Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợpHoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợpHoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp

Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợpHoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợpHoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp

Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợpHoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợpHoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp

Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp –
Trong một trận bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hoà nên phải triển khai đá luân lưu 11 m. Một đội đã chọn được năm cầu thủ để thực thi đá năm quả 11 m. Hãy nêu ba cách sắp xếp đá phạt. Giải. Để xác lập, ta giả thiết tên của năm cầu thủ được chọn là A, B, C, D, E. Để tổ chức triển khai đá luân lưu, huấn luyện viên cần phân công người đá thứ nhất, thứ hai, … và hiệu quả phân công là một list có thứ tự gồm tên của năm cầu thủ. Chẳng hạn, nếu viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất, E đá quả thứ hai, … và B đá quả ở đầu cuối. Có thể nêu ba cách tổ chức triển khai đá luân lưu như sau : Cách 1 : ABC / DE.Cách 2 : ACBDE.CáChỉ 3 : CABED. “ Mỗi hiệu quả của việc sắp thứ tự tên của năm cầu thủ đã chọn được gọi là một hoán vị tên của năm cầu thủ. ĐịNH NGHIACho tập hợp A gồm n thành phần ( n > 1 ). Mỗi tác dụng của sự sắp xếp thứ tự n thành phần của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n thành phần đó. * liệt kê tổng thể những số gồm ba chữ số khác nhau từ những chữ số 1, 2, 3. NHÂN XÉTHai hoán vị của n thành phần chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba thành phần a, b, c là khác nhau. 2. Số những hoán vịVí dụ 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ ? Giải. Để đơn thuần, ta viết A, B, C, D thay cho tên của bốn bạn và viết ACBD để diễn đạt cách D. xếp chỗ như Hình 27. a ) Cách thứ nhất : Liệt kê. Hình 27 Các cách sắp xếp chỗ ngồi được liệt kê như sau : ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DACB, DABC, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA. 48N hư vậy có 24 cách, mỗi cách cho ta một hoán vị tên của bốn bạn và ngược lại. b ) Cách thứ hai : Dùng quy tắc nhân. – Có bến cách chọn một trong bốn bạn để xếp vào chỗ thứ nhất. – Sau khi đã chọn một bạn, còn ba bạn nữa. Có ba cách chọn một bạn xếp vào chỗ thứ hai. – Sau khi đã chọn hai bạn rồi còn hai bạn nữa. Có hai cách chọn một bạn ngôi vào chỗ thứ ba. – Bạn còn lại được xếp vào chỗ thứ tư. Theo quy tắc nhân, ta có số cách xếp chỗ ngồi là4. 3. 2 – 1 = 24 ( cách ). ” Kí hiệu P, là số những hoán vị của n thành phần. Ta có định lí sau đây. ĐINH LíP = n ( n-1 ). 2.1. Chứng minh. Để lập được mọi hoán vị của n thành phần, ta thực thi như sau : Chọn một thành phần cho vị trí thứ nhất. Có n cách, Sau khi chọn một thành phần cho vị trí thứ nhất, có n − 1 cách chọn một thành phần cho vị trí thứ hai. Sau khi đã chọn n − 2 thành phần cho n − 2 vị trí tiên phong, có hai cách chọn một trong hai thành phần còn lại để xếp vào vị trí thứ n − 1. Phần tử còn lại sau cuối được xếp vào vị trí thứ n. Như vậy, theo quy tắc nhân, có n ( n − 1 ). 2.1 hiệu quả sắp xếp thứ tự n thành phần đã cho. VậyP = n ( n-1 ). 2.1. CHÚ ÝKí hiệu n ( n − 1 ). 2.1 là n !. ( đọc là n giai thừa ), ta có汽 。 