C. USD H = \ frac { { { 3 } ^ { x } } } { { { \ ln } ^ { 2 } } 3 } ( x \ ln 3-1 ) + C USD
D. Một tác dụng khác
Đáp án là C

Bài tập 7: $F(x)=4\sin x+(4x+5){{e}^{x}}+1$ là một nguyên hàm của hàm số:

A. USD f ( x ) = 4 \ cos x + ( 4 x + 9 ) { { e } ^ { x } } USD
B. USD f ( x ) = 4 \ cos x – ( 4 x + 9 ) { { e } ^ { x } } USD

C. $f(x)=4\cos x+(4x+5){{e}^{x}}$

D. USD f ( x ) = 4 \ cos x + ( 4 x + 6 ) { { e } ^ { x } } USD
Đáp án là A .
Để làm tốt những bài tập nguyên hàm từng phần này bạn cần phải xem kĩ kim chỉ nan và bài tập có giải thuật cụ thể ở trên. Các bước làm hoàn toàn có thể đơn thuần nhưng nó chứa đựng nhiều thâm sâu bên trong nên chỉ có rèn luyện liên tục mới giúp bạn mau hiểu ra, nhớ lâu kiến thức và kỹ năng .

Đánh giá bài viết