Các Cách Giải Hệ Phương Trình Có Chứa Căn Thức, Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Chứa Căn Thức

Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn là một dạng toán phổ biến trong chương trình toán lớp 9 và lớp 10. Vậy có những dạng PT chứa căn nào? Phương pháp giải phương trình chứa căn?… Trong nội dung bài viết dưới dây, lingocard.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề PT chứa căn, cùng tìm hiểu nhé!

Mục lục

1 Nhắc lại kiến thức căn bản 2 Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 2 2.3 Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 lớp 9 nâng cao3 Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 34 Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 45 Tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức5.2 Cách giải bất phương trình chứa căn khó 6 Tìm hiểu về hệ phương trình chứa căn khó6.2 Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Nhắc lại kiến thức căn bản 

Để xử lý được những bài toán phương trình chứa căn thì tiên phong những bạn phải nắm rõ được những kỹ năng và kiến thức về căn thức cũng như những hằng đẳng thức quan trọng .
Đang xem : Các cách giải hệ phương trình có chứa căn thức

Định nghĩa căn thức là gì?

Căn bậc 2 ( căn bậc hai ) của 1 số ít ( a ) không âm là số ( x ) sao cho ( x ^ 2 = a )

Như vậy, mỗi số dương ( a ) có hai căn bậc 2 là ( sqrt { a } ; – sqrt { a } )
Tương tự như vậy, ta có định nghĩa căn bậc 3, bậc 4 :
Căn bậc 3 ( căn bậc ba ) của 1 số ít ( a ) là số ( x ) sao cho ( x ^ 3 = a ). Mỗi số ( a ) chỉ có duy nhất một căn bậc 3
Căn bậc 4 của 1 số ít ( a ) không âm là số ( x ) sao cho ( x ^ 4 = a ). Mỗi số dương ( a ) có hai căn bậc 4 là ( sqrt < 4 > { a } ; – sqrt < 4 > { a } )

Các hằng đẳng thức quan trọng 

*

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 2 

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 2 là gì?

Phương trình chứa căn bậc 2 là phương trình có chứa đại lượng ( sqrt { f ( x ) } ). Với dạng toán này, trước khi mở màn giải thì ta luôn phải tìm điều kiện kèm theo để biểu thức trong căn có nghĩa, tức là tìm khoảng chừng giá trị của ( x ) để ( f ( x ) geq 0 ) .

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 đơn giản

Phương pháp bình phương 2 vế được sử dụng để giải PT chứa căn bậc 2. Đây được xem là giải pháp đơn thuần và hay được sử dụng nhất, thường được dùng với những phương trình dạng : ( sqrt { f ( x ) } = g ( x ) )

Bước 1: Tìm điều kiện của (x) để (f(x) geq 0; g(x) geq 0)Bước 2: Bình phương hai vế, rồi rút gọnBước 3: Giải tìm (x) và kiểm tra có thỏa mãn điều kiện hay không.

Ví dụ :
Giải phương trình : ( sqrt { x ^ 2-4 x + 3 } = 3 x – 7 )
Cách giải :
ĐKXĐ :

(left{egin{matrix} x^2-4x+3 geq 0\ 3x-7 geq 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} (x-1)(x-3)geq 0\3x geq 7 end{matrix}
ight.)

( Leftrightarrowleft { egin { matrix } leftegin { array } { l } x geq 3 \ x leq 1 end { array } ight. \ xgeq frac { 7 } { 3 } end { matrix } ight. Leftrightarrow xgeq 3 )
Bình phương 2 vế, ta có :
( x ^ 2-4 x + 3 = 3 x – 7 Leftrightarrow x ^ 2-7 x + 10 = 0 )
( Leftrightarrow ( x-2 ) ( x-5 ) = 0 Leftrightarrow leftegin { array } { l } x = 2 \ x = 5 end { array } ight. )
Kiểm tra điều kiện kèm theo thấy ( x = 5 ) thỏa mãn nhu cầu
Kết luận : Nghiệm của phương trình đã cho là ( x = 5 )

