Bài 4 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Với các giá trị nào của a hàm số \(y = ax – {x^3}\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Giải

Tập xác định \(D=\mathbb R\)

\ ( y ‘ = a – 3 { x ^ 2 } \ )
• Nếu \ ( a < 0 \ ) thì \ ( y ' < 0 \ ) với mọi \ ( x \ in { \ mathbb R } \ ), khi đó hàm số nghịch biến trên \ ( \ mathbb R \ ) . • Nếu \ ( a = 0 \ ) thì \ ( y ' = - 3 { x ^ 2 } \ le 0 \ ) với mọi \ ( x \ in { \ mathbb R } \ ), \ ( y ' = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ ) . Vậy hàm số nghịch biến trên \ ( \ mathbb R \ ) . • Nếu \ ( a > 0 \ ) thì \ ( y ‘ = 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow x = \ pm { \ sqrt { a \ over 3 } } \ )
Ta có bảng biến thiên

Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên \ ( { \ mathbb R } \ )
Vậy hàm số nghịch biến trên \ ( { \ mathbb R } \ ) khi và chỉ khi \ ( a \ le 0 \ ) .

Bài 5 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb R\).

Giải

Tập xác lập \ ( D = \ mathbb R \ )
\ ( f ‘ \ left ( x \ right ) = { x ^ 2 } + 2 ax + 4 \ ) ;
\ ( \ Delta = { a ^ 2 } – 4 \ )
Hàm số đồng biến trên \ ( \ mathbb R \ ) khi và chỉ khi \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) \ ge 0, \, \ forall x \ in \ mathbb R \ )

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr 
\Delta ‘ \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr 
{a^2} – 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow – 2 \le a \le 2\)

Vậy \ ( – 2 \ le a \ le 2 \ ) thỏa mãn nhu cầu nhu yếu của bài toán

Bài 6 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) \(y = {1 \over 3}{x^3} – 2{x^2} + 4x – 5\) 

b) \(y =  – {4 \over 3}{x^3} + 6{x^2} – 9x – {2 \over 3}\)

c) \(y = {{{x^2} – 8x + 9} \over {x – 5}}\)             

d) \(y = \sqrt {2x – {x^2}} \)

e) \(y = \sqrt {{x^2} – 2x + 3} \) 

f) \(y = {1 \over {x + 1}} – 2x\)

Giải

a) TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y’ = {x^2} – 4x + 4 = {\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x=2\)

Vậy hàm số đồng biến trên \ ( \ mathbb R \ ) .
b ) TXĐ : \ ( D = \ mathbb R \ )
\ ( y ‘ = – 4 { x ^ 2 } + 12 x – 9 = – \ left ( { 4 { x ^ 2 } – 12 x + 9 } \ right ) \ )
\ ( = – { \ left ( { 2 x – 3 } \ right ) ^ 2 } \ le 0, \ forall x \ in \ mathbb R \ ) dấu bằng chỉ xảy ra khi \ ( x = { 3 \ over 2 } \ ). Vậy hàm số nghịch biến trên \ ( \ mathbb R \ ) .
c ) TXĐ : \ ( D = \ mathbb R \ backslash \ left \ { 5 \ right \ } \ )
\ ( y ‘ = { { \ left ( { 2 x – 8 } \ right ) \ left ( { x – 5 } \ right ) – \ left ( { { x ^ 2 } – 8 x + 9 } \ right ) } \ over { { { \ left ( { x – 5 } \ right ) } ^ 2 } } } = { { { x ^ 2 } – 10 x + 31 } \ over { { { \ left ( { x – 5 } \ right ) } ^ 2 } } } > 0 \ ) với mọi \ ( x \ ne 5 \ )
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng chừng \ ( \ left ( { – \ infty ; 5 } \ right ) \ ) và \ ( \ left ( { 5 ; + \ infty } \ right ) \ ) .
d ) Hàm số xác lập khi và chỉ khi \ ( 2 x – { x ^ 2 } \ ge 0 \ Leftrightarrow 0 \ le x \ le 2 \ ). TXĐ : \ ( D = \ left [ { 0 ; 2 } \ right ] \ )
\ ( y ‘ = { { 2 – 2 x } \ over { 2 \ sqrt { 2 x – { x ^ 2 } } } } = { { 1 – x } \ over { \ sqrt { 2 x – { x ^ 2 } } } } ; y ‘ = 0 \ Leftrightarrow x = 1 \, \, \, \, \ left ( { y = 1 } \ right ) \ )

Hàm số đồng biến trên khoảng chừng \ ( \ left ( { 0 ; 1 } \ right ) \ ) và nghịch biến trên khoảng chừng \ ( \ left ( { 1 ; 2 } \ right ) \ ) .
e ) TXĐ : \ ( D = \ mathbb R \ ) ( vì \ ( { x ^ 2 } – 2 x + 3 > 0, \ forall x \ in \ mathbb R \ ) )
\ ( y ‘ = { { 2 x – 2 } \ over { 2 \ sqrt { { x ^ 2 } – 2 x + 3 } } } = { { x – 1 } \ over { \ sqrt { { x ^ 2 } – 2 x + 3 } } } \ ) ;
\ ( y ‘ = 0 \ Leftrightarrow x = 1 \, \, \, ( y = \ sqrt 2 ) \ )
Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng \ ( \ left ( { – \ infty ; 1 } \ right ) \ ) và đồng biến trên khoảng chừng \ ( \ left ( { 1 ; + \ infty } \ right ) \ ) .
f ) TXĐ : \ ( D = \ mathbb R \ backslash \ left \ { { – 1 } \ right \ } \ )
\ ( y ‘ = – { 1 \ over { { { \ left ( { x + 1 } \ right ) } ^ 2 } } } – 2 < 0, \, \, \ forall x \ ne - 1 \ ) Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng \ ( \ left ( { - \ infty ; - 1 } \ right ) \ ) và đồng biến trên khoảng chừng \ ( \ left ( { - 1 ; + \ infty } \ right ) \ ) .

Bài 7 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \cos 2x – 2x + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Giải

TXĐ : \ ( D = \ mathbb R \ )
\ ( f ‘ \ left ( x \ right ) = – 2 \ sin 2 x – 2 \ le 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow – 2 \ left ( { \ sin 2 x + 1 } \ right ) \ le 0, \ forall x \ in \ mathbb R \ )
\ ( f ‘ \ left ( x \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ sin 2 x = – 1 \ )

\(\Leftrightarrow 2x =  – {\pi  \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\Leftrightarrow x =  – {\pi  \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \ ( \ left [ { – { \ pi \ over 4 } + k \ pi ; – { \ pi \ over 4 } + k \ pi + \ pi } \ right ] \ )
Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi \ ( \ mathbb R \ )

Giaibaitap.me

Đánh giá bài viết