Lý thuyết về giới hạn của hàm số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.\)

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n ∈ K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có
\(\lim f(x_n) =L\). 

+ ) Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) xác lập trên khoảng chừng \ ( ( x_0 ; b ) \ ) .

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi dãy số \((xn) bất kì, \(x_0+ ) Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) xác lập trên khoảng chừng \ ( ( a ; x_0 ) \ ) .

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(a \(\lim f(x_n) = L\).

+ ) Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) xác lập trên khoảng chừng \ ( ( a ; + ∞ ) \ ) .\ ( \ underset { x \ rightarrow + \ infty } { \ lim } f ( x ) = L \ ) khi và chỉ khi với dãy số \ ( ( x_n ) \ ) bất kể, \ ( x_n > a \ ), \ ( x_n \ rightarrow + \ infty \ ) thì \ ( lim f ( x_n ) = L \ ) .+ ) Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) xác lập trên khoảng chừng \ ( ( – ∞ ; a ) \ ) .\ ( \ underset { x \ rightarrow – \ infty } { \ lim } f ( x ) = L \ ) khi và chỉ khi với dãy số \ ( ( x_n ) \ ) bất kỳ, \ ( x_n < a \ ), \ ( x_n \ rightarrow - \ infty \ ) thì \ ( \ lim f ( x_n ) = L \ ) .

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại số lượng giới hạn vô cực khác nhau :+ ) Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) xác lập trên khoảng chừng \ ( ( a ; + ∞ ) \ ), \ ( \ underset { x \ rightarrow + \ infty } { \ lim } f ( x ) = – ∞ \ ) khi và chỉ khi với dãy số \ ( ( x_n ) \ ) bất kỳ, \ ( x_n > a \ ), \ ( x_n \ rightarrow + \ infty \ ) thì ta có \ ( \ lim f ( x_n ) = – ∞ \ )

+) Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.\)

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = +∞\) và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n ∈K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\) và \(x_n\rightarrow x_0\) thì ta có: \(\lim f(x_n) = +∞\).

Nhận xét: \(f(x)\) có giới hạn \(+∞ \) khi và chỉ khi \(-f(x)\) có giới hạn \(-∞\).

3. Các giới hạn đặc biệt

a ) \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { \ lim } x = x_0 \ ) ;b ) \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { \ lim } c = c \ ) ;c ) \ ( \ underset { x \ rightarrow \ pm \ infty } { \ lim } c = c \ ) ;

d) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim}\) \(\frac{c}{x} = 0\) (\(c\) là hằng số);

e ) \ ( \ underset { x \ rightarrow + \ infty } { \ lim } x ^ k = + ∞ \ ), với \ ( k \ ) nguyên dương ;f ) \ ( \ underset { x \ rightarrow – \ infty } { lim } x ^ k = – ∞ \ ), nếu \ ( k \ ) là số lẻ ;g ) \ ( \ underset { x \ rightarrow – \ infty } { lim } x ^ k = + ∞ \ ), nếu \ ( k \ ) là số chẵn .

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a ) Nếu \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } = L \ ) và \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } \ ) \ ( g ( x ) = M \ ) thì :\ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } [ f ( x ) + g ( x ) ] = L + M \ ) ;

\ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } [ f ( x ) – g ( x ) = L – M \ ) ;\ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } [ f ( x ). g ( x ) ] = L.M \ ) ;\ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } \ ) \ ( \ frac { f ( x ) } { g ( x ) } \ ) = \ ( \ frac { L } { M } \ ) ( nếu \ ( M ≠ 0 \ ) ) .b ) Nếu \ ( f ( x ) ≥ 0 \ ) và \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { \ lim } f ( x ) = L \ ), thì \ ( L ≥ 0 \ ) và \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { \ lim } \ sqrt { f ( x ) } = \ sqrt L \ )

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi \(x_n\rightarrow +\infty\) hoặc \(x_n\rightarrow -\infty\).

Định lí 2.

\ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } f ( x ) = L \ ) khi và chỉ khi \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } ^ { + } } { lim } \ ) f ( x ) = \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } ^ { – } } { \ lim } f ( x ) = L \ ) .

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a ) Quy tắc số lượng giới hạn của tích \ ( f ( x ). g ( x ) \ )+ Nếu \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } f \ left ( x \ right ) = \ pm \ infty \ ) và \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } g \ left ( x \ right ) = L \ ne 0 \ ) thì \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } \ left [ { f \ left ( x \ right ). g \ left ( x \ right ) } \ right ] \ ) được cho trong bảng sau :

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)

+ Nếu \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } f \ left ( x \ right ) = L \ ne 0 \ ) và \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } g \ left ( x \ right ) = 0 \ ) và \ ( g \ left ( x \ right ) > 0 \ ) hoặc \ ( g \ left ( x \ right ) < 0 \ ) với mọi \ ( x \ in J \ backslash \ left \ { { { x_0 } } \ right \ } \ ), trong đó \ ( J \ ) là một khoảng chừng nào đó chứa \ ( { x_0 } \ ) thì \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } \ dfrac { { f \ left ( x \ right ) } } { { g \ left ( x \ right ) } } \ ) được cho trong bảng sau :

Loigiaihay.com

Đánh giá bài viết