Cảm ơn các bạn đã ghé thăm blog. Bài toán về góc giữa hai mặt phẳng trong không gian luôn là một nội dung trọng tâm tất cả chúng ta cần chú ý quan tâm học tập và rèn luyện. Ở thời gian bài viết này thì bài toán tính góc 2 mặt phẳng có tối thiểu 1 câu trong đề thi THPT QG. Vậy các bạn cùng theo dõi bài viết để biết được giải pháp tính nhé .

1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Định nghĩa : Góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó .

góc giũa hai mặt phẳng

Hình ảnh cánh cửa đang mở cho chúng ta hình dung về góc giữa 2 mặt phẳng.

Theo đó :

  • Góc giữa 2 mặt phẳng là một góc không tù.
  • Góc giữa 2 mặt phẳng bằng 0º khi và chi khi 2 mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau.
  • Góc giữa 2 mặt phẳng bằng 90º khi và chỉ khi 2 mặt phẳng đó vuông góc.

Tuy nhiên trong thực hành thực tế tính góc của 2 mặt phẳng thì ta không dùng định nghĩa trên. Đơn giản vì việc xác định đường vuông góc với măt phẳng không phải khi nào cũng đơn thuần. Hơn thế nữa, xác định góc giữa 2 đường thẳng lại là một yếu tố cũng không đơn thuần. Sau đây, tất cả chúng ta sẽ có 2 cách để xác định góc giữa 2 mặt phẳng .

2. TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG GÓC PHẲNG NHỊ DIỆN

Góc phẳng nhị diện là gì?

Cho hai nửa mặt phẳng chung bờ Δ. Mặt phẳng ( α ) bất kể vuông góc với Δ cắt hai nửa mặt phẳng theo 2 tia lần lượt là Ax và Ay. Khi đó góc được gọi là góc phẳng nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng nóí trên. Rõ ràng mặt phẳng ( α ) đổi khác là không ảnh hưởng tác động đến giá trị góc ∠ xAy .
Giả sử ( P ) và ( Q. ) là hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt phẳng nói trên. Ta dễ thấy góc giữa ( P ) và ( Q. ) bằng hoặc bù với góc phẳng nhị diện. Cụ thể là bằng khi góc phẳng nhị diện không tù, và bù khi góc phẳng nhị diện tù .

cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Ứng dụng góc phẳng nhị diện vào tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp

Để tìm góc giữa mặt bên và dưới mặt đáy của hình chóp ta hoàn toàn có thể triển khai như sau :

  • Bước 1: Xác định hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy ( chân đường cao). Tạm gọi điểm này là A.
  • Bước 2: Xác định giao tuyến của mặt bên và mặt đáy.
  • Bước 3: Chiếu chân đường cao lên giao tuyến. Tạm gọi điểm này là M. Đó chính là đỉnh của góc cần tìm. Góc cần tìm là góc ∠SMA.

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông tại B. Biết SA = a, AB = a. Tìm góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) .
Lời giải :

Ta có :
A là hình chiếu của S lên dưới mặt đáy .
BC là giao tuyến của ( SBC ) và ( ABC ) .
B là hình chiếu của A lên BC .
Do đó góc cần tìm là ∠ SBA .
Dễ thấy tam giác SBA vuông cân tại A nên ∠ SBA = 45 º .

3. TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG GÓC TAM DIỆN

Góc tam diện là gì?

Giả sử ta có 3 tia chung gốc Ax, Ay, Az. Hình tạo bởi ba góc ∠ xAy, ∠ yAz, ∠ xAz được gọi là góc tam diện. Ta tạm ký hiệu góc tam diện này là ( Ax, Ay, Az ) = ( β, γ, α ) ( hình vẽ ) .

góc tam diện

Đồng thời góc phẳng nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chung bờ Az chứa Ax và Ay được gọi là góc phẳng nhị diện đối lập với góc tam diện ∠ xAy. Như hình vẽ trên thì góc nhị diện φ đối lập với góc tam diện α. Các góc khác trọn vẹn tựa như .