giờ học môn Giáo dục đào tạo quốc phòng, một tiểu đội học viên gồm mười người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp ? II – CHÍNH HợP1Định nghĩaVí dụ 3. Một nhóm học tập có năm bạn A, B, C, D, E. Hãy kể ra vài cách phân công ba bạn làm trực nhật : một bạn quét nhà, một bạn lau bảng và một bạn sắp bàn và ghế. Giải. Ta có bảng phân công sau đây. | Quét nhà Lau bảng Sắp bàn và ghế A. C D A. D C C B EMỗi cách phân công nêu trong bảng trên cho ta một chỉnh hợp chập 3 của 5. Ba Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau đây. ĐINH NGHIA • Cho tập hợp A gồm n thành phần ( n > 1 ). Kết quả của việc lấy k thành phần khác nhau từ n thành phần của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n thành phần đã cho. 汽 。 mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Liệt kê toàn bộ những vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho. 4 – ĐAI SỐ và G | ẢI TÍCH 11 – A 2. Số những chỉnh hợpTrở lại. Ví dụ 3, ngoài cách tính số cách phân công trực nhật bằng giải pháp liệt kê, ta còn có một cách khác là sử dụng quy tắc nhân. Để tạo nên mọi cách phân công, ta thực thi như sau : – Chọn một bạn từ năm bạn để giao việc quét nhà. Có 5 cách. – Khi đã chọn một bạn quét nhà rồi, chọn tiếp một bạn từ bốn bạn còn lại để giao việc lau bảng. Có 4 cách. – Khi đã có những bạn quét nhà và lau bảng rồi, chọn một bạn từ ba bạn còn lại để giao việc sắp bàn và ghế. Có 3 cách. Theo quy tắc nhân, số cách phân công trực nhật là5. 4.3 = 60 ( cách ) … ; Nói cách khác, ta có 60 chỉnh hợp chập 3 của 5 bạn. = Kí hiệu A. là số những chỉnh hợp chập k của n thành phần ( 1 < k < n ). Ta có định lí Sau đây. ĐINH LíA = n ( n-1 ) ... ( n - k + 1 ). Chứng minh. Để tạo nên mọi chỉnh hợp chập k của n thành phần, ta thực thi nhur sau : Chọn một trong n thành phần đã cho xếp vào vị trí thứ nhất. Có n cách. Khi đã có thành phần thứ nhất, chọn tiếp một trong n − 1 thành phần còn lại xếp vào vị trí thứ hai. Có n − 1 cách. Sau khi đã chọn k = 1 thành phần rồi, chọn một trong n − ( k = 1 ) thành phần còn lại xếp vào vị trí thứ k. Có n = k + 1 cách. Từ đó theo quy tắc nhân, ta đượcA. = n ( n-1 ) ... ( n - k + 1 ). Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ những chữ số 1, 2, ..., 9 ? Giải. Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự - ric 11 nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9. Vậy số những số đó làA3 = 9.8.7, 6.5 = 15 120. CHÚ Ýa ). Với quy ước 01 = 1, ta cób ). Mỗi hoán vị của n thành phần cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n thành phần đó. Vì vậyΙΙΙ - ΤόHOP1. Định nghĩaVí dụ 5. Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi hoàn toàn có thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà những đỉnh thuộc tập bốn điểm đã cho ? Giải. Mỗi tam giác ứng với một tập con gồm ba điểm từ tập đã cho. Vậy ta có bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD, m Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau đây. ĐINH NGHIA Giả sử tập A có n thành phần ( n > 1 ). Mỗi tập con gồm k thành phần của A được gọi là một tổng hợp chập k của n thành phần đã cho. CHÚ Ý Số k trong định nghĩa cần thoả mãn điều kiện kèm theo 1 < k < m. Tuy vậy, tập hợp không có thành phần nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổng hợp chập 0 của n thành phần là tập rỗng. 4. 汽 。 tập A = { 1,2,3,4,5 }. Hãy liệt kê những tổng hợp chập 3, chập 4 của 5 thành phần của A. 51 2.52 Số những tổng hợp Kí hiệu C là số những tổng hợp chập k của n thành phần ( 0 < k < n ). Ta có định lí sau đây. ĐINH LíChứng minh. Với k = 0, công thức hiển nhiên đúng. Với ki > 1, ta thấy một chỉnh hợp chập k của n thành phần được xây dựng như sau : – Chọn một tập con k thành phần của tập hợp gồm n thành phần. Có C. cách chọn. – Sắp thứ tự k thành phần chọn được. Có k ! cách. Vậy theo quy tắc nhân, ta có số những chỉnh hợp chập k của n thành phần là A = C.k. k Từ đó C = ^ i = ~ ” … = k ! k ! ( n-k ) Ví dụ 6. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi : a ) Có tổng thể bao nhiêu cách lập ? b ) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có ba nam, hai nữ ? Gidi a ). Mỗi đoàn được lập là một tổng hợp chập 5 của 10 ( người ). Vì vậy, số đoàn đại biểu hoàn toàn có thể có làci – : = 252 515 b ) Chọn 3 người từ 6 nam. Có Cổ cách chọn. Chọn 2 người từ 4 nữ. Có Cả cách chọn. Theo quy tắc nhân, có tổng thể Cổ. Cả = 20.6 = 120 cách lập đoàn đại biểu gồm ba nam và hai nữ. m. 5 Có 16 đội bóng đá tham gia tranh tài. Hỏi cần phải tổ chức triển khai bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng một lần ? 3. Tính chất của những số CiTừ định lí về công thức tính số những tổng hợp chập k của n thành phần, ta có những đặc thù sau đây. a ) Tính chất 1 3 – rト4ー Chẳng hạn, C } = C } = 35. b ) Tính chất 2 ( công thức Pa-xcan ) Chẳng hạn, C } + C = C3 = 70. Ví dụ 7. Chứng minh rằng, với 2 < k < n − 2, ta có k-2 k-1 C = C-5 + 2C-3 + C 2. Giải. Theo Tính chất 2, ta có C3 + C = C, ( 1 ) Cf } + C_2 = C. ( 2 ) Cộng những vế tương ứng của ( 1 ) và ( 2 ) và theo Tính chất 2, ta cók-2 kー k 雄 C-2 + 2C, + C ), 2 = C ; } -- C - = C.B Ả I ĐQ C TH Ê MTÍNH SỐ CÁC HOÁN Vị VA SỐ CÁC Tổ HợP | BẢNG MÁY TÍNH BỞ TÚ | Có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tính số những hoán vị n ! và số những tổng hợp C. 1.2.3. 1. Tính số những hoán vị bằng máy tính bỏ túi Dùng máy tính bỏ túi CASIO fX – 500MS để tính n !, ta ấn những phím theo trình tự SaUshift se " Ấn số n, ấn phím ( ) ấn phím ( * ), ấn phím ( = ). Khi đó, hiệu quả sẽ hiển thị ở dòng thứ hai. Ví dụ 1. Tính 10 !. Ta bấm liên tục những phím sau : حمدO ( ( SCE ) Dòng thứ hai hiện ra 3,628,800. Vậy 101 = 3 628.800. 2. Tính số những tổng hợp bằng máy tính bỏ túi Dùng máy tính bỏ túi CASIOfX - 500MS để tính C., ta ấn những phím theo trình tự sau : Ấn sốn, ấn phím ( " cề ấn số 8, ấn phím ( - ). Kết quả hiển thị ở dòng thứ hai. Ví dụ 2. Tính Ci. Ta ấn liên tục những phím sau : [ @ @ @ @ @ 、 Dòng thứ hai hiện ra 792.5 Vậy Cl2 = 792. Bời tập Từ những chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập những số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi : a ) Có tổng thể bao nhiêu số ? b ) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ? c ) Có bao nhiêu số bé hơn 432.000 ? Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy ? Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho ( mỗi lọ cắm một bông ) ? Có bao nhiêu cách mắc tiếp nối đuôi nhau 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ? Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau ( mỗi lọ cắm không quá một bông ) nếu : a ) Các bông hoa khác nhau ? b ) Các bông hoa như nhau ? Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi hoàn toàn có thể lập được bao nhiêu tam giác mà những đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho ? Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó ? NHI THỨC NIU-TONI - CÔNG THỨC NHI THỨC NIU-TỞNTa có : ( a + b ) * = a ' * + 2 ab + b * = Cao + cha'b ' ' + C3bo, ( a + b = a + 3 a ° b-3abo+b = ca ” + Caobo + Cabo + Cibo. Khai triển biểu thức ( a + b ) " thành tổng những đơn thức. Tổng quát, ta thừa nhận công thức khai triển biểu thức ( a + b ) ” thành tổng những đơn thức như sau : ( a + b ) " = Cola " + Cla " ' ' b + ... + Clia " * b * + ... + C7, l'ab " ' + Cfb ". ( 1 ) Công thức ( 1 ) được gọi là công thức nhị thức Wiu-fơn. 55

Đánh giá bài viết