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 lớp 9 nâng cao

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp này sử dụng những bất đẳng thức cơ bản để chứng tỏ :
Vế trái ( geq ) Vế phải hoặc Vế trái ( leq ) Vế phải rồi sau đó “ ép ” cho dấu “ = ” xảy ra .
Ví dụ :
Giải phương trình : ( sqrt { 5 x – x ^ 2-4 } + sqrt { x-1 } = 2 sqrt { 2 } )
Cách làm :
Điều kiện xác lập :

(left{egin{matrix} 5x-x^2-4 geq 0\ x-1 geq 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} (x-1)(x-4) leq 0\ x geq 1 end{matrix}
ight. Leftrightarrow 1leq x leq 4)

Áp dụng BĐT ( sqrt { a } + sqrt { b } leq sqrt { 2 ( a + b ) } ), ta có :
( sqrt { 5 x – x ^ 2-4 } + sqrt { x-1 } leq sqrt { 2 ( 6 x – x ^ 2-5 ) } )
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi :
( 5 x – x ^ 2-4 = x-1 Leftrightarrow ( x-1 ) ( x-3 ) = 0 )
( Leftrightarrow leftegin { array } { l } x = 1 \ x = 3 end { array } ight. hspace { 1 cm } ( 1 ) )
Ta có : ( 6 x – x ^ 2-5 = – ( x ^ 2-6 x + 9 ) + 4 = 4 – ( x-3 ) ^ 2 leq 4 )
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ( x = 3 hspace { 1 cm } ( 2 ) )
Vậy :
( sqrt { 5 x – x ^ 2-4 } + sqrt { x-1 } leq sqrt { 2 ( 6 x – x ^ 2-5 ) } leq sqrt { 8 } = 2 sqrt { 2 } )
Do đó, để thỏa mãn nhu cầu phương trình đã cho thì ( ( 1 ) ( 2 ) ) phải thỏa mãn nhu cầu, hay ( x = 3 )

Phương pháp đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình

Với các phương trình dạng : (sqrt{f(x)} pm sqrt{g(x)} =k) ta có thể đặt ẩn phụ (left{egin{matrix} a=sqrt{f(x)}\ b=sqrt{g(x)} end{matrix}
ight.) rồi giải hệ phương trình hai ẩn (a,b)

Ví dụ :
Giải phương trình : ( sqrt { x ^ 2 + 5 } – sqrt { x ^ 2-3 } = 2 )
Cách giải :
Điều kiện xác lập : ( leftegin { array } { l } x geq sqrt { 3 } \ x leq – sqrt { 3 } end { array } ight. )

Đặt (left{egin{matrix} a= sqrt{x^2+5}\ b= sqrt{x^2-3} end{matrix}
ight.) ta có :

(left{egin{matrix} a-b =2\ a^2-b^2=8 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} a-b=2\ (a-b)(a+b)=8 end{matrix}
ight.)

(Leftrightarrow left{egin{matrix} a-b=2\a+b=4 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} a=3\ b=1 end{matrix}
ight.)

Thay vào ta tìm được ( x = 1 ) ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )
Vậy nghiệm của phương trình là ( x = 1 )

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 3

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt<3>{f(x)}=g(x))

Với dạng bài này, ta lập phương hai vế để phá bỏ căn thức rồi rút gọn sau đó quy về tìm nghiệm của phương trình : ( g ^ 3 ( x ) – f ( x ) = 0 )
Ví dụ :
Giải phương trình : ( sqrt <3 > { 3 x – 4 } = x-2 )
Cách giải :
Lập phương 2 vế phương trình ta có :
( 3 x – 4 = ( x-2 ) ^ 3L eftrightarrow x ^ 3-6 x ^ 2 + 9 x – 4 = 0 )
( Leftrightarrow ( x-1 ) ^ 2 ( x-4 ) = 0 )
( Leftrightarrow leftegin { array } { l } x = 1 \ x = 4 end { array } ight. )

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt<3>{A}+sqrt<3>{B}=sqrt<3>{C})

