Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên là một trong những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp 2 dành cho học sinh khá giỏi.

Ở bài viết này, Gia sư Tiến Bộ san sẻ với những em 1 số ít giải pháp thường dùng để giải tìm nghiệm nguyên của phương trình .

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên:

* Chú ý: Tùy từng bài mà các em áp dụng một hay kết hợp nhiều phương pháp để giải bài toán PT nghiệm nguyên.

1. Sử dụng tính chẵn lẻ để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y2 – 2×2 = 1

Hướng dẫn:

Ta có y2 – 2×2 = 1 ⇒ y2 = 2×2 + 1 ⇒ y là số lẻĐặt y = 2 k + 1 ( với k nguyên ). Ta có ( 2 k + 1 ) 2 = 2×2 + 1⇔ x2 = 2 k2 + 2 k ⇒ x chẵn, mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: (2x + 5y + 1)(2|x|   + y + x2  + x) = 105

Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x|  + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2 x + 5 y + 1 lẻ ⇒ 5 y chẵn ⇒ y chẵn2 | x | + y + x2 + x = 2 | x | + y + x ( x + 1 ) lẻcó x ( x + 1 ) chẵn, y chẵn ⇒ 2 | x | lẻ ⇒ 2 | x | = 1 ⇒ x = 0Thay x = 0 vào phương trình ta được( 5 y + 1 ) ( y + 1 ) = 105 ⇔ 5 y2 + 6 y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = \displaystyle -\frac{26}{5} ( loại)

Thử lại ta có x = 0 ; y = 4 là nghiệm của phương trình

2. Dùng cách phân tích để giải PT nghiệm nguyên

Thực chất là biến hóa phương trình về dạng :

                   g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 + 4×3+ 6×2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4×3+ 6×2+ 4x = y2  ⇔ x4 +4×3+6×2+4x +1- y2=1

⇔ ( x + 1 ) 4 – y2 = 1 ⇔ [ ( x + 1 ) 2 – y ] [ ( x + 1 ) 2 + y ] = 1

⇔ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=1\\(x+1)_{{}}^{2}+y=1\end{array} \right. hoặc \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=-1\\(x+1)_{{}}^{2}+y=-1\end{array} \right.

\displaystyle \left[ \begin{array}{l}1+y=1-y\\-1+y=-1-y\end{array} \right.

⇒ y = 0 ⇒ ( x + 1 ) 2 = 1 ⇔ x + 1 = ± 1 ⇒ x = 0 hoặc x = – 2Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ) ; ( – 2, 0 )

3. Dùng phương pháp cực hạn để giải PT nghiệm nguyên

Sử dụng so với 1 số bài toán vai trò của những ẩn bình đẳng như nhau :

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

                   5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

          Hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1Ta có : 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

2=\frac{5}{y z t}+\frac{5}{x z t}+\frac{5}{x y t}+\frac{5}{x y z}+\frac{10}{x y z t} \leq \frac{30}{t^{3}} \Rightarrow t^{3} \leq 15 \Rightarrow t=1 hoặc t=2

* Với t=1 ta có 5(x+y+z+1)+10=2 xyz

\Leftrightarrow 2=\frac{5}{y z}+\frac{5}{x z}+\frac{5}{x y}+\frac{15}{x y z} \leq \frac{30}{z^{2}} \quad \Rightarrow z^{2} \leq 15 \Rightarrow z=\{1 ; 2 ; 3\}

Nếu z=15(x+y)+20=2xy\Leftrightarrow (2x-5)(2y-5)=65

\left\{\begin{array}{l}x=35 \\ y=3\end{array}\right. hoặc \left\{\begin{array}{l}x=9 \\ y=5\end{array}\right.

Ta được nghiệm ( 35 ; 3 ; 1 ; 1 ) ; ( 9 ; 5 ; 1 ; 1 ) và những hoán vị của chúng

Với z=2 ; z=3 phương trình không có nghiệm nguyên

* Với \mathrm{t}=2 thì 5(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})+20=4 \mathrm{xyz} \Leftrightarrow 4=\frac{5}{x y}+\frac{5}{y z}+\frac{5}{x z}+\frac{20}{x y z} \leq \frac{35}{z^{2}}

\Rightarrow z^{2} \leq \frac{35}{4} \leq 9 \Rightarrow z=2(\text { vi } z \geq t \geq 2) \Rightarrow(8 x-5)(8 y-5)=265

Do x ≥ y ≥ z ≥ 2 nên 8 x – 5 ≥ 8 y – 5 ≥ 11⇒ ( 8 x – 5 ) ( 8 y – 5 ) = 265 vô nghiệmvậy nghiệm của phương trình là bộ ( x, y, z )= ( 35 ; 3 ; 1 ; 1 ) ; ( 9 ; 5 ; 1 ; 1 ) và những hoán vị

4. Phương pháp loại trừ để giải PT nghiệm nguyên

Khẳng định nghiệm rồi loại trừ những giá trị còn lại của ẩn .

