Cách giải cực trị hình không gian hay – bài tập có đáp án

Phương pháp giải bài toán cực trị hình học không gian

• Áp dụng những giải pháp tính thể tích trải qua tam giác vuông ; những loại góc và khoảng cách trong không gian cũng như những công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ .
• Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa biến .

Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số thực dương

– Dạng 2 số: $a+b\ge 2\sqrt{ab}\to ab\le \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}$ hoặc $ab\le \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}$

– Dạng 3 số : USD a + b + c \ ge 3 \ sqrt [ 3 ] { abc } \ to abc \ le \ frac { { { a } ^ { 3 } } + { { b } ^ { 3 } } + { { c } ^ { 3 } } } { 3 } USD hoặc USD abc \ le \ frac { { { ( a + b + c ) } ^ { 3 } } } { 27 } USD

Cách 2. Khảo sát hàm số f(x) trên khoảng xác định (đạo hàm – lập bảng biến thiên)

Bài tập trắc nghiệm cực trị trong hình học không gian có đáp án

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SC = 6. Tính thể tích lớn nhất  ${{V}_{\text{max}}}$ của khối chóp đã cho

A. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{40}{3}$ B. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{80}{3}$ C. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{20}{3}$              D. ${{V}_{\text{max}}}=24$

Lời giải chi tiết

Đặt USD AD = x \ Rightarrow USD Diện tích hình chữ nhật ABCD là USD { { S } _ { ABCD } } = 4 x USD
Tam giác ABC vuông tại B, có USD AC = \ sqrt { A { { B } ^ { 2 } } + B { { C } ^ { 2 } } } = \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 16 } USD
Tam giác SAC vuông tại A, có $ SA = \ sqrt { S { { C } ^ { 2 } } – A { { C } ^ { 2 } } } = \ sqrt { 20 – { { x } ^ { 2 } } } USD
Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là
USD { { V } _ { S.ABCD } } = \ frac { 1 } { 3 }. SA. { { S } _ { ABCD } } = \ frac { 1 } { 3 }. \ sqrt { 20 – { { x } ^ { 2 } } }. 4 x = \ frac { 4 } { 3 } x. \ sqrt { 20 – { { x } ^ { 2 } } } USD
Ta có USD x. \ sqrt { 20 – { { x } ^ { 2 } } } \ le \ frac { { { x } ^ { 2 } } + { { \ left ( \ sqrt { 20 – { { x } ^ { 2 } } } \ right ) } ^ { 2 } } } { 2 } = \ frac { 20 } { 2 } = 10 \ Rightarrow V \ le \ frac { 40 } { 3 } USD

Dấu bằng xảy ra khi $x=\sqrt{20-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\sqrt{10}$. Vậy ${{V}_{\text{max}}}=\frac{40}{3}$. Chọn A

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 4, các cạnh bên bằng nhau và bằng 6. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là

A. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{40}{3}$  B. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{64}{3}$ C. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{128}{3}$              D. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{32}{3}$

Lời giải chi tiết

Vì $ SA = SB = SC = SD \ Rightarrow USD Hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy USD \ Rightarrow SO \ bot \ left ( ABCD \ right ) USD
Đặt USD AB = x USD. Ta có USD BD = \ sqrt { A { { B } ^ { 2 } } + A { { D } ^ { 2 } } } = \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 16 } USD
Tam giác SBO vuông tại O, có
USD SO = \ sqrt { S { { B } ^ { 2 } } – O { { B } ^ { 2 } } } = \ sqrt { 36 – \ frac { { { x } ^ { 2 } } + 16 } { 4 } } = \ frac { \ sqrt { 128 – { { x } ^ { 2 } } } } { 2 } USD
Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là
USD { { V } _ { S.ABCD } } = \ frac { 1 } { 3 }. SO. { { S } _ { ABCD } } = \ frac { 1 } { 3 }. \ frac { \ sqrt { 128 – { { x } ^ { 2 } } } } { 2 }. 4 x = \ frac { 2 } { 3 }. x \ sqrt { 128 – { { x } ^ { 2 } } } USD

Mà $x\sqrt{128-{{x}^{2}}}\le \frac{{{x}^{2}}+128-{{x}^{2}}}{2}=64\to V\le \frac{2}{3}.64=\frac{128}{3}$. Vậy ${{V}_{\text{max}}}=\frac{128}{3}$. Chọn C