Với dạng bài này ta lập phương 2 vế, phương trình trở thành :
( A + B + 3 sqrt <3 > { AB } ( sqrt <3 > { A } + sqrt <3 > { B } ) = C )
Thay ( sqrt <3 > { A } + sqrt <3 > { B } = sqrt <3 > { C } ) vào ta được :
( sqrt <3 > { ABC } = C-A-B ( 2 ) )
Phương trình trở về dạng ( sqrt <3 > { f ( x ) } = g ( x ) ) .
Xem thêm : Mẫu Công Văn Đề Nghị Thay Đổi Chỉ Huy Trưởng Công Trình Đấu Thầu
Chú ý : Sau khi giải ra nghiệm, ta cần thử lại vào phương trình đã cho vì phương trình ( ( 2 ) ) chỉ là hệ quả của phương trình khởi đầu
Ví dụ :
Giải phương trình :
( sqrt <3 > { 3 x – 4 } + sqrt <3 > { x + 3 } = sqrt <3 > { 4 x – 1 } )
Cách giải :
Lập phương 2 vế ta được :
( ( 3 x – 4 ) + ( x + 3 ) + 3 sqrt <3 > { ( 3 x – 4 ) ( x + 3 ) }. ( sqrt <3 > { 3 x – 4 } + sqrt <3 > { x + 3 } ) = 4 x – 1 )
( Rightarrow 3 sqrt <3 > { ( 3 x – 4 ) ( x + 3 ) }. sqrt <3 > { 4 x – 1 } = 0 )
( Rightarrow 3 sqrt <3 > { ( 3 x – 4 ) ( x + 3 ) }. sqrt <3 > { 4 x – 1 } = 0 Rightarrow leftegin { array } { l } x = frac { 4 } { 3 } \ x = – 3 \ x = frac { 1 } { 4 } end { array } ight. )
Thử lại thấy cả 3 nghiệm đều thỏa mãn nhu cầu .
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là : ( frac { 4 } { 3 } ; – 3 ; frac { 1 } { 4 } )

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 4

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?

Để giải phương trình chứa căn bậc 4 thì ta cần năm rõ hằng đẳng thức sau đây :
( ( x + y ) ^ 4 = x ^ 4 + 4 x ^ 3 y + 6 x ^ 2 y ^ 2 + 4 x y ^ 3 + y ^ 4 )

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 4

Ví dụ :
Giải phương trình : ( sqrt < 4 > { x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 } – x + 1 )
Cách giải :
Điều kiện xác lập :

( left{egin{matrix} x^4-4x^3+17 geq 0\ x geq 1 end{matrix}
ight.)

Phương trình đã cho tương tự với :
( sqrt < 4 > { x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 } = x-1 Rightarrow x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 = ( x-1 ) ^ 4 )
( Rightarrow x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 = x ^ 4 – 4 x ^ 3 + 6 x ^ 2 – 4 x + 1 )
( Rightarrow 6 x ^ 2-4 x – 16 = 0 Rightarrow ( x-2 ) ( 3 x + 4 ) = 0 )
( Rightarrow leftegin { array } { l } x = 2 \ x = – frac { 4 } { 3 } end { array } ight. )
Kết hợp điều kiện kèm theo ta được nghiệm của phương trình đã cho là ( x = 1 )

Tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức

Về cơ bản, cách giải bất phương trình chứa căn thức không khác cách giải PT chứa căn nhiều, nhưng trong khi trình bày chúng ta cần chú ý về dấu của bất phương trình.

Các dạng bất phương trình chứa căn lớp 10

*

Cách giải bất phương trình chứa căn khó 

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế
Các bước làm cũng tựa như cách giải PT chứa căn
Ví dụ :
Giải bất phương trình : ( x-3-sqrt { 5 – x } geq 0 )
Cách giải :
Điều kiện xác lập :

(left{egin{matrix} x-3 geq 0\ 5-x geq 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x geq 3\ x leq 5 end{matrix}
ight. Leftrightarrow 3 leq x leq 5)

Bất phương trình đã cho tương tự với :
( x-3 geq sqrt { 5 – x } Leftrightarrow x ^ 2-6 x + 9 geq 5 – x )
( Leftrightarrow x ^ 2-5 x + 4 geq 0 Leftrightarrow ( x-4 ) ( x-1 ) geq 0 )

(Leftrightarrow left{egin{matrix} x geq 4\ x leq 1 end{matrix}
ight.)