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

1 ! + 2 ! + … + x ! = y2

Hướng dẫn:

Với x ≥ 5 thì x ! có tận cùng là 0 và 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! Có tận cùng là 3Þ 1 ! + 2 ! + … + x ! có tận cùng là 3, không là số chính phương ( loại )Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên : x = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }Thử vào phương trình ta được ( x = 1, y = 2 ) ; ( x = 3, y = 3 ) là thoả mãn .

Ví dụ 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x

          Hướng dẫn:

Ta có : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ 4 y2 + 4 y + 1 = 4 x4 + 4 x3 + 4×2 + 4 x + 1⇒ ( 2×2 + x ) 2 – ( 2 y + 1 ) 2 = ( 3 x + 1 ) ( x + 1 )hay ( 2×2 + x + 1 ) 2 – ( 2 y + 1 ) 2 = x ( x-2 )Ta thấy :Nếu x > 0 hoặc x < – 1 thì ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) > 0Nếu x > 2 hoặc x < - 1 thì x ( x-2 ) > 0⇒ Nếu x > 2 hoặc x < 1 thì ( 2x2 + x ) < ( 2 y + 1 ) 2 < ( 2x2 + x + 1 ) 2 ( loại )⇒ - 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x = 0, 1, - 1, 2Xét x = 2 ⇒ y2 + y = 30 ⇒ y = 5 hoặc y = - 6Xét x = 1 ⇒ y2 + y = 4 ( loại )Xét x = 0 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y ( y + 1 ) = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = - 1Xét x = - 1 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = - 1Vậy nghệm nguyên của phương trình là 🙁 x, y ) = ( 2, 5 ) ; ( 2, - 6 ) ; ( 0, 0 ) ; ( 0, - 1 ) ; ( - 1 ; 0 ) ; ( - 1, - 1 )

5. Dùng chia hết và có dư để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 2y2 = 5

Hướng dẫn:

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

và x2 chia cho 5 có những số dư 1 hoặc 4y2 chia cho 5 có những số dư 1 hoặc 4 ⇒ 2 y2 chia cho 5 dư 2 hoặc 3⇒ x2 – 2 y2 chia cho 5 dư ± 1 hoặc ± 2 ( loại )Vậy phương trình x2 – 2 y2 = 5 vô nghiệm .

Ví dụ 8: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn

                     x2 + 3y = 3026

          Hướng dẫn:

Xét y = 0 ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025mà xº ∈ N ⇒ x = 55Xét y > 0 ⇒ 3 y chia hết cho 3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1⇒ x2 + 3 y chia cho 3 dư 0 hoặc 1mà 3026 chia cho 3 dư 2 ( loại )Vậy nghiệm ( x, y ) = ( 55,0 )

6. Sử dụng tính chất của số nguyên tố để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn:  xy + 1 = z

          Hướng dẫn:

Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z ⇒ z > 3Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 ( thoả mãn )Xét y > 2 ⇒ y = 2 k + 1 ( k ∈ N ) ⇒ 22 k + 1 + 1 = z ⇒ 2. 4 k + 1 = zCó 4 chia cho 3 dư 1 ⇒ ( 2.4 k + 1 ) chia hết cho 3 ⇒ z chia hết cho 3 không thỏa mãn nhu cầu ( loại )Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn

7. Đưa về dạng tổng để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 – x – y = 8

          Hướng dẫn:

Ta có x2 + y2 – x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x – 4 y = 32⇔ ( 4×2 – 4 x + 1 ) + ( 4 y2 – 4 y + 1 ) = 34 ⇔ ( 2 x – 1 ) 2 + ( 2 y – 1 ) 2 = 34Bằng giải pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng nghiên cứu và phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52

Do đó ta có  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=3\\|2y-1|=5\end{array} \right.  hoặc \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=5\\|2y-1|=3\end{array} \right.

