Trong chương trình môn Vật lí đặc biệt quan trọng là năm lớp 12 thì phương trình lượng giác là kỹ năng và kiến thức bạn cần chú ý quan tâm. Đây là kỹ năng và kiến thức được vận dụng rất nhiều trong những bài tập đặc biết Open trong nhiều bài thi. Tuy nhiên đường tròn lượng giác rất hay bị nhầm lẫn với những kỹ năng và kiến thức khác. Bài viết sau đây lessonopoly sẽ gửi đến bạn những kỹ năng và kiến thức tương quan đén đường tròn lượng giác. Các bạn hãy cùng tìm hiểu thêm nhé !Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị

Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác 

Khái niệm : Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị chức năng, khuynh hướng ( quy ước chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ đeo tay ) và trên đó chọn điệm A làm gốc .

Điểm M(x;y) trên đường tròn lượng giác sao cho (OA; OM) = α được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo α.

Trục Ox được gọi là trục giá trị của cos .Trục Oy được gọi là trục giá trị của sin .Trục At gốc A cùng hướng với trục Oy được gọi là trục giá trị của tang .Trục Bs gốc B cùng hướng với trục Ox được gọi là trục giá trị của cotang .Hãy cùng tìm hiểu thêm video sau đây để hiểu hơn về đường tròn lượng giác nhé !Giá trị lượng giác sin, cosin, tang và cotang :

duong tron luong giac 02

Dấu của những giá trị lượng giácBảng thể hiện dấu của các giá trị lượng giácCung link – Phần kiến thức và kỹ năng đường tròn lượng giác lớp 11 nhất định phải thuộc .

Góc đối nhau( cos đối ) Góc bù nhau( sin bù ) Góc phụ nhau( Phụ chéo ) Góc hơn kém( Khác pi tan )
cos ( – α ) = cos α Sin ( π-α ) = sin α sin ( π / 2 – α ) = cos α Sin ( π + α ) = – sin α
Sin ( – α ) = – sin α Cos ( π-α ) – cos α cos ( π / 2 – α ) = sinα cos ( π + α ) = – cosα
Tan ( – α ) = tan α Tan ( π-α ) = – tan α Tan ( π / 2 – α ) = cot α tan ( π + α ) = tanα
cot ( – α ) = – cot α cota ( π-α ) = – cot α Cot ( π / 2 – α ) = tan α cot ( π + α ) = cotα

Các công thức lượng giác trọng tâm

– Công thức cơ bảnBảng công thức lượng giác cơ bản

Công thức cộng

Cos ( a + b ) = cosa.cosb – sina.sinbCos ( a-b ) = cosacosb + sina.sinbSin ( a + b ) = sina.cosb + sinb.cosatan ( a + b ) = ( tana + tanb ) / ( 1 – tana.tanb )tan ( a-b ) = ( tana – tanb ) / ( 1 + tana.tanb )

Công thức nhân đôi, hạ bậc

Trong bài đường tròn lượng giác lớp 11 thì công thức cộng, nhân đôi hạ bậc là hai phần đặt biệt quan trọng. Nếu không ghi nhớ được 2 phần kỹ năng và kiến thức này, những em sẽ gặp nhiều khó khăn vất vả khi giải toán lượng giác và thậm chí còn là không giải được. Vậy nên ngay từ giờ đây cần tổng ôn những công thức này bằng cách thực hành thực tế bài tập liên tục .Sin2a = 2sina.cosa, tan 2 a = 2 tana / ( 1 – tan²a )Cos2a = 2 cos²a – 1 = 1 – 2 sin²a = cos²a – sin²aSin²a = ( 1 – cos2a ) / 2, cos²a = ( 1 + cos2a ) / 2Cos3a = 4 cos³a – 3 cosa ⇒ cos³a = ( 3 cosa + cos3a ) / 4Sin3a = 3 sina – 4 sin³a ⇒ sin³a = ( 3 sina – sin3a ) / 4Công thức biến hóa tổng thành tíchCosa + cosb = 2 cos ( a + b ) / 2.cos ( a-b ) / 2Cosa – cosb = – 2 sin ( a + b ) 2.sin ( a-b ) / 2 .Sina + sinb = 2 sin ( a + b ) / 2.cos ( a-b ) / 2

Công thức biến đổi tích thành tổng

Cosa. cosb = 50% [ cos ( a-b ) + cos ( a + b ) ]Sina. sinb = 50% [ cos ( a-b ) – cos ( a + b ) ]Sina. cosb = 50% [ sin ( a-b ) + sin ( a + b ) ] .

Vòng tròn lượng giác

duong tron luong giac 05Vòng tròn lượng giác, còn được gọi là đường tròn đơn vị, có bán kính R=1, tâm trùng với gốc tọa độ.

