Tính đơn điệu của hàm sốTính đơn điệu của hàm số

Để xét tính đơn điều của hàm số ta có 2 cách. Một là dựa vào định nghĩa đã được học ở lớp 10 và cách khác là dựa vào kiến thức đạo hàm đã học lớp 12. Mỗi cách có những ưu thế riêng nên bài viết này sẽ nêu cả 2 cách để bạn tiện tham khảo.

Đây là kiến thức và kỹ năng quan trọng, nó Open liên tục trong đề thi trung học phổ thông vương quốc nên toanhoc.org sẽ mạng lưới hệ thống bài bài từ triết lý tới phân dạng. Mỗi dạng sẽ có bài tập minh họa kèm giải thuật để bạn dễ hiểu – nhớ lâu .

1. Lý thuyết xét tính đơn điệu

a) Định nghĩa

Một hàm số ( C ) : y = f ( x ) có tập xác lập là M. Nếu :

  • hàm số (C) gọi là nghịch biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) với ∀x1, x2 ∈ M
  • hàm số (C) gọi là đồng biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2) với ∀x1, x2 ∈ M

b) Điều kiện

Một hàm số ( C ) : y = f ( x ) có đạo hàm trên tập xác lập M

tính đơn điệu của hàm số - toanhocorg

C. Những bước xét tính đơn điều của hàm số

Một hàm số ( C ) : y = f ( x ) có tập xác lập là M .

  • Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
  • Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.
  • Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

2. Bài tập

Dạng 1. Dựa vào định nghĩa

Lớp 10, học viên thường dựa vào vào định nghĩa để xét tìm khoảng chừng đơn điệu của hàm số. Đây là cách tương đối đơn thuần. Dưới đây là 2 bài tập minh họa

Bài tập 1: Hãy chứng minh hàm số (C): y = x2 – 4 đồng biến trong khoảng ( 3; 10)

Hướng dẫn giải
Giả sử a và b là 2 giá trị bất kể thuộc ( 3 ; 10 ), khi đó 3 < a < b < 10 ( 1 )

  • f(a) = a2 – 4
  • f(b) = b2 – 4

Ta thấy : f ( b ) – f ( a ) = ( b2 – 4 ) – ( a2 – 4 ) = b2 – a2 = ( b – a ). ( a + b ) > 0 ⇒ f ( b ) > f ( a ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra hàm số y = x2 – 4 đồng biến trong khoảng chừng ( 3 ; 10 ) .

Bài tập 2. Hãy chứng minh hàm số (C): y = – x2 + 4 nghịch biến trong khoảng ( 3; 10)

Hướng dẫn giải
Giả sử a và b là 2 giá trị bất kể thuộc ( 3 ; 10 ), khi đó 3 < a < b < 10 ( 1 )

  • f(a) = – a2 + 4
  • f(b) = – b2 + 4

Ta thấy : f ( b ) – f ( a ) = ( – b2 + 4 ) – ( – a2 + 4 ) = – b2 + a2 = – ( b – a ). ( a + b ) > 0 ⇒ f ( b ) < f ( a ) ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra hàm số y = – x2 + 4 nghịch biến trong khoảng chừng ( 3 ; 10 ) .

Dạng 2. Dựa vào đạo hàm

Dựa vào kiến thức và kỹ năng đạo hàm ở lớp 11 ta dùng giải các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số thuộc phần ứng dụng hàm số của lớp 12. Nó gồm 3 bước nêu trong phần triết lý. Dưới đây là bài tập minh họa .

Bài tập 3. Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{1 – x}}$. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng USD \ left ( { – \ infty ; 1 } \ right ) \ cup \ left ( { 1 ; + \ infty } \ right ) USD .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng USD \ left ( { – \ infty ; 1 } \ right ) \ cup \ left ( { 1 ; + \ infty } \ right ) USD .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng chừng USD \ left ( { – \ infty ; 1 } \ right ) USD và USD \ left ( { 1 ; + \ infty } \ right ) USD .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng chừng USD \ left ( { – \ infty ; 1 } \ right ) USD và USD \ left ( { 1 ; + \ infty } \ right ) USD .
Hướng dẫn giải
Chọn D .
TXĐ : USD D = \ mathbb { R } \ backslash \ left \ { 1 \ right \ } USD. Ta có USD y ’ = \ frac { 2 } { { { { ( 1 – x ) } ^ 2 } } } > 0 { \ text {, } } \ forall x \ ne 1 USD
Hàm số đồng biến trên các khoảng chừng USD ( – \ infty ; 1 ) USD và USD ( 1 ; + \ infty ) USD