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 4, SC = 6. Tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là

A. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{40}{3}$ B. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{20}{3}$ C. ${{V}_{\text{max}}}=20$               D. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{80}{3}$

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm AD. Tam giác SAD cân tại S USD \ Rightarrow SH \ bot AD USD
Ta có USD \ left ( SAD \ right ) \ bot \ left ( ABCD \ right ) \ Rightarrow SH \ bot \ left ( ABCD \ right ) \ Rightarrow V = \ frac { 1 } { 3 }. SH. { { S } _ { ABCD } } USD
Đặt USD AD = 2 x \ to { { S } _ { ABCD } } = AB.AD = 8 x USD
Tam giác HCD vuông tại D, có USD HC = \ sqrt { H { { D } ^ { 2 } } + C { { D } ^ { 2 } } } = \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 16 } USD
Tam giác SHC vuông tại H, có USD SH = \ sqrt { S { { C } ^ { 2 } } – H { { C } ^ { 2 } } } = \ sqrt { 20 – { { x } ^ { 2 } } } USD
Do đó USD V = \ frac { 1 } { 3 }. \ sqrt { 20 – { { x } ^ { 2 } } }. 8 x = \ frac { 8 } { 3 } x. \ sqrt { 20 – { { x } ^ { 2 } } } \ le \ frac { 8 } { 3 }. \ frac { { { x } ^ { 2 } } + 20 – { { x } ^ { 2 } } } { 2 } = \ frac { 80 } { 3 } USD

Dấu bằng xảy ra khi $x=\sqrt{20-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\sqrt{10}$. Vậy ${{V}_{\text{max}}}=\frac{80}{3}$. Chọn D

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = 1. Các cạnh bên SA = SB = SC = 2. Tính thể tích lớn nhất ${{V}_{\text{max}}}$ của khối chóp đã cho

A. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{2}{3}$ B. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{5}{8}$ C. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{5}{4}$              D. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{4}{3}$

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm BC, $\Delta ABC$ vuông tại A

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp USD \ Delta ABC USD
Vì $ SA = SB = SC \ Rightarrow H USD là hình chiếu của S trên ( ABC )
Đặt USD AC = x USD. Tam giác ABC vuông USD \ Rightarrow BC = \ sqrt { A { { B } ^ { 2 } } + A { { C } ^ { 2 } } } = \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 1 } USD
Diện tích tam giác ABC là USD { { S } _ { \ Delta ABC } } = \ frac { 1 } { 2 }. AB.AC = \ frac { x } { 2 } USD
Tam giác SBH vuông tại H, có USD SH = \ sqrt { S { { B } ^ { 2 } } – B { { H } ^ { 2 } } } = \ frac { \ sqrt { 15 – { { x } ^ { 2 } } } } { 2 } USD
Do đó, thể tích cần tính là USD V = \ frac { 1 } { 3 }. SH. { { S } _ { \ Delta ABC } } = \ frac { 1 } { 12 } x. \ sqrt { 15 – { { x } ^ { 2 } } } USD

Mà $x\sqrt{15-{{x}^{2}}}\le \frac{{{x}^{2}}+15-{{x}^{2}}}{2}=\frac{15}{2}\to V\le \frac{1}{12}.\frac{15}{2}=\frac{5}{8}.$Vậy ${{V}_{\text{max}}}=\frac{5}{8}$. Chọn B

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1, cạnh bên SA = x và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = y $(0A. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ B. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{\sqrt{3}}{8}$ C. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{\sqrt{3}}{24}$              D. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$

Lời giải chi tiết

Từ giả thiết, ta có USD { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } = 1 \ Rightarrow y = \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } USD
Diện tích mặt dưới USD { { S } _ { ABCM } } = \ left ( \ frac { AM + BC } { 2 } \ right ). AB = \ frac { x + 1 } { 2 } USD
Thể tích khối chóp USD { { V } _ { S.ABCM } } USD là USD { { V } _ { S.ABCM } } = \ frac { 1 } { 3 }. SA. { { S } _ { ABCM } } = \ frac { \ left ( x + 1 \ right ) \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } } { 6 } USD
Xét hàm số USD f \ left ( x \ right ) = \ left ( x + 1 \ right ) \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } USD trên ( 0 ; 1 ), có
USD { f } ‘ \ left ( x \ right ) = \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } – \ frac { { { x } ^ { 2 } } + x } { \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } } = \ frac { 1 – x-2 { { x } ^ { 2 } } } { \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } } ; { f } ‘ \ left ( x \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { 2 } USD

