Tóm tắt kiến thức và Giải bài 1,2,3,4 trang 26; Bài 5,6,7,8 trang 27 SGK hình học 10: Hệ trục tọa độ – Chương 1 Véctơ.

A. Tóm tắt kiến thức hệ trục tọa độ

1. Trục và độ dài đại số trên trục

a ) Trục tọa độ : Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác lập một điểm gốc O và một vec tơ đơn vị chức năng → e

b) Tọa độ của một điểm: Ứng với mỗi điểm M trên trục tọa độ thì có một số thực k sao cho →OM = k =  →e

Số k được gọi là tọa độ của điểm M so với trục đã cho .
c ) Độ dài đại số : Cho hai điểm A, B trên trục số, sống sót duy nhất một số ít a sao cho → AB = a → e
a được gọi là độ dài đại số của vectơ → AB, kí hiệu a = → AB .
Chú ý :
– Nếu vectơ → AB cùng hướng với vec tơ đơn vị chức năng → e của trục thì ‾ AB > 0, còn nếu → AB ngược hướng với vec tơ đơn vị chức năng → e thì ‾ AB < 0 – Nếu điểm A có tọa độ trên trục là a và điểm B có tọa độ là b thì ‾ AB = b - a

2. Hệ trục tọa độ

a ) Định nghĩa : Hệ trục tọa độ ( 0 ; → i ; → j ) gồm hai trục ( 0 ; → i ) và ( 0 ; → j ) vuông góc với nhau .
O là gốc tọa độ ( 0 ; → i ) là trục hoành
( 0 ; → j ) là trục tung | → i | = | → j | = 1
Mặt phẳng được trang bị một hệ tọa độ được gọi là mặt phẳng tọa độ
b ) Tọa độ vectơ → u = x → i + y → j ⇔ u = ( x ; y )
hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi những tọa độ tương ứng bằng nhau → u = ( x ; y ) ; → u ’ = ( x ’ ; y ’ )
→ u = → u ’ ⇔ x = x ’
và y = y ’
c ) Tọa độ một điểm : Với mỗi điểm M trong mặt phẳng tọa độ thì tọa độ của vec tơ → OM được gọi là tọa độ của điểm M. → OM = x → i + y → j ⇔ M ( x ; y )
d ) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và của vectơ :
cho hai điểm A ( xA ; yA ), B ( xB ; yB )
Ta có → AB = ( xA – xB ; yA – yB )
Tọa độ của vec tơ thì bằng tọa độ của điểm ngọn trừ đi tọa độ tương ứng của điểm đầu .

3. Tọa độ của tổng, hiệu ,tích của một số với một vectơ

Cho hai vec tơ → u = ( u1 ; u2 ), → v = ( v1 ; v2 )
Ta có → u + → v = ( u1 + v1 ; u2 + v2 )
→ u – → v = ( u1 – v1 ; u2 – v2 )
k. → u = = ( ku1 ; ku2 ) .

4. Tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác

a ) Tọa độ trung điểm : Cho hai điểm A ( xA ; yA ), B ( xB ; yB ) tọa độ của trung điểm I ( xI ; yI ) được tính theo công thức :
xI = 50% ( xA + xB ) yI = 50% ( yA + yB ) .
b ) Tọa độ trọng tâm : Tam giác ABC có 3 đỉnh A ( xA ; yA ), B ( xB ; yB ) ; C ( xC ; yC ). Trọng tâm G của tam giác có tọa độ :
xG = 1/3 ( xA + xB + xC ) yG = 1/3 ( yA + yB + yC ) .

B. Hướng dẫn giải bài tập SGK Toán hình học lớp 10 trang 26,27

Bài 1.Trên trục (O, →e ) cho các điểm A, B, M có tọa độ lần lượt là -1, 2, 3, -2 .

a ) Hãy vẽ trục và trình diễn những điểm đã cho trên trục ;
b ) Tính độ dài đại số của → AB và → MN. Từ đó suy ra hai vectơ → AB và → MN ngược hướng .

Giải: a) Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trụcbai-1-trang-26-hinh-10

b)Ta có: ‾AB = 2 – (-1) = 3; ‾MN = -2-3= -5. Từ đây ta có  →AB
= 3→e, →MN= -5→e  và suy ra →AB =-3/5→MN => vectơ →AB và →MN  là hai vectơ ngược hướng.

