Khái niệm lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho a ∈ ℝ, n ∈ ℕ*. Khi đó:

2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho a ≠ 0, n ∈ ℕ*, quy ước:

Chú ý :00 và 0 – n không có nghĩaNgười ta thường dùng những lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu lộ những số rất lớn và những số rất bé. Chẳng hạn : Khối lượng của Trái Đất là 5,97. 1024 kg ; khối lượng nguyên tử của hiđrô là 1,66. 10-24 kg .

3. Căn bậc n

Khái niệmCho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b

Khi n lẻ và b ∈ ℝ: Tồn tại duy nhất căn bậc n của b, kí hiệu

Khi n chẵn :b < 0 : Không sống sót căn bậc n của b

b = 0: Có một căn bậc n của b, kí hiệu

b > 0 : Có hai căn bậc n của b trái dấu, kí hiệu giá trị dương là, còn giá trị âm là , còn giá trị âm làTính chất của căn bậc nVới hai số không âm a, b ; hai số nguyên dương m, n ta có :

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a > 0 và số hữu tỉ

, trong đó m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2., trong đó m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2 .

Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:

Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Giả sử a là một số dương, α là một số vô tỉ và (rn) là một dãy số hữu tỉ sao cho

Khi đó:

Tính chất của lũy thừa với số mũ thựcCho a, b là những số thực dương ; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có :

Bài tập vận dụng công thức lũy thừa

Dạng 1. Tính các giá trị của một biểu thức – Rút gọn biểu thức.

Bài 1. Tính các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 2. Tính các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 3. Tính các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 4. Tính các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 5. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 6. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 7. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức – So sánh giá trị của biểu thức

Chú ý :Nếu a > 1 thì α < β ⇔ aα < aβNếu 0 < a < 1 thì α < β ⇔ aα > aβ

Bài 1. Hãy so sánh các cặp số sau:

Hướng dẫn giải

a) Ta có

Do 12 < 18 nên

Vì cơ số a = 5 > 1 nên

b) Ta có

c) Ta có

d) Ta có

Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau:

Hướng dẫn giảia ) Đưa hai căn đã cho về cùng căn bậc 15, ta được :

Do 100000 > 8000 nên

b) Ta có

Do 125 < 2401 nên

c) Ta có

Do 371293 > 279841 nên

d) Ta có

Bài 3. Hãy so sánh các cặp số sau:

Hướng dẫn giải

a) Ta có

Do 8 < 9 nên

b) Ta có

c) Ta có

d) Ta có

Bài 4. Không dùng máy tính và bảng số. Chứng minh:

Hướng dẫn giải

a)

Cách 1. Ta có:

.

Tương tự:

Suy ra:

Cách 2. Đặt

. Ta cần chứng minh x = 2. Ta cần chứng tỏ x = 2Ta có :

Từ đó ta có : x3 + 3 x – 14 = 0 ⇔ ( x – 2 ) ( x2 + 2 x + 7 ) = 0 ⇔ x = 2 ( vì x2 + 2 x + 7 > 0 )

Cách 3. Ta có:

. Do đó nếu là nghiệm của phương trình X2 – 2X – 1 = 0, tức là: . Do đónếuvàlà nghiệm của phương trình X – 2X – 1 = 0, tức là :

Ta chứng minh đẳng thức (1). Ta có:

. Từ đó suy ra (1).. Từ đó suy ra ( 1 ) .Đẳng thức ( 2 ) chứng tỏ tương tự như. Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra điều phải chứng tỏ .

b)

Đặt

. Ta cần chứng minh x = 3. Ta cần chứng tỏ x = 3Ta có :

⇔ x3 – 5 x – 12 = 0 ⇔ ( x – 3 ) ( x2 + 3 x + 4 ) = 0 ⇔ x = 3 ( vì x2 + 3 x + 4 > 0 )

c)

Cách 1. Ta có :

nên nênCách 2. Ta có :

Nên

d)

Có thể giải bằng ba cách như câu a )Đặt H68. Ta cần chứng tỏ x = 3

Ta có:

⇔ x3 – 3x – 18 = 0⇔ x – 3 x – 18 = 0⇔ ( x – 3 ) ( x2 + 3 x + 6 ) = 0 ⇔ x = 3 ( vì x2 + 3 x + 6 > 0 )

Bài tập tự luyện

Bài 1. Hãy tính:

Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau:

Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau:

Bài 4. Đơn giản các biểu thức sau:

Bài 5. So sánh các số:

Bài 6. Chứng minh rằng:

Bài 7. Rút gọn các biểu thức sau:

Kết quả :Bài 1

Bài 2

Bài 4

Bài 5

Bài 7

Đánh giá bài viết