Trục hoành là trục cos, trục tung là trục sin .Trục tan có gốc là điểm A và vuông góc với trục cos, trục cotan có gốc là điểm B vuông góc với trục sin .Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ đeo tay, chiều âm cùng chiều kim đồng hồ đeo tay .Cho góc lượng giác alpha như trong Hình, ta có :

duong tron luong giac 06

duong tron luong giac 07

Xem thêm : Tổng hợp lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9, kèm bài tập vận dụngXem thêm : Tổng hợp về bảng đạo hàm cơ bản và khá đầy đủ nhất

Hướng dẫn sử dụng vòng tròn lượng giác

Biểu diễn góc ( cung ) trên đường tròn lượng giác là một kỹ năng và kiến thức quan trọng trong lượng giác. Thành thạo kỹ năng và kiến thức này sẽ giúp người học nhiều thuận tiện trong quy trình tổng hợp nghiệm hay loại nghiệm so với những phương trình lượng giác có điều kiện kèm theo .Ta sẽ khám phá góc

duong tron luong giac 08

được màn biểu diễn như thế nào trên đường tròn lượng giác ?

duong tron luong giac 09

Dùng vòng tròn lượng giác trong vật lý 12 giải dạng bài về giao động điều hoàPhương trình tổng quát của giao động điều hoà : x = A cos ( ωt + φ )Khi đó tất cả chúng ta có phương trình tương ứng với một hoạt động tròn đều : Bán kính chính là biên độ xê dịch R = A .Vị trí khởi đầu của vật khi màn biểu diễn trên đường tròn sẽ hợp với chiều dương trục ox một góc φ .Vật có vận tốc quay trên đường tròn là ω .Thời gian để chất điểm trên đường tròn hoàn toàn có thể quay hết 1 vòng sẽ là 1 chu kỳ luân hồi T .Vật quay theo chiều ngược kim đồng hồ đeo tay .

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình như sau x = 4cos(πt + π/3), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc v của chất điểm đạt giá trị -2π cm/s lần thứ 7 là:

  1. 6,5 s. B. 4,5 s. C. 2,5 s. D. 6,75 s .

Lời giải :Xác định “ thời gian ” ⇒ dùng đường tròn đa điểm với 1 trục x, v : A = 4 cm, vmax = 4 π cm / s .Thời điểm khởi đầu của ly độ là Mox. Do tốc độ nhanh pha π / 2 so với li độ tại thời gian khởi đầu của tốc độ là Mox, đứng trước Mox một góc π / 2 .Vận tốc – 2 π cm / s sẽ tương ứng với M1 và M2 trên đường tròn .N = 7 = 3.2 + 1 lần ,

duong tron luong giac 10

duong tron luong giac 11

duong tron luong giac 12

Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và có tần số bằng 2 Hz. Ta lấy gần đúng π2 = 10. Thời gian ngắn nhất ta tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến khi thời điểm vật có gia tốc bằng 1,6 m/s2 là

  1. 1/6 s. B. 1/12 s. C. 1/24 s. D. 1/18 s .

Lời giải :Xác định “ khoảng chừng thời hạn ” ⇒ dùng đến đường tròn đa trục .f = 2 Hz ω = 4 π rad / s, A = 2 cm, vmax = 8 π cm / s, amax = 32 m / s2 .v = 4 π cm / s tại M, a = 1,6 m / s2 tại N .Từ M đến N hoàn toàn có thể đi theo những cung như sau M1N1, M1N2, M2N1, M2N2 .Cung M1N1 thì ta có được Δφmin = π / 6Δtmin = 1/24 s .

Bài tập trắc nghiệm đường tròn lượng giác vật lý 

Câu 1. Cho một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với có phương trình x = 6cos(2πt) cm, với x đơn vị là cm và t đơn vị là giây. Tính từ thời điểm ban đầu, t = 0, vector vận tốc và vector gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox và trong khoảng thời gian gần nhất là

  1. 0,15 s < t < 0,25 s
  2. 0,20 s < t < 0,40 s
  3. 0,50 s < t < 0,75 s
  4. 0,30 s < t < 0,50 s

Câu 2. Cho một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ là 4 cm và tần số bằng 2 Hz. Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc là 8π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc là  cm/s2 là:

  1. 1/12 s
  2. 1/48 s
  3. 11/48 s
  4. 11/24 s

Câu 3. Cho một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và tần số bằng 2 Hz. Ta cho gần đúng π2 = 10. Hãy thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc là 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc là -3,2 m/s2 là bao lâu:

  1. 1/12 s
  2. 1/3 s
  3. 1/24 s
  4. 1/6 s

Câu 4. Cho một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ là 2 cm và tần số là 0,5 Hz. Lấy gần đúng π2 = 10. Trong một chu kì khoảng thời gian để vật có vận tốc nhỏ hơn π cm/s và gia tốc lớn hơn  cm/s2 bằng:

  1. 1/6 s
  2. 2/3 s
  3. 1/3 s
  4. 50% s

Đáp án 

Câu 1 : CCâu 2 : B

Câu 3: C

Câu 4 : CBài viết sau đã gửi đến bạn kỹ năng và kiến thức về đường tròn lượng giác cũng như những dạng bài tập về đường tròn lượng giác. Hy vọng bài viết trên hoàn toàn có thể giúp ích được cho bạn trong việc học của mình. Đây là kiến thức và kỹ năng trọng tâm quan trọng nên những bạn hãy chú ý quan tâm những kiến thức và kỹ năng trên nhé !

Đánh giá bài viết