Bài 2.Trong mặt phẳng tọa độ các mệnh đề sau đúng hay sai?

a ) → a = ( – 3 ; 0 ) và → i = ( 1 ; 0 ) là hai vectơ ngược hướng ;
b ) → a = ( 3 ; 4 ) và → i = ( – 3 ; – 4 ) là hai vectơ đối nhau ;
c ) → a = ( 5 ; 3 ) và → i = ( 3 ; 5 ) là hai vectơ đối nhau ;
d ) hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau

Giải: Các em hãy biểu diễn các véctơ trên mặt phẳng tọa độ

a ) Đúng
b ) Đúng
c ) Sai : Hai vectơ → a = ( 5 ; 3 ) và → i = ( 3 ; 5 ) không cùng phương nên không hề đối nhau, do vậy câu c ) sai
d ) Đúng

Bài 3. Tìm tọa độ của các vec tơ sau:

a ) → a = 2 → i ; b ) → b = – 3 → j
c ) → c = 3 → i – 4 → j d ) → d = 0,2 → i + √ 3 → j

Đáp án: a) Ta có :  →a = 2→i = 2→i + 0→j ⇒ →a = = (2;0)

b ) Ta có : → b = – 3 → j = 0 → i + ( – 3 ) → j ⇒ → b = ( 0 ; – 3 )
c ) Ta có : → c = 3 → i – 4 → j = 3 → i + ( – 4 ) → j ⇒ → c = ( 3 ; – 4 )
d ) → d = 0,2 → i + √ 3 → j = 0,2 → i + √ 3 → j ⇒ → d = ( 0,2 ; √ 3 )

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a ) Tọa độ của điểm A là tọa độ của vec tơ → OA ;
b ) Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0 ;
c ) Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0 ;
d ) Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất .

Đáp án: a) Đúng: Theo định nghĩa tọa độ của một điểm

b) Đúng: Vì nếu A nằm trên trục hoành và có hoành độ a thì
→OA = a→i+ 0→j ⇒ →OA = (a;0) ⇒ A =(a;0)

c) Đúng: Vì nếu A nằm trên trục tung và có tung độ b thì
→OA = 0→i+ b→j ⇒ OA = (0;b) ⇒ A =(0;b)

d ) Sai. Vì đường phân giác của góc phần tư thứ ba cũng thỏa mãn nhu cầu

Bài 5 trang 27 Hình 10. Trong các mặt phẳng Oxy cho điểm (x0; y0)

a ) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với M qua trục Ox ;
b ) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với M qua trục Oy ;
c ) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với M qua gốc O .


bai-5-trng-27-sgk-hinh-10

a ) Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau. M0 ( x0 ; y0 ) ⇒ A ( x0 ; – y0 )
b ) Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có tung độ bằng nhau còn hoành độ thì đối nhau. M0 ( x0 ; y0 ) ⇒ B ( – x0 ; y0 )
c ) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc O thì những tọa độ tương ứng đối nhau. M0 ( x0 ; y0 ) ⇒ C ( – x0 ; – y0 )

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3;2), C(4;-1). Tìm tọa độ điểm D.

bai-6-trang-27-toan-hinh-hoc-lop-10

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên → CD = → BA
Gọi ( x ; y ) là tọa độ của D thì → CD = ( x-4 ; y + 1 ) ; → BA = ( – 4 ; 4 ) ;

→CD = →BA ⇔ bai-6-trang-27-toan-hinh-hoc-lop-10_!

Vậy điểm D ( 0 ; – 5 ) là điểm cần tìm .

Bài 7 trang 27 Toán hình 10. Các điểm A'(-4; 1), B'(2;4), C(2, -2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Tìm tọa độ đỉnh của tam giác ABC và A’B’C’ trùng nhau.

Giải: A’ là trung điểm của cạnh BC nên -4 = 1/2 (xB+ xC)

⇒ xB + xC = – 8 ( 1 )
Tương tự ta có xA + xC = 4 ( 2 )
xB + xC = 4 ( 3 )
⇒ xA + xB + xC = 0 ( 4 )
Kết hợp ( 4 ) và ( 1 ) ta có : xA = 8
( 4 ) và ( 2 ) ta có : xB = – 4
( 4 ) và ( 3 ) ta có : xC = – 4
Tương tự ta tính được : yA = 1 ; yB = – 5 ; yC = 7 .
Vậy A ( 8 ; 1 ), B ( – 4 ; – 5 ), C ( – 4 ; 7 ) .
Gọi G la trọng tâm tam giác ABC thì
xG = ( 8-4-4 ) / 3 = 0 ; yG = ( 1/5 + 7 ) / 3 = 1 ⇒ G ( 0,1 ) .
xG ’ = ( – 4 + 2 + 2 ) / 3 = 0 ; yG ’ = ( 1 + 4-2 ) / 3 = 1 ⇒ G ‘ ( 0 ; 1 )
Rõ ràng G và G ’ trùng nhau .

Bài 8. Cho →a = (2; -2),  →b = (1; 4). Hãy phân tích vectơ →c = (5; 0) theo hai vectơ →a  và  →b.

Giải: Giả sử ta phân tích được →c theo →a  và  →b tức là có hai số m, n để  →c = m.→a + n.→b cho ta →c  = (2m+n; -2m+4n)

vì → c = ( 0 ; 5 ) nên ta có hệ :
Giải hệ ta được m = 2, n = 1
Vậy → c = 2 → a + → b

Đánh giá bài viết