Bài tập 4. Cho hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} – 3x + 2$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên USD \ mathbb { R } USD .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng chừng USD \ left ( { – \ infty ; 1 } \ right ) USD và USD \ left ( { 1 ; + \ infty } \ right ) USD .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng USD \ left ( { – \ infty ; 1 } \ right ) USD và nghịch biến trên khoảng chừng USD \ left ( { 1 ; + \ infty } \ right ) USD .

D. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải
Chọn A .
TXĐ : USD D = \ mathbb { R } USD. Ta có USD y ’ = – 3 { x ^ 2 } + 6 x – 3 = – 3 { ( x – 1 ) ^ 2 } \ leqslant 0 { \ text {, } } \ forall x \ in \ mathbb { R } USD

Bài tập 5. Cho hàm số $y = \frac{{3x – 1}}{{ – 4 + 2x}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên USD \ mathbb { R } USD .
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng chừng xác lập .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng chừng USD \ left ( { – \ infty ; \, 2 } \ right ) USD và USD \ left ( { 2 ; + \ infty } \ right ) USD .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng chừng USD \ left ( { – \ infty ; \, – 2 } \ right ) USD và USD \ left ( { – 2 ; + \ infty } \ right ) USD .
Hướng dẫn giải
Chọn B .
TXĐ : USD D = \ mathbb { R } \ backslash \ left \ { 2 \ right \ } USD. Ta có USD y ’ = – \ frac { { 10 } } { { { { ( – 4 + 2 x ) } ^ 2 } } } < 0, \ forall x \ in D USD .

Bài tập 6. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 9x + 15$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng USD \ left ( { – 3 ; 1 } \ right ) USD .
B. Hàm số đồng biến trên USD \ mathbb { R } USD .
C. Hàm số đồng biến trên USD \ left ( { – 9 ; – 5 } \ right ) USD .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng USD \ left ( { 5 ; + \ infty } \ right ) USD .
Hướng dẫn giải
Chọn B .
TXĐ : USD { \ text { D } } = \ mathbb { R } USD. Do USD y ’ = 3 { x ^ 2 } + 6 x – 9 = 3 ( x – 1 ) ( x + 3 ) USD nên hàm số không đồng biến trên USD \ mathbb { R } USD .

Bài tập 7 (Trích câu 3 đề thi minh họa 2021). Câu 3. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào,trong các khoảng dưới đây?

tính đơn điệu của hàm số

A. ( – 2 ; 2 ) .
B. ( 0 ; 2 ) .
C. ( – 2 ; 0 ) .
D. ( 2 ; + ∞ ) .
Hướng dẫn giải
Chọn câu B
Ta thấy trên ( 0 ; 2 ) thì f ’ ( x ) và mũi tên có khunh hướng lên

Bài tập 8 (Trích câu 30 đề thi minh họa 2021). Hàm số nào dưới đây đồng biến trên R?

A. USD y = \ frac { x + 1 } { x-2 } USD .
B. USD y = { { x } ^ { 2 } } + 2 x USD .
C. USD y = { { x } ^ { 3 } } – { { x } ^ { 2 } } + x USD .
D. USD y = { { x } ^ { 4 } } – 3 { { x } ^ { 2 } } + 2 USD .
Hướng dẫn giải
Chọn câu C

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ trước hết phải có tập xác định $D=\mathbb{R},$ loại câu A,xét các câu khác.

Chỉ có USD ( { { x } ^ { 3 } } – { { x } ^ { 2 } } + x { ) } ’ = 3 { { x } ^ { 2 } } – 2 x + 1 > 0, \ forall x USD nên USD y = { { x } ^ { 3 } } – { { x } ^ { 2 } } + x USD đồng biến trên USD \ mathbb { R }. USD
Hy vọng với bài viết cụ thể bạn đã hiểu sâu dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số. Nếu có chỗ nào trong bài viết chưa rõ khiến bạn còn vướng mắc thì hãy comment bên dưới để toanhoc.org giải đáp. Đừng quên quay lại Toán Học để xem các chủ để hữu dụng tiếp theo nhé .

Đánh giá bài viết