1. Hàm số logarit

– Hàm số logarit cơ số \ ( a \ ) là hàm số có dạng \ ( y = { \ log _a } x \ left ( { 0 < a \ ne 1 } \ right ) \ ) . - Hàm số logarit có đạo hàm tại \ ( \ forall x > 0 \ ) và \ ( y ‘ = \ left ( { { { \ log } _a } x } \ right ) ‘ = \ dfrac { 1 } { { x \ ln a } } \ )

(đặc biệt \(\left( {\ln x} \right)’ = \dfrac{1}{x}\) )

– Giới hạn tương quan \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ dfrac { { \ ln \ left ( { 1 + x } \ right ) } } { x } = 1 \ ) .
– Đạo hàm : \ ( y = { \ log _a } x \ Rightarrow y ‘ = \ left ( { { { \ log } _a } x } \ right ) ‘ = \ dfrac { 1 } { { x \ ln a } } ; y = { \ log _a } u \ left ( x \ right ) \ Rightarrow y ‘ = \ dfrac { { u ‘ \ left ( x \ right ) } } { { u \ left ( x \ right ) \ ln a } } \ )
( đặc biệt quan trọng \ ( \ left ( { \ ln x } \ right ) ‘ = \ dfrac { 1 } { x } \ ) )

Khảo sát \(y = {\log _a}x\):

– TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

– Chiều biến thiên:

+ Nếu \ ( a > 1 \ ) thì hàm đồng biến trên \ ( \ left ( { 0 ; + \ infty } \ right ) \ ) .
+ Nếu \ ( 0 < a < 1 \ ) thì hàm nghịch biến trên \ ( \ left ( { 0 ; + \ infty } \ right ) \ ) .

– Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \ ( x = 0 \ ) .
+ Đồ thị hàm số luôn đi qua những điểm \ ( \ left ( { 1 ; 0 } \ right ) \ ) và \ ( \ left ( { a ; 1 } \ right ) \ ) .
+ Đồ thị nằm trọn vẹn phía bên phải trục tung vì \ ( x > 0 \ ) .
+ Dáng đồ thị :

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện để các logarit xác định.

Hàm số \ ( { \ log _a } \ left ( { u \ left ( x \ right ) } \ right ) \ ) xác lập \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } a > 0 \ \ u \ left ( x \ right ) > 0 \ end { array } \ right. \ )

– Bước 2: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, biểu thức dưới mẫu trong các phân thức,…(nếu có).

+ Căn bậc hai \ ( \ sqrt { u \ left ( x \ right ) } \ ) xác lập nếu \ ( u \ left ( x \ right ) \ ge 0 \ ) .
+ Phân thức \ ( \ dfrac { { u \ left ( x \ right ) } } { { v \ left ( x \ right ) } } \ ) xác lập nếu \ ( g \ left ( x \ right ) \ ne 0 \ ) .

– Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên và kết hợp nghiệm ta được tập xác định của hàm số.

Dạng 2: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

– Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn \ ( 1 \ ) .
+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn \ ( 0 \ ) và nhỏ hơn \ ( 1 \ ) .

– Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

– Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Đối với một số ít bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý quan tâm thêm đến 1 số ít yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng, …

Dạng 4: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

\ ( \ left ( { u \ pm v } \ right ) ‘ = u ‘ \ pm v ‘ ; \ left ( { uv } \ right ) ‘ = u’v + uv ‘ ; \ left ( { \ dfrac { u } { v } } \ right ) ‘ = \ dfrac { { u’v – uv ‘ } } { { { v ^ 2 } } } \ )

– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

– Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 5: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng những công thức tính số lượng giới hạn đặc biệt quan trọng để đo lường và thống kê :
\ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ dfrac { { \ ln \ left ( { 1 + x } \ right ) } } { x } = 1 \ ) ; \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ dfrac { { { { \ log } _a } \ left ( { 1 + x } \ right ) } } { x } = \ dfrac { 1 } { { \ ln a } } \ )

Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ và hàm số logarit trên một đoạn.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’\), tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},…,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]\) của phương trình \(y’ = 0\).

– Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right)\).

– Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN \ ( m \ ) là số nhỏ nhất trong những giá trị tính được .
+ GTLN \ ( M \ ) là số lớn nhất trong những giá trị tính được .

Đánh giá bài viết