Kết hợp điều kiện kèm theo ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là ( x in mathbb { R } | xgeq 4 )
Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách nhân phối hợp
Đây là giải pháp nâng cao, dùng để giải những bài toán bất PT chứa căn khó. Phương pháp này dựa trên việc vận dụng những đẳng thức sau :
( sqrt { a } – sqrt { b } = frac { a-b } { sqrt { a } + sqrt { b } } )
( sqrt { a } + sqrt { b } = frac { a-b } { sqrt { a } – sqrt { b } } )
( sqrt <3 > { a } – sqrt <3 > { b } = frac { a-b } { sqrt <3 > { a ^ 2 } + sqrt <3 > { ab } + sqrt <3 > { b ^ 2 } } )
( sqrt <3 > { a } + sqrt <3 > { b } = frac { a + b } { sqrt <3 > { a ^ 2 } – sqrt <3 > { ab } + sqrt <3 > { b ^ 2 } } )
Ví dụ :
Giải bất phương trình : ( sqrt { x + 5 } – sqrt { 2 x + 3 } geq x ^ 2-4 )
Cách giải :
Điều kiện :

(left{egin{matrix} x geq -5\ x geq -frac{3}{2} end{matrix}
ight. Leftrightarrow xgeq -frac{3}{2})

Ta có :
( sqrt { x + 5 } – sqrt { 2 x + 3 } = frac { ( x + 5 ) – ( 2 x + 3 ) } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } = frac { 2 – x } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } )
( x ^ 2-4 = ( x-2 ) ( x + 2 ) )
Vậy bất phương trình đã cho tương tự với :
( frac { 2 – x } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } geq ( x-2 ) ( x + 2 ) )
( Leftrightarrow ( x-2 ) ( x + 2 + frac { 1 } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } ) leq 0 )
Từ ĐKXĐ có ( x geq frac { 3 } { 2 } Rightarrow x + 2 geq frac { 1 } { 2 } > 0 )
Vậy nên :
( x + 2 + frac { 1 } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } geq 0 )
Vậy bất phương trình đã cho tương tự với :
( x-2 leq 0 Leftrightarrow x leq 2 )
Kết hợp Điều kiện xác lập ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là :
( – frac { 3 } { 2 } leq x leq 2 )

*

*

*

*

Tìm hiểu về hệ phương trình chứa căn khó

Giải hệ phương trình chứa căn bằng phương pháp thế

Đây là chiêu thức đơn thuần và thường được sử dụng trong những bài toán hệ PT chứa căn. Để giải hệ phương trình chứa căn bằng chiêu thức thế, ta làm theo những bước sau :
Bước 1 : Tìm Điều kiện xác địnhBước 2 : Chọn một phương trình đơn thuần hơn trong số hai phương trình, biến hóa để quy về dạng : ( x = f ( y ) ) Bước 3 : Thay ( x = f ( y ) ) vào phương trình còn lại rồi giải phương trình theo ẩn ( y ) Bước 4 : Từ ( y ) thay vào ( x = f ( y ) ) để tìm ra ( x ). Đối chiều với ĐKXĐ rồi Tóm lại
Ví dụ :
Giải hệ phương trình :

(left{egin{matrix} sqrt{x+1}=y+2\ sqrt{x+2y-1}=2y+1 end{matrix}
ight.)

Cách giải :
Điều kiện xác lập :

(left{egin{matrix} xgeq -1\y geq -2 \ x geq 1-2y \ y geq -frac{1}{2} end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeq -1 \ x geq 1-2y \ y geq -frac{1}{2} end{matrix}
ight.)

