Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks
Bài giảngGiải tích 1G iải tích 2 Đại số tuyến tính ( LinearAlgebra ) Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý ( PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace ) Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ở bài này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).

Bạn đang xem: Cực trị hàm 2 biến có điều kiện

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm

*

1. Định nghĩa:

Ta nói***là điểm cực tiểu ( hoặc cực lớn ), nếu tồn tại_lân cận củasao cho :*(*Nếu hàm số f đạt cực lớn hay cực tiểu ( địa phương ) tại*thì ta nói hàm f đạt cực trị ( địa phương ) tại

Nhận xét:

– Hàm số***đạt cực tiểu ( cực lớn ) tạinếu :– Nếu***đổi khác dấu khithay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại

Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số

*có đạt cực trị tại M ( 0 ; 0 ) hay không ?Xét*là 1 điểm trong lân cận của M ( 0 ; 0 ). Ta có :*Với*0, { \ Delta } y > 0 : { \ Delta } f ( 0 ; 0 ) > 0 ” class = ” latex ” / >Với*Vậy*biến hóa dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0 .

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm

***đạt cực trị ( địa phương ) tạivà nếu f có những đạo hàm riêng tạithì :*

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực lớn tại( trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 trọn vẹn tựa như ) .Khi đó, xét hàm**ta có :, với x trong 1 khoảng chừng nào đó chứa x0 .Do đó, hàm g ( x ) đạt cực lớn tại x0. Hay :*Mặt khác :**. Vậy :Tương tự, nếu xét hàm**ta sẽ có :Điểm**điểm dừng.mà tại đó, được gọi là

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm sốcó những đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừngĐặt :*Khi đó :a. Nếu*thì f đạt cực tiểu tại M0.0 )b. Nếuc. Nếu* f không đạt cực trị tại M0.

0 ” class=”latex” /> thì

d. Nếu*

Xem thêm:

ta chưa Tóm lại và cần phải xét đơn cử bằng cách dựa vào định nghĩa. Xem thêm : Bộ Đề Kiểm Tra Chương 4 Đại Số 10, Kiểm Tra Đại Số 10 Chương 4Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn hoàn toàn có thể xem chi tiết cụ thể chứng tỏ và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp ( Tập 3 ) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng tỏ 1 cách dễ hiểu nhất, bạn hoàn toàn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop ( tập 2 ) .

Đánh giá bài viết