Giải phương trình 2 số phức là là một chủ để hay thuộc chương số phức lớp 12. Trong bài viết này mình sẽ san sẻ với bạn không chỉ triết lý mà còn 6 dạng bài tập thường gặp. Đi kèm chiêu thức luôn có ví dụ kèm giải thuật chi tiết cụ thể. Phần cuối có bài tập rèn luyện kĩ năng với kỳ vọng bạn luyện tốt chủ đề này. Ta khởi đầu

1. Lý thuyết phương trình bậc 2 số phức

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn nhu cầu USD { { z } ^ { 2 } } = w USD được gọi là một căn bậc hai của w

b) Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai USD a { { x } ^ { 2 } } + bx + c = 0 \, \, \ left ( a, \, b, \, c \ in \ mathbb { R } ; \, a \ ne 0 \ right ) USD. Xét USD \ Delta = { { b } ^ { 2 } } – 4 ac USD, ta có∆ = 0 phương trình có nghiệm thực $x=-\frac{b}{2a}$.∆ > 0: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: ${{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.∆ ∆ = 0 phương trình có nghiệm thực USD x = – \ frac { b } { 2 a } USD. ∆ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác lập bởi công thức : USD { { x } _ { 1,2 } } = \ frac { – b \ pm \ sqrt { \ Delta } } { 2 a } USD. ∆

Chú ý.

Bạn đang xem: Giải phương trình trên tập số phức

Mọi phương trình bậc n: ${{A}_{o}}{{z}^{n}}+{{A}_{1}}{{z}^{n-1}}+…+{{A}_{n-1}}z+{{A}_{n}}=0$ luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( a\ne 0 \right)$ có hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét $\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a} \hfill \\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

2. Các dạng bài tập giải phương trình số phức

Dạng 1. Phương trình bậc hai với hệ số phức

Mọi phương trình bậc n : USD { { A } _ { o } } { { z } ^ { n } } + { { A } _ { 1 } } { { z } ^ { n-1 } } + … + { { A } _ { n-1 } } z + { { A } _ { n } } = 0 USD luôn có n nghiệm phức ( không nhất thiết phân biệt ). Hệ thức Vi – ét so với phương trình bậc hai với thông số thực : Cho phương trình bậc hai USD a { { x } ^ { 2 } } + bx + c = 0 \, \, \ left ( a \ ne 0 \ right ) USD có hai nghiệm phân biệt ( thực hoặc phức ). Ta có hệ thức Vi – ét USD \ left \ { \ begin { gathered } S = { x_1 } + { x_2 } = – \ frac { b } { a } \ hfill \ \ P = { x_1 }. { x_2 } = \ frac { c } { a } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. USD*

Ví dụ: Biết ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm số phức của phương trình ${{z}^{2}}-2z+4=0.$ Tính |z1| + |z2|.

Lời giảiTa có USD \ Delta = { { b } ^ { 2 } } – 4 ac = – 12 USDCăn bậc hai của ∆ là USD \ pm i \ sqrt { 12 } USDSuy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là USD { { z } _ { 1 } } = \ frac { 2 + i \ sqrt { 12 } } { 2 } USD và USD { { z } _ { 1 } } = \ frac { 2 – i \ sqrt { 12 } } { 2 } USD

Dạng 2: Tìm các thuộc tính của số phức thỏa mãn điều kiện K

*

Ví dụ: Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện

a ) ( 2 − i ) x + ( 2 + y ) i = 2 + 2 ib ) USD \ frac { { x – 2 } } { { 1 + i } } + \ frac { { y – 3 } } { { 1 – i } } = i USDLời giải*

Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giảiChuẩn hóa số phức, dựa vào điều kiện kèm theo đã cho để tìm số phức z

Ví dụ: Cho số phức ${{z}_{1}}\ne 0,$ ${{z}_{2}}\ne 0$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|.$ Tính giá trị của biểu thức $P={{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{4}}+{{\left( \frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right)}^{4}}$

Lời giảiChuẩn hóa $ { { z } _ { 1 } } = 1, USD đặt USD { { z } _ { 2 } } = a + bi, \ left ( a, b \ in R \ right ), USD khi đó USD \ left | { { z } _ { 2 } } \ right | = \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } } USD

*

Dạng 4. Bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức

Phương pháp giải*Các bất đẳng thức cổ xưa*

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của P = |z|

Lời giải*

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |iz + 4 – 3i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

Lời giải*

Dạng 5. Sử dụng bình phương vô hướng

Phương pháp giải*

Ví dụ .

Xem thêm: Công Thức Tính Góc Giữa 2 Đường Thẳng Trong Oxyz, Góc Giữa Hai Đường Thẳng

Cho hai số phức z1, x2 thỏa mãn |z1 + 2z2| = 5 và |3z1 – z2| = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z1| + |z2|

Lời giải*

Dạng 6. Sử dụng hình chiếu và tương giao

Phương pháp giải*

Ví dụ: Cho các số phức z = x + iy, (x, y ∈ R) thỏa mãn |z + 2 – 2i | = |z – 4i| Tìm giá trị nhỏ nhất của |iz + 1|.

Lời giải*

3. Bài tập phương trình số phức

Câu 1. Trong $\mathbb{C}$, phương trình $2{{x}^{2}}+x+1=0$ có nghiệm là:

A. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( -1-\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( -1+\sqrt{7}i \right)$

B. USD { { x } _ { 1 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 + \ sqrt { 7 } i \ right ) ; { { x } _ { 2 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 – \ sqrt { 7 } i \ right ) USDC. USD { { x } _ { 1 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( – 1 + \ sqrt { 7 } i \ right ) ; { { x } _ { 2 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 – \ sqrt { 7 } i \ right ) USDD. USD { { x } _ { 1 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 + \ sqrt { 7 } i \ right ) ; { { x } _ { 2 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( – 1 – \ sqrt { 7 } i \ right ) USD

Đánh giá bài viết