Từ PT ( 1 ) ta có :
( x + 1 = ( y + 2 ) ^ 2 = y ^ 2 + 4 y + 4 )
( Leftrightarrow x = y ^ 2-4 y + 3 hspace { 1 cm } ( * ) )
Thay vào PT ( 2 ) ta được :
( sqrt { y ^ 2 + 4 y + 3 + 2 y – 1 } = 2 y + 1 )
( Leftrightarrow y ^ 2 + 6 y + 2 = 4 y ^ 2 + 4 y + 1 )
( Leftrightarrow 3 y ^ 2 – 2 y – 1 = 0 )
( Leftrightarrow ( 3 y + 1 ) ( y-1 ) = 0 Leftrightarrow leftegin { array } { l } y = 1 \ y = – frac { 1 } { 3 } end { array } ight. )
Thay vảo ( ( * ) ) ta được :
( leftegin { array } { l } y = 1 ; x = 8 \ y = – frac { 1 } { 3 } ; x = frac { 1 } { 9 } end { array } ight. )
Kết hợp điều kiện kèm theo xác lập thấy cả hai cặp nghiệm đều thỏa mãn nhu cầu .
Xem thêm : Soạn Bài Đặc Điểm Của Văn Bản Nghị Luận Ngắn Nhất, Soạn Bài Đặc Điểm Của Văn Bản Nghị Luận

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình gồm 2 ẩn ( x ; y ) sao cho khi ta biến hóa vai trò ( x ; y ) cho nhau thì hệ phương trình không biến hóa :

(left{egin{matrix} f(x;y)=0\g(x;y)=0 end{matrix}
ight.)

Với :

(left{egin{matrix} f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)= g(y;x) end{matrix}
ight.)

Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Đối với dạng toán này, cách giải vẫn giống như những bước giải hệ phương trình đối xứng loại 1, chú ý quan tâm có thêm bước tìm ĐKXĐ
Bước 1 : Tìm Điều kiện xác địnhBước 2 : Đặt ( S = x + y ; P = xy ) ( với ( S ^ 2 geq 4P ) ). Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa ( S ; P ). Bước 3 : Giải hệ mới tìm ( S ; P ). Chọn ( S ; P ) thỏa mãn nhu cầu ( S ^ 2 geq 4P ) Bước 4 : Với ( S ; P ) tìm được thì ( x ; y ) là nghiệm của phương trình : ( t ^ 2 – St + P = 0 ) ( sử dụng định lý Vi-ét hòn đảo để giải )
Chú ý :
Một số trình diễn đối xứng qua ( S ; P ) :
Nếu ( ( x ; y ) = ( a ; b ) ) là nghiệm thì ( ( x ; y ) = ( b ; a ) ) cũng là nghiệm của hệ phương trình
Ví dụ :
Giải hệ phương trình :

(left{egin{matrix} x+y-sqrt{xy}=3\ sqrt{x+1} + sqrt{y+1}=4 end{matrix}
ight.)

Cách giải :
ĐKXĐ :

(left{egin{matrix} x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 end{matrix}
ight. hspace{1cm} (*))

Đặt (S=x+y hspace{5mm}; P=xy) với (left{egin{matrix} S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 end{matrix}
ight. hspace{1cm} (**))

Bình phương 2 vế PT ( 2 ) hệ phương trình đã cho tương tự với :

(left{egin{matrix} x+y-sqrt{xy}=3\ x+y+2+sqrt{x+y+xy+1}=16 end{matrix}
ight.)

(Leftrightarrow left{egin{matrix} S- sqrt{P} =3 \S+2+2sqrt{S+P+1}=16 end{matrix}
ight.)

(Leftrightarrow left{egin{matrix} P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrt{S+P+1} end{matrix}
ight.) với (3leq Sleq 14)

Thay ( P = S ^ 2 – 6S + 9 ) từ PT ( 1 ) vào PT ( 2 ) ta có :
( S-14 = – 2 sqrt { S ^ 2-5 S + 10 } )
( Leftrightarrow S ^ 2-28 S + 196 = 4 ( S ^ 2-5 S + 10 ) )
( Leftrightarrow 3S ^ 2 + 8S-156 = 0 Leftrightarrow ( S-6 ) ( 3S + 26 ) = 0 )

(Leftrightarrow left{egin{matrix} S=6\S=-frac{26}3{} end{matrix}
ight.)

Kết hợp ĐKXĐ ta được ( S = 6 Rightarrow P = 9 )
Vậy ( x ; y ) là nghiệm của phương trình :

(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)

Vậy ( x = y = 3 ) ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo ) .

Bài viết trên đây của lingocard.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về PT chứa căn thức cũng như phương pháp giải phương trình chứa căn, bất phương trình, hệ PT chứa căn. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương trình chứa căn thức. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình

Điều hướng bài viết

Đánh giá bài viết