Giả sử ta có góc tam diện α, β, γ và φ là góc nhị diện đối diện với góc α. Khi đó ta có định lý Côsin đối với góc tam diện:

định lý cô sin góc tam diện

Ứng dụng góc tam diện vào tìm góc giữa hai mặt phẳng

Ta có thể chia thành các bước như sau cho dễ thực hiện

  • Xác định thêm mặt phẳng thứ 3 để tạo thành góc tam diện. Mặt phẳng được chọn sao cho góc tam diện phải dễ tính nhất có thể.
  • Sử dụng định lý Côsin trong góc tam diện để tính.

Ví dụ:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tổng thể các cạnh bằng a. Tính góc giữa mặt bên và mặt dưới .
Lời giải :

tính góc giữa hai mặt phẳng oxyz

Xét góc tam diện ( BA, BC, BS ) = ( 60 º, 60 º, 90 º ) .
Gọi φ là góc giữa mặt bên ( SBC ) và ( ABCD ) ta có :

Các bạn để ý có dấu trị tuyệt đối nhé. Đó là vì góc giữa hai mặt phẳng bằng hoặc bù với góc nhị diện.
Các bạn chú ý có dấu trị tuyệt đối nhé. Đó là vì góc giữa hai mặt phẳng bằng hoặc bù với góc nhị diện .Chúng ta cũng hoàn toàn có thể kết hợp cách dùng góc nhị diện với góc tam diện để tối ưu cách giải trải qua định lý Sin trong góc tam diện như sau :

Định lý Sin cho góc tam diện

Cho góc tam diện ( α, β, γ ). Các góc nhị diện đối lập với α, β, γ là A, B, C. Khi đó ta có :

định lý sin góc tam diện

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Đáy là tam giác điều cạnh a. Cạnh bên SA = 3 a / 2. Tính góc giữa ( SAB ) và ( SBC ) .
Lời giải :
Phân tích : Đây là bài toán tính góc giữa mặt bên và mặt đứng. Ta hoàn toàn có thể dựng được góc nhị diện giữa hai mặt đó. Nhưng không phải cũng dễ dạng với ai. Vì vậy ta sử dụng góc tam diện .

góc 2 mặt phẳng

Đầu tiên ta tính góc giữa mặt bên và mặt đáy trước. Dễ thấy góc giữa mặt bên và mặt đáy là ∠SMA với M là trung điểm BC. Các bạn xem lại phần 2 bên trên nhé!
Đầu tiên ta tính góc giữa mặt bên và dưới mặt đáy trước. Dễ thấy góc giữa mặt bên và dưới mặt đáy là ∠ SMA với M là trung điểm BC. Các bạn xem lại phần 2 bên trên nhé !Mặt khác :

Đây cũng là góc nhị diện của ( BCS ) và ( BCA ) .

Tiếp theo xét góc tam diện (BA,BS,BC). Gọi φ là góc nhị diện đối diện với góc ∠ABC ta có:

Như vậy, để tính góc giữa mặt bên và mặt đứng ta tính góc giữa mặt bên và dưới mặt đáy ( tất yếu là nếu dễ tính ). Sau đó vận dụng góc tam diện để tính góc giữa mặt bên và mặt đứng. Tất nhiên nếu hoàn toàn có thể vận dụng trực tiếp định lý cos trong góc tam diện thì dùng luôn .
Mỗi giải pháp tính góc 2 mặt phẳng đều có ưu điểm điểm yếu kém. Cách thứ nhất tuy đơn thuần dễ hiểu nhưng trong trường hợp khó dựng góc nhị diện sẽ khó hữu dụng. Còn cách thứ hai tuy nhìn có vẻ như phức tạp hơn. Nhưng nếu chọn được góc tam diện dễ tính thì nó lại rất nhanh, tương thích với làm toán trắc nghiệm. Các bạn nên rèn luyện cả hai cách cho thuần thục. Chúc các bạn học tập vui tươi .

Đánh giá bài viết