Giải ra ta được ( x, y ) = ( 2,3 ) ; ( 2, – 2 ) ; ( – 1, – 2 ) ; ( – 1, 3 ) và những hoán vị của nó .Ví dụ 11 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                                  x2 – 4xy + 5y2  = 169

          Hướng dẫn:   Ta có x2 – 4xy + 5y2  = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169

Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Giải ra ta được ( x, y ) = ( 29, 12 ) ; ( 19, 12 ) ; ( – 19, – 12 ) ; ( 22, 5 ) ; ( – 2, 5 ) ; ( 2, – 5 ) ; ( – 22, – 5 ) ; ( 26, 13 ) ; ( – 26, – 13 ) ; ( – 13. 0 ) ; ( 13, 0 )

8. Dùng phương pháp lùi vô hạn để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 5y2 = 0

          Hướng dẫn:

Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5 y2 = 0

ta có x_{0}^{2}-5 y_{0}^{2}=0 \Rightarrow x_{0}: 5 đặt x_{0}=5 x_{1}

Ta có \left(5 x_{1}\right)^{2}-5 y_{0}^{2}=0 \Leftrightarrow 5 x_{1}^{2}-y_{0}^{2}=0

\Rightarrow \mathrm{y}_{0}: 5 dăt \mathrm{y}_{0}=5 \mathrm{y}_{1} \Rightarrow \mathrm{x}_{1}^{2}-5 \mathrm{y}_{1}^{2}=0

Vây nếu (xo;yo) là nghiệm của phương trình đã cho thì \left(\frac{x_{0}}{5}, \frac{y_{0}}{5}\right) cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Cứ tiếp tục lập luận như vậy \left(\frac{x_{0}}{5^{k}}, \frac{y_{0}}{5^{k}}\right) với k nguyên dương bất kỳ cũng là nghiệm của phương trình. Điều này xảy ra khi x_{0}=y_{0}=0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0 .

Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 + z2 = x2 y2

Hướng dẫn:

Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2, y2 chia cho 4 đều dư 1

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Đặt x = 2×1, y = 2 y1, z = 2 z1Ta có x + y + z = xylập luận tựa như ta có x + y + z = 16 xyQuá trình này cứ liên tục ta thấy ( x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì

\displaystyle \left( \frac{{{x}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{y}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{z}_{1}}}{2_{{}}^{k}} \right) là nghiệm của phương trình với k nguyên dương

⇒ x1 = y1 = z1 = 0Vậy phương trình có nghiệm là ( 0, 0, 0 )

9. Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 để giải PT nghiệm nguyên

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi những ẩn khác là tham số, sử dụng những đặc thù về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác lập giá trị của tham số .

Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3×2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

          Hướng dẫn:

Ta có PT : 3×2 + y2 + 4 xy + 4 x + 2 y + 5 = 0⇒ y2 + ( 4 x + 2 ) y + 3 x2 + 4 x + 5 = ) ( * ) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt ( * ) ẩn y ta có

y=-(2 x+1) \pm \sqrt{\Delta_{x}}

Do y nguyên, x nguyên \Rightarrow \sqrt{\Delta_{x}} nguyên

\Delta_{x}=(2 x+1)^{2}-\left(3 x^{2}+4 x+5\right)=x^{2}-4 \Rightarrow x^{2}-4=n^{2}\left(n^{\circ} \in Z\right)

⇒ ( x – n ) ( x + n ) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2Vậy phương trình có nghiệm nguyên( x, y ) = ( 2 ; – 5 ) ; ( – 2, 3 )

Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta có x2 – ( y + 5 ) x + 5 y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2

Ta có: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=y+5\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.

⇒  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}=5y+25\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.

⇒ 5 x1 + 5×2 – x1x2 = 23⇔ ( x1 – 5 ) ( x2 – 5 ) = 2 Mà 2 = 1.2 = ( – 1 ) ( – 2 )⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2thay vào phương trình ta tìm được những cặp số( x, y ) = ( 7, 8 ) ; ( 6, 8 ) ; ( 4, 2 ) ; ( 3, 2 ) ; là nghiệm của phương trình

10. Dùng bất đẳng thức để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 –xy + y2 = 3

          Hướng dẫn:

Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- \displaystyle \frac{y}{2})2 = 3 – \displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}

Ta thấy ( x – ) 2 = 3 – ≥ 0⇒ – 2 ≤ y ≤ 2⇒ y = ± 2 ; ± 1 ; 0 thay vào phương trình tìm xTa được những nghiệm nguyên của phương trình là :

(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)

Bài tập phương trình nghiệm nguyên có lời giải:

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên-3

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên-4Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên-5Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên-6Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên-7

Kiến thức THCS – Tags: phương trình, phương trình nghiệm nguyên, toán thcs

Đánh giá bài viết