1. Hàm số tuần hoàn

Hàm số \ ( y = f \ left ( x \ right ) \ ) có TXĐ \ ( D \ ) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số \ ( T \ ne 0 \ ) sao cho :
a ) \ ( \ forall x \ in D \ ) đều có \ ( x – T \ in D, x + T \ in D \ ) .

b) \(\forall x \in D\) đều có \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\).

Số \ ( T > 0 \ ) nhỏ nhất thỏa mãn nhu cầu các đặc thù trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn \ ( y = f \ left ( x \ right ) \ ) .

2. Các hàm số lượng giác

a ) Hàm số \ ( y = \ sin x \ )
– Có TXĐ \ ( D = R \ ), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì \ ( 2 \ pi \ ), nhận mọi giá trị thuộc đoạn \ ( \ left [ { – 1 ; 1 } \ right ] \ ) .
– Đồng biến trên mỗi khoảng chừng \ ( \ left ( { – \ dfrac { \ pi } { 2 } + k2 \ pi ; \ dfrac { \ pi } { 2 } + k2 \ pi } \ right ) \ ) và nghịch biến trên mỗi khoảng chừng \ ( \ left ( { \ dfrac { \ pi } { 2 } + k2 \ pi ; \ dfrac { { 3 \ pi } } { 2 } + k2 \ pi } \ right ) \ ) .
– Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm \ ( O \ left ( { 0 ; 0 } \ right ) \ )
b ) Hàm số \ ( y = \ cos x \ )
– Có TXĐ \ ( D = R \ ), là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì \ ( 2 \ pi \ ), nhận mọi giá trị thuộc đoạn \ ( \ left [ { – 1 ; 1 } \ right ] \ ) .
– Đồng biến trên mỗi khoảng chừng \ ( \ left ( { – \ pi + k2 \ pi ; k2 \ pi } \ right ) \ ) và nghịch biến trên mỗi khoảng chừng \ ( \ left ( { k2 \ pi ; \ pi + k2 \ pi } \ right ) \ )
– Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm \ ( \ left ( { 0 ; 1 } \ right ) \ )
c ) Hàm số \ ( y = \ tan x \ )
– Có TXĐ \ ( D = R \ backslash \ left \ { { \ dfrac { \ pi } { 2 } + k \ pi, k \ in Z } \ right \ } \ ), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì \ ( \ pi \ ), nhận mọi giá trị thuộc \ ( R \ ) .
– Đồng biến trên mỗi khoảng chừng \ ( \ left ( { – \ dfrac { \ pi } { 2 } + k \ pi ; \ dfrac { \ pi } { 2 } + k \ pi } \ right ) \ ) .
– Đồ thị nhận mỗi đường thẳng \ ( x = \ dfrac { \ pi } { 2 } + k \ pi \ ) làm đường tiệm cận .
d ) Hàm số \ ( y = \ cot x \ )

– Có TXĐ \(D = R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì \(\pi \), nhận mọi giá trị thuộc \(R\).

– Nghịch biến trên mỗi khoảng chừng \ ( \ left ( { k \ pi ; \ pi + k \ pi } \ right ) \ ) .
– Đồ thị nhận mỗi đường thẳng \ ( x = k \ pi \ ) làm đường tiệm cận .

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Phương pháp:

Sử dụng điều kiện kèm theo xác lập của các hàm phân thức, hàm căn bậc, hàm lượng giác ( tan, cot ) .
– Hàm số \ ( y = \ sqrt { f \ left ( x \ right ) } \ ) xác lập nếu \ ( f \ left ( x \ right ) \ ge 0 \ ) .
– Hàm số \ ( y = \ dfrac { 1 } { { f \ left ( x \ right ) } } \ ) xác lập nếu \ ( f \ left ( x \ right ) \ ne 0 \ ) .
– Hàm số \ ( y = \ tan u \ left ( x \ right ) \ ) xác lập nếu \ ( \ cos u \ left ( x \ right ) \ ne 0 \ Leftrightarrow u \ left ( x \ right ) \ ne \ dfrac { \ pi } { 2 } + k \ pi \ ) .
– Hàm số \ ( y = \ cot u \ left ( x \ right ) \ ) xác lập nếu \ ( \ sin u \ left ( x \ right ) \ ne 0 \ Leftrightarrow u \ left ( x \ right ) \ ne k \ pi \ ) .

Dạng 2: Tìm chu kì của hàm số.

– Hàm số \ ( y = \ sin \ left ( { ax + b } \ right ), y = \ cos \ left ( { ax + b } \ right ) \ ) tuần hoàn với chu kỳ luân hồi \ ( T = \ dfrac { { 2 \ pi } } { { \ left | a \ right | } } \ ) .
– Hàm số \ ( y = \ tan \ left ( { ax + b } \ right ), y = \ cot \ left ( { ax + b } \ right ) \ ) tuần hoàn với chu kỳ luân hồi \ ( T = \ dfrac { \ pi } { { \ left | a \ right | } } \ ) .

– Hàm số \(y = {f_1}\left( x \right),y = {f_2}\left( x \right)\) lần lượt có chu kỳ \({T_1},{T_2}\) thì hàm số \(y = {f_1}\left( x \right) \pm {f_2}\left( x \right)\) có chu kỳ \({T_0} = BCNN\left( {{T_1},{T_2}} \right)\)

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác.

Phương pháp:

Sử dụng các nhìn nhận \ ( – 1 \ le \ sin x \ le 1 ; – 1 \ le \ cos x \ le 1 \ ) để nhìn nhận tập giá trị của hàm số.

Đánh giá bài viết