Dựa vào bảng biến thiên, ta được $\underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\text{max}}}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}$. Vậy ${{V}_{\text{max}}}=\frac{\sqrt{3}}{8}$. Chọn B

Bài tập 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 4. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là

A. ${{V}_{\text{max}}}=8\sqrt{3}$ B. ${{V}_{\text{max}}}=24\sqrt{3}$ C. ${{V}_{\text{max}}}=6\sqrt{3}$              D. ${{V}_{\text{max}}}=16\sqrt{3}$

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm hình vuông vắn ABCD USD \ Rightarrow SO \ bot \ left ( ABCD \ right ) USD
Gọi M là trung điểm CD, H là hình chiếu của O trên SM
Ta có USD \ left \ { \ begin { align } và SO \ bot CD \ \ và OM \ bot CD \ \ \ end { align } \ right. \ Rightarrow CD \ bot \ left ( SMO \ right ) \ Rightarrow CD \ bot OH \ Rightarrow OH \ bot \ left ( SCD \ right ) USD
Lại có USD AB / / CD \ Rightarrow AB / / \ left ( SCD \ right ) USD
USD \ Rightarrow d \ left ( AB ; SC \ right ) = d \ left ( A ; \ left ( SCD \ right ) \ right ) = 2 d \ left ( O ; \ left ( SCD \ right ) \ right ) USD
Theo bài ra, ta có USD d \ left ( AB ; SC \ right ) = 2OH = 4 \ to OH = 2 USD
Đặt USD AB = 2 x \ to OM = x USD. Tam giác SMO vuông tại O, có USD \ frac { 1 } { O { { H } ^ { 2 } } } = \ frac { 1 } { S { { O } ^ { 2 } } } + \ frac { 1 } { O { { M } ^ { 2 } } } \ Rightarrow SO = \ frac { 2 x } { \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } – 4 } } USD
Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là USD V = \ frac { 1 } { 3 }. SO. { { S } _ { ABCD } } = \ frac { 1 } { 3 }. \ frac { 2 x } { \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } – 4 } }. 4 { { x } ^ { 2 } } = \ frac { 8 } { 3 }. \ frac { { { x } ^ { 3 } } } { \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } – 4 } } USD
Xét hàm số USD f \ left ( x \ right ) = \ frac { { { x } ^ { 3 } } } { \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } – 4 } } USD trên USD \ left ( 2 ; + \ infty \ right ) \ to \ max f \ left ( x \ right ) = 6 \ sqrt { 3 } USD

Vậy thể tích lớn nhất cần tính là ${{V}_{max}}=\frac{8}{3}.6\sqrt{3}=16\sqrt{3}$. Chọn D

Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có $SA=x$ $\left( 0A. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{3}{4}$ B. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ C. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{1}{4}$              D. ${{V}_{\text{max}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm hình thoi ABCD USD \ Rightarrow OA = OC $ ( 1 )
Theo bài ra, ta có USD \ Delta SBD = \ Delta CBD \ Rightarrow SO = OC $ ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ), ta có USD SO = OA = OC = \ frac { 1 } { 2 } AC USD
USD \ Rightarrow \ Delta SAC USD vuông tại S USD \ Rightarrow AC = \ sqrt { S { { A } ^ { 2 } } + S { { C } ^ { 2 } } } = \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 1 } USD

Suy ra $OA=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{2}$ và $OB=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{\sqrt{3-{{x}^{2}}}}{2}$

Diện tích hình thoi USD { { S } _ { ABCD } } = 2. OA.OB = \ frac { \ sqrt { \ left ( { { x } ^ { 2 } } + 1 \ right ) \ left ( 3 – { { x } ^ { 2 } } \ right ) } } { 2 } USD
Lại có USD SB = SC = SD = 1 \ Rightarrow USD Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt dưới là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD USD \ to H \ in AC USD
Tam giác SAC vuông tại S, có USD SH = \ frac { SA.SC } { \ sqrt { S { { A } ^ { 2 } } + S { { C } ^ { 2 } } } } = \ frac { x } { \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 1 } } USD

Đánh giá bài viết