I. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là những hàm số dạng y = xα ( α ∈ R ). Các hàm số lũy thừa tập xác lập khác nhau, tùy theo α :– Nếu α nguyên dương thì tập những định là R .

– Nếu α nguyên âm hoặc α=0 thì tập các định là R∖{0}.

– Nếu α không nguyên thì tập những định là ( 0 ; + ∞ ) .

II. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

– Hàm số y = xα có đạo hàm tại mọi x ∈ ( 0 ; + ∞ ) và y ′ = ( xα ) ′ = αxα − 1– Nếu hàm số u = u ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng chừng JJ thì hàm số y = uα ( x ) cũng có đạo hàm trên Jy ′ = [ uα ( x ) ] ′ = αuα − 1 ( x ) u ′ ( x )

III. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm lũy thừa y = xn có tập xác lập là R và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được lan rộng ra thành ∀ x ∈ R, ( xn ) ′ = nxn − 1 và ∀ x ∈ J, [ un ( x ) ] ′ = nun − 1 ( x ) u ′ ( x ) nếu u = u ( x ) có đạo hàm trong khoảng chừng J .

IV. Đạo hàm hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số y = xn có tập xác lập là R ∖ { 0 } và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được lan rộng ra thành ∀ x ≠ 0, ( xn ) ′ = nxn − 1và ∀ x ∈ J, [ un ( x ) ] ′ = nun − 1 ( x ) u ′ ( x )nếu u = u ( x ) ≠ 0 có đạo hàm trong khoảng chừng J .

V. Đạo hàm của căn thức

Hàm số y = n √ x hoàn toàn có thể xem là lan rộng ra của hàm lũy thừa y = x1 / n ( tập xác lập của y = n √ x chứa tập xác lập của y = x1 / n và trên tập xác lập của y = x1 / n thì hai hàm số trùng nhau ) .Khi n lẻ thì hàm số y = n √ x có tập xác lập R. Trên khoảng chừng ( 0 ; + ∞ ) ta có y = n √ x = x1 / n và ( x1 / n ) ′ = 1 / nx1n − 1 do đó ( n √ x ) ′ = 1 n √ x-1 .

Công thức này còn đúng cả với x<0

Khi n chẵn hàm y = n √ x có tập xác lập là [ 0 ; + ∞ ), không có đạo hàm tại x = 0 và có đạo hàm tại mọi x > 0 tính theo công thức 🙁 n √ x ) ′ = 1 / nn √ xn-1Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra : Nếu u = u ( x ) là hàm có đạo hàm trên khoảng chừng J và thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo u ( x ) > 0, ∀ x ∈ J khi n chẵn, u ( x ) ≠ 0, ∀ x ∈ J khi n lẻ thì∀ x ∈ J, ( n √ u ( x ) ) ′ = u ′ ( x ) / n √ un-1 ( x )

VI. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞)

  • Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1).
  • Khi α>0 hàm số luôn đồng biến, khi α<0 hàm số luôn nghịch biến.
  • Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α>0. Khi α<0 đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy.

V.Khảo sát hàm số lũy thừa

Ta có :

Hình dạng của đồ thị hàm số y = xα trong những trường hợp xét trên tập ( 0, + ∞ )

Bài tập

Tính đạo hàm hàm số lũy thừa : y = x − 2/3 ; y = xπ ; y = x √ 2

Lời giải chi tiết

y ′ = ( x − 2/3 ) ′ = − 2/3. x ( − 2/3 − 1 ) = − 2/3. x − 5/3y ′ = ( xπ ) ′ = π. xπ − 1y ′ = ( x √ 2 ) ′ = √ 2. x √ 2 − 1

Đánh giá bài viết